相対論的システム（数学）

数学において、非自律常微分方程式系は、滑らかな繊維束上の動的方程式として定義される。${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$以上${\displaystyle \mathbb {R} }$例えば、これは非相対論的非自律力学の場合に当てはまりますが、相対論的力学には当てはまりません。相対論的力学を記述するには、滑らかな多様体上の常微分方程式系を考える必要があります。${\displaystyle Q}$その線維化は${\displaystyle \mathbb {R} }$は固定されていません。このようなシステムは座標の変換を許容します。 ${\displaystyle t}$の上${\displaystyle \mathbb {R} }$他の座標に応じて${\displaystyle Q}$したがって、それは相対論的システムと呼ばれます。特に、特殊相対性理論は

ミンコフスキー空間${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{4}}$これはこのタイプです。

構成空間${\displaystyle Q}$相対論的システムのファイブレーションは、${\displaystyle \mathbb {R} }$相対論的システムの速度空間は、1階ジェット多様体である。${\displaystyle J_{1}^{1}Q}$1次元部分多様体の${\displaystyle Q}$部分多様体のジェットの概念は、共変古典場理論や 非自律力学 で用いられるファイバー束の断面のジェットの概念を一般化したものである。一次ジェット束${\displaystyle J_{1}^{1}Q\to Q}$は射影的であり、特殊相対性理論の用語に従うと、そのファイバーは相対論的システムの絶対速度の空間と考えることができる。座標が与えられた場合、${\displaystyle (q^{0},q^{i})}$の上${\displaystyle Q}$一次ジェットマニホールド${\displaystyle J_{1}^{1}Q}$調整された座標が提供されます${\displaystyle (q^{0},q^{i},q_{0}^{i})}$ 遷移関数を持つ

${\displaystyle q'^{0}=q'^{0}(q^{0},q^{k}),\quad q'^{i}=q'^{i}(q^{0},q^{k}),\quad {q'}_{0}^{i}=\left({\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{0}}}\right)\left({\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{0}}}\right)^{-1}.}$

相対論的システムの相対論的速度は、ファイバー束の要素によって表される。${\displaystyle \mathbb {R} \times TQ}$調整者${\displaystyle (\tau ,q^{\lambda },a_{\tau }^{\lambda })}$、 どこ${\displaystyle TQ}$は接束である${\displaystyle Q}$すると、相対論的速度を用いた相対論的系の一般的な運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle \left({\frac {\partial _{\lambda }G_{\mu \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}}{2N}}-\partial _{\mu }G_{\lambda \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}\right)q_{\tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{2}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}-(2N-1)G_{\lambda \mu \alpha _{3}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau \tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{3}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}+F_{\lambda \mu }q_{\tau }^{\mu }=0,}$

$${\displaystyle G_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau }^{\alpha _{1}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}=1.}$$

例えば、${\displaystyle Q}$ミンコフスキー計量を持つミンコフスキー空間は$\displaystyle G_{\mu \nu }}$これは、電磁場が存在する場合の相対論的電荷の式です。

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• 特殊相対性理論

• Krasil'shchik, IS、Vinogradov, AM、[et al.]、「数理物理学の微分方程式の対称性と保存則」、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1999年、ISBN 0-8218-0958-X。
• Giachetta, G.、Mangiarotti, L.、Sardanashvily, G.、「古典力学と量子力学の幾何学的定式化」（World Scientific、2010年） ISBN 981-4313-72-6 ( arXiv : 1005.1212 )