歴史 流体中の光速は真空中の光速よりも遅く、流体が光と共に移動している場合は変化します。1851年、フィゾーは 干渉計 を用いて、光と平行に移動する流体中の光速を測定しました 。フィゾーの結果は、当時主流だった理論とは一致しませんでした。フィゾーは、以下に説明するように、相対論的に正しい加算法則の展開のゼロ次項を V / c に関して実験的に正しく決定しました。フィゾー の結果により、物理学者たちは、静止したエーテル に対して運動する流体が光を部分的に 引きずり、速度がc / n + V ではなく c / n + ( − 1 / n 2 ) V に なる という 、フレネルの やや不十分な理論の経験的妥当 性を受け入れるようになっ た c はエーテル中の光速、n は 流体 屈折 V は
光の収差は、フィゾーの結果とともに、 1892年にローレンツのエーテル理論 のような電磁気理論の発展を促しました。1905年、アルベルト・アインシュタインは、 特殊相対性理論 の出現とともに、相対論的速度の加算のための標準構成式（x 方向 のV ）を導き出しました。 [ 2 ]
ガリレオの相対性理論 ガリレオ は、等速で動く船に乗っている人は、自分が静止しているように感じ、重い物体が垂直に落下しているように見えることに気づいた。 [ 3 ] [ 4 ]
一般的に、3 つの物体 A (例えば海岸にいるガリレオ)、B (例えば船)、C (例えば船に落下する物体) の場合、速度ベクトルはu {\displaystyle \mathbf {u} } u ′ {\displaystyle \mathbf {u'} } v
u = v + u ′ 。 {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .}
ガリレオの宇宙は絶対空間と絶対時間 から成り、速度の加算はガリレオ変換 の合成に対応する。相対性原理はガリレオ相対性と呼ばれ、 ニュートン力学 が従うものである。
標準構成 標準構成 におけるブーストの公式は、標準構成における逆ローレンツブースト の微分を取ることで最も直接的に導き出されます。[ 7 ] [ 8 ] v {\displaystyle v} ローレンツ因子 付きγ v = 1 / 1 − v 2 / c 2 {\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} x
d x = γ v （ d x ′ + v d t ′ ） 、 d y = d y ′ 、 d z = d z ′ 、 d t = γ v （ d t ′ + v c 2 d x ′ ） 。 {\displaystyle dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).}
最初の３つの式を４番目の式で割る。
d x d t = γ v （ d x ′ + v d t ′ ） γ v （ d t ′ + v c 2 d x ′ ） 、 d y d t = d y ′ γ v （ d t ′ + v c 2 d x ′ ） 、 d z d t = d z ′ γ v （ d t ′ + v c 2 d x ′ ） 、 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},}
または
u x = d x d t = d x ′ d t ′ + v （ 1 + v c 2 d x ′ d t ′ ） 、 u y = d y d t = d y ′ d t ′ γ v （ 1 + v c 2 d x ′ d t ′ ） 、 u z = d z d t = d z ′ d t ′ γ v （ 1 + v c 2 d x ′ d t ′ ） 、 {\displaystyle u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},}
それは
速度の変換 （
デカルト座標成分 ）
u x = u x ′ + v 1 + v c 2 u x ′ 、 u x ′ = u x − v 1 − v c 2 u x 、 {\displaystyle u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},} u y = u y ′ 1 − v 2 c 2 1 + v c 2 u x ′ 、 u y ′ = u y 1 − v 2 c 2 1 − v c 2 u x 、 {\displaystyle u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},} u z = u z ′ 1 − v 2 c 2 1 + v c 2 u x ′ 、 u z ′ = u z 1 − v 2 c 2 1 − v c 2 u x 、 {\displaystyle u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}
ここでは、 v – v に置き換え、プライム付き座標とプライムなし座標を入れ替えるという標準的な手順を用いて、プライム付き速度の式が得られました。すべての速度が（共通の） x – y u x = u コス θ 、 u y = u 罪 θ 、 u x ′ = u ′ コス θ ′ 、 u y ′ = u ′ 罪 θ ′ 、 {\displaystyle u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',} 極座標を 参照）そして[ 2 ] [ 9 ]が見つかる。
速度の変換 （
平面極座標成分 ）
u = u ′ 2 + v 2 + 2 v u ′ コス θ ′ − （ v u ′ 罪 θ ′ c ） 2 1 + v c 2 u ′ コス θ ′ 、 {\displaystyle u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},} タン θ = u y u x = 1 − v 2 c 2 u y ′ u x ′ + v = 1 − v 2 c 2 u ′ 罪 θ ′ u ′ コス θ ′ + v 。 {\displaystyle \tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.}
