スケーリング（ジオメトリ）

アフィン幾何学において、均一なスケーリング（または等方性スケーリング^[1]）は、すべての方向（等方性）で同じスケール係数でオブジェクトを拡大（増加）または縮小（減少）する線形変換です。均一なスケーリングの結果は、（幾何学的な意味で）元のオブジェクトに類似しています。通常、スケール係数 1 が許可されているため、合同な形状も類似として分類されます。均一なスケーリングは、たとえば、写真を拡大または縮小する場合や、建物、車、飛行機などの スケールモデルを作成する場合に行われます。

より一般的なのは、各軸方向に別々のスケール係数を使用したスケーリングです。非均一スケーリング(異方性スケーリング) は、少なくとも 1 つのスケーリング係数が他と異なる場合に取得されます。特殊なケースは、方向性スケーリングまたはストレッチ(1 方向) です。非均一スケーリングはオブジェクトの形状を変更します。たとえば、正方形は長方形に変わることがあり、正方形の辺がスケーリング軸に平行でない場合は平行四辺形に変わることがあります (軸に平行な線間の角度は保持されますが、すべての角度が保持されるわけではありません)。これは、たとえば、遠くの看板を斜めの角度から見た場合や、平らなオブジェクトの影が平行でない面に落ちる場合に発生します。

スケール係数が 1 より大きい場合、(均一または不均一な) スケーリングは、拡張または拡大とも呼ばれることがあります。スケール係数が 1 より小さい正の数の場合、スケーリングは、縮小または縮小とも呼ばれることがあります。

最も一般的な意味では、スケーリングには、スケーリングの方向が垂直でない場合が含まれます。また、1 つ以上のスケール係数がゼロに等しい場合 (投影) や、1 つ以上の負のスケール係数の場合 (-1 による方向スケーリングは反射に相当) も含まれます。

スケーリングは線形変換であり、相似変換（点を中心としたスケーリング）の特殊なケースです。ほとんどの場合、相似変換は非線形変換です。

スケール係数は通常、ある量をスケールまたは乗算する小数です。方程式y  = Cxにおいて、C はxのスケール係数です。C はxの係数でもあり、yとxの比例定数と呼ぶこともできます。たとえば、距離を 2 倍にすると距離のスケール係数は 2 になり、ケーキを半分に切ると体積のスケール係数が半分になります。その基本方程式は、イメージ÷プレイメージです。

測定の分野では、機器のスケール係数は感度と呼ばれることもあります。2 つの類似した幾何学的図形における 2 つの対応する長さの比もスケールと呼ばれます。

スケーリングはスケーリング行列で表すことができます。ベクトル v = ( v _x , v _y , v _z ) でオブジェクトをスケーリングするには、各ポイントp = ( p _x , p _y , p _z ) にこのスケーリング行列を掛ける必要があります。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

以下に示すように、乗算により期待どおりの結果が得られます。

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\ p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z }\end{bmatrix}}.}$

このようなスケーリングにより、オブジェクトの直径はスケール係数の間の係数によって変化し、面積は2つのスケール係数の最小値と最大値の積の間の係数によって変化し、体積は 3 つすべての積によって変化します。

スケーリング係数が等しい場合 ( v _x = v _y = v _z )に限り、スケーリングは均一になります。 1 つを除くすべてのスケール係数が 1 に等しい場合は、方向性のあるスケーリングになります。

v _x = v _y = v _z = kの場合、スケーリングにより、任意の表面の面積はk ²倍に増加し、任意の固体の体積はk ³倍に増加します。

次元空間では、係数による均一なスケーリングは、 によるスカラー乗算、つまり各点の各座標にを乗算することによって実現されます。線形変換の特殊なケースとして、各点（列ベクトルとして表示）に、対角要素がすべて に等しい対角行列、つまりを乗算することによっても実現できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle vI}$

非一様スケーリングは、任意の対称行列との乗算によって実現されます。行列の固有値はスケール係数であり、対応する固有ベクトルは各スケール係数が適用される軸です。特殊なケースとして、対角線に沿って任意の数値を持つ対角行列があります。この場合、スケーリングの軸は座標軸であり、変換は各軸に沿って係数 でスケーリングされます。 ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

ゼロ以外のスケール係数による均一スケーリングでは、すべてのゼロ以外のベクトルは、スケーリング係数の符号に応じて、その方向（原点から見た方向）を保持するか、またはすべての方向が反転します。非均一スケーリングでは、固有空間に属するベクトルのみが方向を保持します。異なる固有空間に属する 2 つ以上のゼロ以外のベクトルの合計であるベクトルは、最大の固有値を持つ固有空間に向かって傾けられます。

コンピュータグラフィックスでよく使用される射影幾何学では、点は同次座標を使用して表されます。ベクトルv = ( v _x , v _y , v _z )でオブジェクトを拡大縮小するには、各同次座標ベクトルp = ( p _x , p _y , p _z , 1) に次の射影変換行列を掛ける必要があります。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

以下に示すように、乗算により期待どおりの結果が得られます。

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{ x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\ v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

同次座標の最後の要素は他の 3 つの要素の分母として見ることができるため、共通因子sによる均一なスケーリング(均一スケーリング) は、次のスケーリング マトリックスを使用して実現できます。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

各ベクトルp = ( p _x , p _y , p _z , 1)について、

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

これは次のようになる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

点 が与えられると、膨張は方程式を通して 点 と点 を関連付けます。${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$のために。${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$

したがって、関数 が与えられた場合、拡大関数の方程式は ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

の場合、変換は水平です。 のときは拡大、 のときは縮小です。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle m<1}$

の場合、変換は垂直です。 のときは拡大、 のときは縮小です。 ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n<1}$

または の場合、変換はスクイーズ マッピングになります。 ${\displaystyle m=1/n}$${\displaystyle n=1/m}$

• 2D コンピュータ グラフィックス#スケーリング
• デジタルズーム
• 膨張（距離空間）
• 同次関数
• 相似変換
• 直交座標
• スカラー（数学）
• スケール（曖昧さ回避）
  • スケール（比率）
  • 縮尺（地図）
• スケール係数（コンピュータサイエンス）
• スケール係数（宇宙論）
• スケールモデルのスケール
• 統計的推定におけるスケーリング
• 重力のスケーリング
• 変換行列
• 画像の拡大縮小

ウィキメディア・コモンズには、スケーリング (幾何学)に関連するメディアがあります。

• Roger Germundsson 著「2D スケーリングの理解」および「3D スケーリングの理解」、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• スケール係数計算機