相対論的方程式一覧

以下は、特殊相対性理論において頻繁に現れる方程式の一覧です。

特殊相対性理論の公準

特殊相対性理論の方程式を導出するには、まず他の2つの式から始めなければならない。

物理法則は、慣性系間の変換に対して不変です。言い換えれば、物理法則は、「静止」している系で検証する場合でも、「静止」系に対して一定速度で運動している系で検証する場合でも、同じになります。
完全な古典的真空における光速（ $c_{0}$ ）は、慣性系におけるすべての観測者によって同じ値として測定され、さらに有限ではあるがゼロではない。この速度は、宇宙における局所的な情報伝達速度の上限値として機能する。

この文脈では、「光速」とは、情報伝達の速度の上限、あるいは通常の（非負の質量を持つ）物質の運動の速度の上限を、古典的な真空のように局所的に指す。したがって、より正確な記述は、 $c_{0}$ 光速そのものではなく、光やその他の質量のない粒子は理論的には $c_{0}$ 真空条件下での実験では、この考えがかなり高い精度で反証されていない。光自体が真空中で伝わるかどうかは関係ない。 $c_{0}$ 、けれど $c_{0}$ はそのような至上原理として作用し、それが相対性理論にとって重要な仮定である。

これら二つの公準から、特殊相対性理論のすべてが導き出される。

以下では、 2 つの慣性フレーム間の相対速度v は、デカルト座標系のx方向に完全に制限されます。

運動学

ローレンツ変換

特殊相対性理論では、以下の記号が非常によく用いられます。

ローレンツ因子

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

どこ $\beta ={\frac {v}{c}}$ vは2つの慣性系間の相対速度である。

2つの慣性系が静止している場合、γ = 1となり、2つの慣性系間の相対速度が増加するにつれてγは増加する。相対速度が光速に近づくと、γ → ∞となる。

時間の遅れ（同じ慣性系内の同じ位置xにおける異なる時刻tとt' ）

t'=\gamma t

この例では、車両上の座標系で測定された時間tは、固有時間と呼ばれます。車両上で光が発せられる事象と車両上で光が受信される事象など、2 つの事象間の固有時間とは、事象が同じ場所で発生する座標系における、2 つの事象間の時間のことです。したがって、上記の例では、光の発せと受信はどちらも車両の座標系で発生したため、車両の座標系にいる観測者が測定する時間が固有時間となります。

長さの収縮（同一慣性系における同一時刻tでの異なる位置xとx' ）

\ell '={\frac {\ell }{\gamma }}

これは長さ収縮の公式です。時間の遅れに固有時間が存在するように、長さ収縮にも固有長さが存在し、この場合はℓです。物体の固有長さとは、物体が静止している座標系における物体の長さのことです。また、この収縮は、物体と観測者間の相対速度に平行な物体の寸法のみに影響します。したがって、運動方向に対して垂直な長さは、長さ収縮の影響を受けません。

ローレンツ変換

x'=\gamma \left(x-vt\right)

y'=y\,

z'=z\,

t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)

速度加算

V'_{x}={\frac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}

V'_{y}={\frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}

V'_{z}={\frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}

計量と4元ベクトル

以下では、 4次元ベクトルには太字サンセリフ体を使用し、通常の3次元ベクトルには通常の太字ローマン体を使用します。

内積（つまり長さの概念）

{\boldsymbol {\mathsf {a}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {b}}}=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})

どこ $\eta$ これは計量テンソルとして知られています。特殊相対性理論では、計量テンソルはミンコフスキー計量です。

\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

時空間間隔

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}={\begin{pmatrix}cdt&dx&dy&dz\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}cdt\\dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}

上記において、ds ^{2 は}時空間隔として知られています。この内積はローレンツ変換の下で不変であり、すなわち、

\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}}',{\boldsymbol {\mathsf {b}}}')=\eta \left(\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}},\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {b}}}\right)=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})

計量の符号や、ct、ct'、cdt、cdt 'といった時間項の配置は、著者の選択によって異なる場合があります。例えば、多くの場合、4次元ベクトルでは時間項が先に配置され、空間項がそれに続きます。また、ηを−ηに置き換えることで、空間項が内積または時空間隔に負の寄与を与え、時間項が正の寄与を与える場合もあります。これらの違いは、計算全体を通して基準の選択が完全に守られている限り、どのような組み合わせでも使用できます。

ローレンツ変換

上記の座標変換は行列で表現できます。簡略化のため、t、t ′、dt、dt ′を、距離の次元を持つct、ct'、cdt、cdt ′に置き換えるのが最善です。したがって、次のようになります。

x'=\gamma x-\gamma \beta ct\,

y'=y\,

z'=z\,

ct'=\gamma ct-\gamma \beta x\,

行列形式で表すと次のようになります。

{\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}

上記の変換式におけるベクトルは4元ベクトルと呼ばれ、この場合は特に位置4元ベクトルです。一般に、特殊相対性理論では、4元ベクトルは次のようにある基準系から別の基準系に変換できます。

{\boldsymbol {\mathsf {a}}}'=\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}}

上記において、 ${\boldsymbol {\mathsf {a}}}'$ そして ${\boldsymbol {\mathsf {a}}}$ はそれぞれ4元ベクトルと変換後の4元ベクトルであり、Λは変換行列であり、与えられた変換に対しては、変換したいすべての4元ベクトルに対して同じである。したがって ${\boldsymbol {\mathsf {a}}}'$ は位置、速度、または運動量を表す4次元ベクトルであり、同じ2つのフレーム間で変換する場合に同じΛを使用できます。最も一般的なローレンツ変換にはブーストと回転が含まれます。コンポーネントは複雑で、変換にはスピノルが必要です。

4ベクトルとフレーム不変の結果

物理量の不変性と統一性はどちらも4ベクトルから生じる。^{[ 1 ]} 4ベクトルとそれ自身との内積はスカラーに等しく（内積の定義による）、4ベクトルは物理量であるため、その大きさも物理量に対応する。

ドップラーシフト

一般的なドップラーシフト：

\nu '=\gamma \nu \left(1-\beta \cos \theta \right)

発信機と観測機が互いに右方向へ（または真後ろへ）移動する場合のドップラーシフト：

\nu '=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

発信機と観測者が、それらを結ぶ線に垂直な方向に移動する場合のドップラーシフト：

\nu '=\gamma \nu

参考文献

↑力学と相対性理論、JR Forshaw、AG Smith、マンチェスター物理学シリーズ、John Wiley & Sons、2009年、 ISBN 978-0-470-01460-8

情報源

Encyclopaedia of Physics (第 2 版)、RG Lerner、GL Trigg、VHC 出版社、1991 年、(Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1、(VHC Inc.) 0-89573-752-3
力学と相対性理論、JR Forshaw、AG Smith、Wiley、2009年、ISBN 978-0-470-01460-8
相対性理論の解明、D・マクマホン著、マグロウヒル（米国）、2006年、ISBN 0-07-145545-0
『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック』、G. ウォーン著、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-57507-2。
力学入門、D. クレップナー、R.J. コレンコウ、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-19821-9

[1] 力学と相対性理論、JR Forshaw、AG Smith、マンチェスター物理学シリーズ、John Wiley & Sons、2009年、 ISBN 978-0-470-01460-8

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関連項目

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光速

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