詳細は
u = u x 2 + u y 2 = （ u x ′ + v ） 2 + （ 1 − v 2 c 2 ） u y ′ 2 1 + v c 2 u x ′ = u x ′ 2 + v 2 + 2 u x ′ v + （ 1 − v 2 c 2 ） u y ′ 2 1 + v c 2 u x ′ = u ′ 2 コス 2 θ ′ + v 2 + 2 v u ′ コス θ ′ + u ′ 2 罪 2 θ ′ − v 2 c 2 u ′ 2 罪 2 θ ′ 1 + v c 2 u x ′ = u ′ 2 + v 2 + 2 v u ′ コス θ ′ − （ v u ′ 罪 θ ′ c ） 2 1 + v c 2 u ′ コス θ ′ {\displaystyle {\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}}
提示された証明は非常に形式的です。より分かりやすい、より複雑な証明も存在します。例えば、以下に示すような証明です。
4 次元ベクトルとローレンツ変換行列を用いた証明相対論的変換は、平面内の幾何学的回転がx y 光速 が現れます。長さと時間を同じ単位で測定するシステムでは、光速は無次元で1 に等しくなります。速度は、光速の分数として表されます。
相対論的変換法則を見つけるには、岸から測った船の岸から遠ざかる方向の運動を表す4元速度V = ( V 0 , V 1 , 0, 0)と、船から測った船から遠ざかるハエの運動を表すU′ = ( U′ 0 , U′ 1 , U′ 2 , U′ 3 )元速度は、 相対論的長さが 1 に等しく、未来方向であり、時空内の物体の世界線に接する4元ベクトルとして定義されます。ここで、V 0 は岸 から V 1 は岸から見た船の速度の x 軸 y 軸 です 。この結果 、 2 = V 3 = U′ 3 = 0
通常の速度とは、空間座標の増加率と時間座標の増加率の比である。
v = （ v 1 、 v 2 、 v 3 ） = （ V 1 / V 0 、 0 、 0 ） 、 u ′ = （ u 1 ′ 、 u 2 ′ 、 u 3 ′ ） = （ U 1 ′ / U 0 ′ 、 U 2 ′ / U 0 ′ 、 0 ） {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}}
V 1 なので、 V 0 2 − V 1 2 = 1 、 {\displaystyle V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,} V 0 = 1 / 1 − v 1 2 = γ 、 V 1 = v 1 / 1 − v 1 2 = v 1 γ 。 {\displaystyle V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .}
船体座標系で測定された速度を陸上座標系に変換するローレンツ変換行列は、ローレンツ変換の ページで説明されている変換の逆行列 であるため、そこに現れるマイナス符号はここでは反転させる必要があります。
（ γ v 1 γ 0 0 v 1 γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ） {\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
この行列は、純粋な時間軸ベクトル(1, 0, 0, 0)を ( V 0 , V 1 , 0, 0) に回転させ、そのすべての列は相対論的に互いに直交するため、ローレンツ変換を定義します。
船の座標系でハエが4つの速度U′ U = ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 )U 0 = V 0 U 0 ′ + V 1 U 1 ′ 、 U 1 = V 1 U 0 ′ + V 0 U 1 ′ 、 U 2 = U 2 ′ 、 U 3 = U 3 ′ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}}
時間成分U 0で割り、4 つのベクトル U′ V u′ v
u 1 = v 1 + u 1 ′ 1 + v 1 u 1 ′ 、 u 2 = u 2 ′ （ 1 + v 1 u 1 ′ ） 1 V 0 = u 2 ′ 1 + v 1 u 1 ′ 1 − v 1 2 、 u 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}}
相対論的合成法則の形式は、遠隔での同時性の破綻の影響として理解できる。平行成分の場合、時間の遅れは速度を低下させ、長さの収縮は速度を増加させ、2 つの効果が相殺される。同時性の破綻は、ハエがu′を v 1 / V 0 = √ (1 − v 1 2 )
一般設定 3次元速度uを平行成分と垂直成分に分解し、それぞれの成分を計算する。u ′ についても x 軸 に平行なv u 、プライムフレームで速度ベクトル u ′ を導入し、それらを相対速度ベクトルv に平行（∥）および垂直（ ⊥ ）な成分に分割します（下の非表示ボックスを参照）。 u = u ∥ + u ⊥ 、 u ′ = u ∥ ′ + u ⊥ ′ 、 {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },} デカルト座標系の標準基底ベクトル e x e y e z u ∥ = u x e x 、 u ⊥ = u y e y + u z e z 、 v = v e x 、 {\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},} u ∥ = u ∥ ′ + v 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 、 u ⊥ = 1 − v 2 c 2 u ⊥ ′ 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 。 {\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.} 、·は 内積 です。これらはベクトル方程式なので、 v がどの 方向であっても同じ形式になります。座標表現との唯一の違いは、上記の式が成分ではなくベクトル を参照している点です。
