接着公理

数学において、接着公理は、位相空間上の層 が定義により反変関数である前層である場合に、その層が満たすべきものを定義するために導入される。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}(X)\rightarrow C}$

集合のカテゴリであると最初に考えるカテゴリに。これは包含写像によって順序付けられた開集合の半順序である。そして、標準的な方法でカテゴリとして考えられ、一意の射を持つ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U\rightarrow V}$

が のサブセットである場合は、そうでない場合は none です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

層の論文で述べられているように、の開集合の任意の開被覆に対して、 を満たす必要がある公理がある。例えば、 と の和集合と積集合が与えられた場合、必要な条件は次のようになる。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$は、等しい画像を持つサブセットです${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\times {\mathcal {F}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

より形式ばらない言葉で言えば、上の の断面は 、 と上の の断面のペアで同様に表され、これらは、と がそれぞれの制限マップの下 で に共通の像を持つという意味で「一致」します。${\displaystyle s}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (s',s'')}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle s''}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$

そして

${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$。

層理論における最初の大きなハードルは、この接着またはパッチング公理が、幾何学的な状況における通常の考え方からの正しい抽象化であることを理解することです。たとえば、ベクトル場は滑らかな多様体上の接線バンドルのセクションです。これは、2 つの開集合の和集合上のベクトル場は、重なり合う部分で一致する 2 つの集合上のベクトル場 (それ以上でもそれ以下でもない) であることを示しています。

この基本的な理解を踏まえると、理論にはさらなる問題があり、そのいくつかはここで取り上げます。別の方向性としては、グロタンディーク位相があり、さらに別の方向性としては、「局所存在」の論理的地位があります (クリプキ-ジョイアル意味論を参照)。

この定義を、十分な構造を持つ任意のカテゴリで機能するように言い換えると、上記の定義に含まれるオブジェクトとモルフィズムを、「接着」の略で (G) と呼ぶ図に書き表すことができます。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod _{i}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

ここで最初のマップは制限マップの積である

${\displaystyle {res}_{U,U_{i}}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i})}$

矢印の各ペアは2つの制限を表している

${\displaystyle res_{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

そして

${\displaystyle res_{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{j})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$。

これらのマップは、、、および間の可能な制限マップをすべて網羅していることに注目する価値があります。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$

が層になるための条件は、任意の開集合と、 その和集合が である開集合の任意の集合に対して、上の図 (G) がイコライザーであるということである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle U}$

接着公理を理解する一つの方法は、 が次の図の 余極限であることに注目することです。${\displaystyle U}$

${\displaystyle \coprod _{i,j}U_{i}\cap U_{j}{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\coprod _{i}U_{i}}$

接着公理によれば、そのような図の余極限は極限に変換されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

いくつかのカテゴリでは、そのセクションの一部のみを指定して層を構成することができます。具体的には、を基底を持つ位相空間とします。カテゴリは、の対象が であるの完全なサブカテゴリとして定義できます。に値を持つ 上のB層は反変関数です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle \{B_{i}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}'(X)\rightarrow C}$

これは、 の集合に対する接着公理を満たします。つまり、 の開集合の選択に対して、は層のセクションをすべて指定しますが、その他の開集合に対しては未定です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

B-層は層と同値である（つまり、層のカテゴリはB-層のカテゴリと同値である）。^[1] 明らかに、 上の層はB-層に制限できます。逆に、B-層が与えられたら、の他の対象への の切断を決定する必要があります。これを行うには、各開集合 に対して、その和が であるコレクションを見つけることができることに注意してください。圏論的に言えば、この選択により、の対象が である の完全なサブカテゴリの余極限が作成されます。は反変であるため、 を制限写像に関するの極限と定義します。（ここでは、この極限が に存在すると仮定する必要があります。） が基本開集合である場合、 はの上記のサブカテゴリの終端対象であるため、 になります。したがって、 は上の前層に拡張されます。が層であることは検証できます。これは基本的に、 のすべての開被覆のすべての要素が基底要素の和集合 (基底の定義による) であり、 の開被覆内の要素のすべてのペアワイズ交差が基底要素の和集合 (これも基底の定義による) であるためです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(B_{j})\}_{j\in J}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)={\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

層理論の最初の必要性は、アーベル群の層でした。したがって、カテゴリをアーベル群のカテゴリとしてとらえるのはごく自然なことでした。複素多様体や代数幾何学などの幾何学への応用では、局所環の層という考え方が中心となります。しかし、これはまったく同じではありません。代わりに局所環空間と言います。なぜなら、ありふれた場合を除いて、そのような層が局所環のカテゴリへの関数であるというのは正しくないからです。局所環であるのは層の茎であり、セクションのコレクションではありません(セクションは環ですが、一般には局所的ではありません)。局所環空間は、 のに依存する、パラメータ化された局所環の族と考えることができます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

より注意深く議論すれば、ここでの謎は解けます。アーベル群の層、ま​​たは環について自由に語ることができます。なぜなら、それらは代数構造だからです (明示的にシグネチャで定義する、と主張するなら)。有限積を持つカテゴリはすべて、グループ オブジェクトというアイデアをサポートします。これを単に のグループと呼ぶ人もいます。この種の純粋に代数的な構造の場合、アーベル群のカテゴリに値を持つ層、または集合の層のカテゴリのアーベル群のどちらかについて話すことができます。どちらでもかまいません。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

局所環の場合、それは重要です。基礎レベルでは、2 番目の定義スタイルを使用して、カテゴリ内で局所環が何を意味するかを説明する必要があります。これは論理的な問題です。局所環の公理では、環内の任意の に対して、および のいずれかが逆であるという形で、存在量化を使用する必要があります。これにより、カテゴリが十分な構造をサポートしている場合に、「カテゴリ内の局所環」がどのようなものであるかを指定できます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 1-r}$

与えられた前層 を層 に変換するには、層化または層化と呼ばれる標準的な方法があります。少なくとも集合の前層 に対して行うべきことの大まかな直感は、同値関係を導入することです。同値関係は、カバーを改良することで、重なり合う部分の異なるカバーによって与えられたデータを同等にします。したがって、1 つの方法は、茎に行って、から生成された最良の層の層空間を回復することです。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

この言語の使用は、ここで随伴関数を扱っていることを強く示唆しています。したがって、 上の層が上の前層 の完全なサブカテゴリを形成することを観察することは理にかなっています。これには、層の射は、関数として考えた場合の層の自然変換にすぎないというステートメントが暗黙的に含まれています。したがって、包含に対する左随伴として層化の抽象的な特徴付けが得られます。当然、いくつかのアプリケーションでは、説明が必要になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

より抽象的な言葉で言えば、 上の層は前層 (presheaves) の反射的サブカテゴリを形成します(Mac Lane– Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86)。トポス理論では、 Lawvere–Tierney 位相とその層に対して、類似の結果が得られます (同上、p. 227)。 ${\displaystyle X}$

層理論の接着公理はかなり一般的です。たとえば、 ホモトピー理論のマイヤー-ヴィエトリス公理は特殊なケースであることに注意してください。

• 接着方式

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。