得られるのは u = u ∥ + u ⊥ = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 [ α v u ′ + v + （ 1 − α v ） （ v ⋅ u ′ ） v 2 v ] ≡ v ⊕ u ′ 、 {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',} αv = 1/ γv は ローレンツ因子 の逆数である。定義における演算子の順序は、この式が導出される標準構成の順序と一致するように選択されている。
代数
u ∥ ′ + v 1 + v ⋅ u ′ c 2 + α v u ⊥ ′ 1 + v ⋅ u ′ c 2 = v + v ⋅ u ′ v 2 v 1 + v ⋅ u ′ c 2 + α v u ′ − α v v ⋅ u ′ v 2 v 1 + v ⋅ u ′ c 2 = 1 + v ⋅ u ′ v 2 （ 1 − α v ） 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ + 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v ⋅ u ′ v 2 （ 1 − α v ） v = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ + 1 c 2 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v ⋅ u ′ v 2 / c 2 （ 1 − α v ） v = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v + α v 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 u ′ + 1 c 2 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 v ⋅ u ′ （ 1 − α v ） （ 1 + α v ） （ 1 − α v ） v = 1 1 + v ⋅ u ′ c 2 [ α v u ′ + v + （ 1 − α v ） （ v ⋅ u ′ ） v 2 v ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}}
V
各ベクトルについて、平行成分または垂直成分のいずれかを求める必要がある。なぜなら、もう一方の成分は完全なベクトルを代入することで消去されるからである。
u ′ベクトル全体を 相対運動の方向に 投影することによって求めることができる。u ∥ ′ = v ⋅ u ′ v 2 v 、 {\displaystyle \mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,} また、 u ′外積 の幾何学的性質によって求めることができる（右上の図を参照）。 u ⊥ ′ = − v × （ v × u ′ ） v 2 。 {\displaystyle \mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.}
いずれの場合も、v / v 単位ベクトル である。
u ∥ u ⊥ u = u ∥ ′ + v 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 + 1 − v 2 c 2 （ u ′ − u ∥ ′ ） 1 + v ⋅ u ∥ ′ c 2 、 {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} '-\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},}
上記の式の結果である。[ 10 ]
IDを使用してα v {\displaystyle \alpha _{v}} γ v {\displaystyle \gamma _{v}} 11 ] [ 注 1 ]
v ⊕ u ′ ≡ u = 1 1 + u ′ ⋅ v c 2 [ v + u ′ γ v + 1 c 2 γ v 1 + γ v （ u ′ ⋅ v ） v ] = 1 1 + u ′ ⋅ v c 2 [ v + u ′ + 1 c 2 γ v 1 + γ v v × （ v × u ′ ） ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}} v ⊕ u ≡ u ′ = 1 1 − u ⋅ v c 2 [ u γ v − v + 1 c 2 γ v 1 + γ v （ u ⋅ v ） v ] = 1 1 − u ⋅ v c 2 [ u − v + 1 c 2 γ v 1 + γ v v × （ v × u ） ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}
ここで、最後の式は、標準的なベクトル解析の公式 v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v − ( v ⋅ v ) u 外積は 3 次元でのみ定義されます。A 、 B 、C B が A v C が A u
物件 3次元速度の相対論的加算は非線形で あるため、一般に （ λ v ） ⊕ （ λ u ） ≠ λ （ v ⊕ u ） 、 {\displaystyle (\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),} 実数 λ （ − v ） ⊕ （ − u ） = − （ v ⊕ u ） 、 {\displaystyle (-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}
また、最後の項により、一般に可換ではない。 v ⊕ u ≠ u ⊕ v 、 {\displaystyle \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,} 連想的 でもないv ⊕ （ u ⊕ w ） ≠ （ v ⊕ u ） ⊕ w 。 {\displaystyle \mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .}
u v′ が − u で動き、プライム付きフレームはダブルプライム付きフレームに対して速度− v′ で動くため、 (− v′ ⊕ − u ) はダブルプライム付きフレームに対するプライムなしフレームの速度であり、相互性の原理を素朴に適用するとu ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u )はなく、回転によって関連付けられている。これは トーマス歳差運動 の現象に関係しており、ここではこれ以上は扱わない。
規範は[ 12 ]によって与えられる。 | u | 2 ≡ | v ⊕ u ′ | 2 = 1 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 [ （ v + u ′ ） 2 − 1 c 2 （ v × u ′ ） 2 ] = | u ′ ⊕ v | 2 。 {\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.} | u ′ | 2 ≡ | v ⊕ u | 2 = 1 （ 1 − v ⋅ u c 2 ） 2 [ （ u − v ） 2 − 1 c 2 （ v × u ） 2 ] = | u ⊕ v | 2 。 {\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}
証拠 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 | v ⊕ u ′ | 2 = [ v + u ′ + 1 c 2 γ v 1 + γ v v × （ v × u ′ ） ] 2 = （ v + u ′ ） 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ （ v ⋅ u ′ ） 2 − （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） ] + 1 c 4 （ γ v γ v + 1 ） 2 [ （ v ⋅ v ） 2 （ u ′ ⋅ u ′ ） − （ v ⋅ u ′ ） 2 （ v ⋅ v ） ] = （ v + u ′ ） 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ （ v ⋅ u ′ ） 2 − （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） ] + v 2 c 4 （ γ v γ v + 1 ） 2 [ （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） − （ v ⋅ u ′ ） 2 ] = （ v + u ′ ） 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ （ v ⋅ u ′ ） 2 − （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） ] + （ 1 − α v ） （ 1 + α v ） c 2 （ γ v γ v + 1 ） 2 [ （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） − （ v ⋅ u ′ ） 2 ] = （ v + u ′ ） 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ （ v ⋅ u ′ ） 2 − （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） ] + （ γ v − 1 ） c 2 （ γ v + 1 ） [ （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） − （ v ⋅ u ′ ） 2 ] = （ v + u ′ ） 2 + 2 1 c 2 γ v γ v + 1 [ （ v ⋅ u ′ ） 2 − （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） ] + （ 1 − γ v ） c 2 （ γ v + 1 ） [ （ v ⋅ u ′ ） 2 − （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） ] = （ v + u ′ ） 2 + 1 c 2 γ v + 1 γ v + 1 [ （ v ⋅ u ′ ） 2 − （ v ⋅ v ） （ u ′ ⋅ u ′ ） ] = （ v + u ′ ） 2 − 1 c 2 | v × u ′ | 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}} v を− v uを u ′ に交換するという標準的な手順 を使用して逆公式が見つかりました。
2つのブーストが関係する場合、ノルムの二乗はどちらの順序のブーストでも同じであるため、非可換性は座標系の追加的な回転として現れることは明らかです。
合成速度のガンマ係数は次のように計算されます。 γ u = γ v ⊕ u ′ = [ 1 − 1 c 2 1 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 （ （ v + u ′ ） 2 − 1 c 2 （ v 2 u ′ 2 − （ v ⋅ u ′ ） 2 ） ） ] − 1 2 = γ v γ u ′ （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 、 γ u ′ = γ v γ u （ 1 − v ⋅ u c 2 ） {\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}
詳細な証明 γ v ⊕ u ′ = [ c 3 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 c 2 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 − 1 c 2 （ v + u ′ ） 2 − 1 c 2 （ v 2 u ′ 2 − （ v ⋅ u ′ ） 2 ） （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 ] − 1 2 = [ c 2 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 − （ v + u ′ ） 2 + 1 c 2 （ v 2 u ′ 2 − （ v ⋅ u ′ ） 2 ） c 2 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 ] − 1 2 = [ c 2 （ 1 + 2 v ⋅ u ′ c 2 + （ v ⋅ u ′ ） 2 c 4 ） − v 2 − u ′ 2 − 2 （ v ⋅ u ′ ） + 1 c 2 （ v 2 u ′ 2 − （ v ⋅ u ′ ） 2 ） c 2 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 ] − 1 2 = [ 1 + 2 v ⋅ u ′ c 2 + （ v ⋅ u ′ ） 2 c 4 − v 2 c 2 − u ′ 2 c 2 − 2 c 2 （ v ⋅ u ′ ） + 1 c 4 （ v 2 u ′ 2 − （ v ⋅ u ′ ） 2 ） （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 ] − 1 2 = [ 1 + （ v ⋅ u ′ ） 2 c 4 − v 2 c 2 − u ′ 2 c 2 + 1 c 4 （ v 2 u ′ 2 − （ v ⋅ u ′ ） 2 ） （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 ] − 1 2 = [ （ 1 − v 2 c 2 ） （ 1 − u ′ 2 c 2 ） （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 ] − 1 2 = [ 1 γ v 2 γ u ′ 2 （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） 2 ] − 1 2 = γ v γ u ′ （ 1 + v ⋅ u ′ c 2 ） {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}
v を− v uを u ′ に交換するという標準的な手順 を使用して逆公式が見つかりました。
表記規則 速度加算の表記法や慣例は、著者によって異なります。演算自体や速度を表す記号が異なったり、同じ式でも被演算項を入れ替えたり、同じ速度でも記号を入れ替えたりすることがあります。変換後の速度を表す記号として、ここで用いたプライム記号ではなく、全く別の記号を用いる場合もあります。速度加算は非可換であるため、被演算項や記号を入れ替えると結果が変わってしまいます。
代替表記法の例としては、以下のようなものがあります。
特定のオペランドはありません Landau & Lifshitz (2002) ( c = 1の単位を使用)| v r e l | 2 = 1 （ 1 − v 1 ⋅ v 2 ） 2 [ （ v 1 − v 2 ） 2 − （ v 1 × v 2 ） 2 ] {\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]} オペランドの左から右への順序付け モカヌ（1992） u ⊕ v = 1 1 + u ⋅ v c 2 [ v + u + 1 c 2 γ u γ u + 1 u × （ u × v ） ] {\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]} ウンガー（1988） u * v = 1 1 + u ⋅ v c 2 [ v + u + 1 c 2 γ u γ u + 1 u × （ u × v ） ] {\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]} オペランドの右から左への順序付け Sexl & Urbantke (2001) w ∘ v = 1 1 + v ⋅ w c 2 [ w γ v + v + 1 c 2 γ v γ v + 1 （ w ⋅ v ） v ] {\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}
アプリケーション 速度加算公式の古典的な応用例、ドップラーシフト、光の収差、および水中での光の引きずりなど、これらの現象に対する相対論的に有効な表現が得られる例を以下に詳述します。運動量保存則（通常の回転不変性への訴えによる）を仮定すれば、電磁気学や、有効であることが事前に知られていないラグランジュ形式の相対論的バージョンに頼ることなく、 運動量4ベクトル の3 ベクトル部分の正しい形式を速度加算公式で使用することも可能です。これには、相対論的ビリヤードボール同士を実験的に跳ね返らせることが含まれます。ここでは詳述しませんが、参考文献としてLewis & Tolman (1909) Wikisource版 （一次資料）およびSard (1970 、セクション3.2) を参照してください。
フィゾー実験 フランスの物理学者イポリット・フィゾー （1819年～1896年）は、1851年に流水中の光速を初めて測定した人物である。光が媒質中を伝搬するとき、媒質の静止系ではその速度は c m c / n m に減少します。 n m m の屈折率 です。実験室系で測定された、正のx方向に速度 V mを n [ 13 ]が得られます。 c m = V + c m ′ 1 + V c m ′ c 2 = V + c n 1 + V c n c 2 = c n 1 + n V c 1 + V n c = c n （ 1 + n V c ） 1 1 + V n c = （ c n + V ） （ 1 − V n c + （ V n c ） 2 − ⋯ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}}
最大の貢献を明示的に収集し、 c m = c n + V （ 1 − 1 n 2 − V n c + ⋯ ） 。 {\displaystyle c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).} [ 14 ] [ 15 ]
光の収差 もう1つの基本的な応用例は、平行軸を持つ新しい基準座標系に変換する際の光の偏向、つまり方向の変化、すなわち光収差 を考慮することです。この場合、v ′ = v = c tan θ の式 に代入すると次のようになります。タン θ = 1 − V 2 c 2 c 罪 θ ′ c コス θ ′ + V = 1 − V 2 c 2 罪 θ ′ コス θ ′ + V c 。 {\displaystyle \tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.}
この場合、標準式[ 16 ] からsin θ とcos θを計算することもできます。 罪 θ = 1 − V 2 c 2 罪 θ ′ 1 + V c コス θ ′ 、 {\displaystyle \sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}
三角法
v y v = 1 − V 2 c 2 v y ′ 1 + V c 2 v x ′ v ′ 2 + V 2 + 2 V v ′ コス θ ′ − （ V v ′ 罪 θ ′ c ） 2 1 + V c 2 v ′ コス θ ′ = c 1 − V 2 c 2 罪 θ ′ c 2 + V 2 + 2 V c コス θ ′ − V 2 罪 2 θ ′ = c 1 − V 2 c 2 罪 θ ′ c 2 + V 2 + 2 V c コス θ ′ − V 2 （ 1 − コス 2 θ ′ ） = c 1 − V 2 c 2 罪 θ ′ c 2 + 2 V c コス θ ′ + V 2 コス 2 θ ′ = 1 − V 2 c 2 罪 θ ′ 1 + V c コス θ ′ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}}
コス θ = V c + コス θ ′ 1 + V c コス θ ′ 、 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}
ジェームズ・ブラッドリー （1693-1762）FRSは 、古典的なレベルで正しい光の収差の説明を提供したが、エーテル の存在に基づく19世紀に普及した後の理論とは矛盾していた[ 17 ] cosの場合の三角関数の操作は、 sin の場合の操作と本質的に同じです。違いを考えてみましょう。
罪 θ − 罪 θ ′ = 罪 θ ′ （ 1 − V 2 c 2 1 + V c コス θ ′ − 1 ） ≈ 罪 θ ′ （ 1 − V c コス θ ′ − 1 ） = − V c 罪 θ ′ コス θ ′ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}} v / c 罪 θ ′ − 罪 θ = 2 罪 1 2 （ θ ′ − θ ） コス 1 2 （ θ + θ ′ ） ≈ （ θ ′ − θ ） コス θ ′ 、 {\displaystyle \sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',} cos 1 / 2 θ + θ ’) ≈ cos θ ’、sin 1 / 2 θ − θ ’) ≈ 1 / 2 θ − θ ’) を使用しました。
したがって、その量は Δ θ ≡ θ ′ − θ = V c 罪 θ ′ 、 {\displaystyle \Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',} 的な収差角は、 V / c → 0 の
相対論的ドップラーシフト クリスティアン・ドップラー （1803年～1853年）はオーストリアの数学者であり物理学者で、波の観測周波数は波源と観測者の相対速度に依存することを発見した。ここでは、より一般的な表現を用いるため、また、一見 場当たり的に 見えるマイナス符号の導入を避けるため、速度ではなく速度成分 を用いる。ここで用いられるマイナス符号は、光速よりも遅い速度を考慮する際に、その特徴を明確にする役割を果たす。
真空中の光波の場合、標準構成（放射源と観測者、および観測される光波の相対速度が同一直線上にある場合）では、時間の遅れ と単純な幾何学的観測だけでドップラーシフトを計算するのに十分である。
以下に示すすべての速度は共通の正のx λ = − s T + V T = （ − s + V ） T {\displaystyle \lambda =-sT+VT=(-s+V)T} 波長 であり、T 空間内の同じ点を2 つのパルスが通過するまでの経過時間は 周期 τ であり、その逆数ν = 1 / τ は 周波数です。エミッター の [ 18 ]
光波の場合s = s ′ = − c 、 {\displaystyle s=s'=-c,} [ 2 ] [ 19 ] [ 20 ] ν = − s λ = − s （ V − s ） T = c （ V + c ） γ V T ′ = ν ′ c 1 − V 2 c 2 c + V = ν ′ 1 − β 1 + β 。 {\displaystyle \nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.} T = γ V T ′は標準的な時間膨張の 公式です。
代わりに、波が速度c s ′全く同じに なります。しかし、今度はs ′ ≠ s s は s = s ′ + V 1 + s ′ V c 2 。 {\displaystyle s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.}
計算は基本的に同じだが、ここでは ν の代わりに τ = 1 / ν と逆向き に 計算する 方が 簡単 で ある
τ = 1 γ V ν ′ （ 1 1 + V s ′ ） 、 ν = γ V ν ′ （ 1 + V s ′ ） {\displaystyle \tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)}
導出の詳細
L − s = （ − s ′ − V 1 + s ′ V c 2 + V ） T − s ′ − V 1 + s ′ V c 2 = γ V ν ′ − s ′ − V + V （ 1 + s ′ V c 2 ） − s ′ − V = γ V ν ′ （ s ′ （ 1 − V 2 c 2 ） s ′ + V ） = γ V ν ′ （ s ′ γ − 2 s ′ + V ） = 1 γ V ν ′ （ 1 1 + V s ′ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}}
典型的なケースでは、s ′は負の値に なることに注意してください。ただし、この式は一般的に有効です。[ nb 2 ] s ′ = − c
ν = ν ′ γ V （ 1 − β ） = ν ′ 1 − β 1 − β 1 + β = ν ′ 1 − β 1 + β 。 {\displaystyle \nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}
発信機が真空空間で弾丸を発射するのではなく、媒質中で波を発信する場合、この式は依然として適用されます が、この場合、まず媒質に対する発信機の速度からs ′
発光体の場合に戻ると、観測者と発光体が一直線上にない場合、結果はほとんど変わりません。[ 2 ] [ 21 ] [ 22 ] ν = γ V ν ′ （ 1 + V s ′ コス θ ） 、 {\displaystyle \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),} θ は光源と観測者の間の角度です。θ = 0 の場合、これは共線運動の場合の以前の結果に帰着しますが、θ = π /2 に対応する横方向の運動の場合、 周波数 は ローレンツ 因子によってシフトします。これは 、
双曲幾何学 関数sinh 、cosh 、tanh 。関数tanh は、ラピディティ −∞ < ς < +∞を相対論的速度 −1 < β < +1 に関連付けます。 相対論的速度に関連するβ {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} ζ {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}} 迅速性 と呼ばれる。これらは次の関係にある。 s o （ 3 、 1 ） ⊃ s p 1 n { K 1 、 K 2 、 K 3 } ≈ R 3 ∋ ζ = β ^ タン − 1 β 、 β ∈ B 3 、 {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},} ζ {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}} は、リー代数 の3次元部分空間上のデカルト座標 であると考えられている。s o （ 3 、 1 ） {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)} ブーストジェネレーター によって張られるローレンツ群K 1 、 K 2 、 K 3 {\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}} この空間は、ラピディティ空間 と呼ばれ、ベクトル空間としてℝ 3 同型 であり、開単位球に写像される。 B 3 {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}} 速度空間 、上記の関係を介して。[ 23 ] 共線形式の加算法則は双曲線正接 の加算法則と一致するタン （ ζ v + ζ u ′ ） = タン ζ v + タン ζ u ′ 1 + タン ζ v タン ζ u ′ {\displaystyle \tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}} v c = タン ζ v 、 u ′ c = タン ζ u ′ 、 u c = タン （ ζ v + ζ u ′ ） 。 {\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).}
速度空間における線要素 B 3 {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}} 相対論的相対速度 の式から導かれる、 [ 24 ] v r = （ v 1 − v 2 ） 2 − （ v 1 × v 2 ） 2 1 − v 1 ⋅ v 2 、 {\displaystyle v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},} v 私 {\displaystyle v_{i}} β 私 {\displaystyle \beta _{i}} v 1 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}} v 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{2}} v r {\displaystyle v_{r}} は、与えられた座標系から 見た、一方の物体と他方の物体の相対 速度です。この式はローレンツ不変、つまり与えられた座標系がどれであるかに依存しませんが、計算される量はそうではありません 。たとえば、与えられた座標系が物体１の静止系である場合、v r = v 2 {\displaystyle v_{r}=v_{2}}
線要素は、v 2 = v 1 + d v {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v} } β 2 = β 1 + d β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}} 25 ] d l β 2 = d β 2 − （ β × d β ） 2 （ 1 − β 2 ） 2 = d β 2 （ 1 − β 2 ） 2 + β 2 1 − β 2 （ d θ 2 + 罪 2 θ d φ 2 ） 、 {\displaystyle dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),} θ φ は通常の球面角度座標で、β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} z ζ を導入 するζ = | ζ | = タン − 1 β 、 {\displaystyle \zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} d l ζ 2 = d ζ 2 + シン 2 ζ （ d θ 2 + 罪 2 θ d φ 2 ） 。 {\displaystyle dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).}
↑ これらの式は、 α v を v 2 2 乗の差 を適用することによって得られます。 v 2 = c 2 (1 − α v 2 ) = c 2 (1 − α v α v
となることによって (1 − α v / v 2 1 / c 2 (1 + α v ) γ v / c 2 (1 + γ v )
↑ s ′ は、問題設定の意味で負の値であること に注意してください。つまり、正の 速度を持つ発射体が、未準備のシステムで観測者に向かって 高速の 弾丸 。慣例として、 − s > V の場合、最終速度 s = − c 正の 周波数が得られるはずです。したがって、マイナス符号は慣例ですが、非常に自然な慣例であり、標準的なものと言えるでしょう。
この式では、負の周波数になる場合もあります。その場合、弾丸は負のx
これらの組み合わせが意味を成すためには、発射体が十分に長い時間弾丸を発射し続けていることが必要であり、その極限として、どの瞬間においてもx
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![{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\Parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69619ca3017cfb16ce21f2f2d2e8aea8e3d8cbd5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\Parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5c424da36356ae030560300aed8d12fe556d2c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a4626061e5696673bd8548072f1c7b91eb6e5a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a3866f450b8fdc5702aed25fb21001564ce506)
![{\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587953edb063d6ed45750ec75efb725b92a7e837)
![{\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d9fe963a64c1c9b62d8142e0cc490f4dc5b6ec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3099c302f1314b31c5c0140eb79ed7954d8b14cc)
![{\displaystyle \gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ead10fe6c4bab9de282a04b882f05ef2cacee8d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517c984a1cefc97c3c7ebf655a34dd629258ea59)
![{\displaystyle |\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4efaec0156c44dd14c38fd97c5fa40a01a1d1ea)
![{\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52e347b81ede2da9516baed88d841e4000f12b8)
![{\displaystyle \mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80cd2300be17c80aba4bee954569eb8a76c0d50)
![{\displaystyle \mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3e418672bf02f2bee8088bb044a9589d0bd47c)
