ガリレオ群の表現論

中心電荷Mはカシミール不変量である。

質量殻不変量

${\displaystyle ME-{P^{2} \over 2}}$

は追加のカシミール不変量です。

3 + 1次元では、3 番目のカシミール不変量はW ²であり、

${\displaystyle {\vec {W}}\equiv M{\vec {L}}+{\vec {P}}\time {\vec {C}}~,}$

これは、相対論的力学におけるパウリ＝ルバンスキー擬ベクトルにいくらか類似している。

より一般的には、n + 1次元では、不変量は次の関数になります。

${\displaystyle W_{ij}=ML_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}}$

そして

${\displaystyle W_{ijk}=P_{i}L_{jk}+P_{j}L_{ki}+P_{k}L_{ij}~,}$

上記の質量殻不変量および中心電荷についても同様である。

シューアの補題を用いると、既約ユニタリ表現では、これらのカシミール不変量はすべて単位元の倍数になります。これらの係数をそれぞれmとmE ₀および ( 3 + 1次元の場合) w とします。ここでユニタリ表現を考えていることを思い出すと、これらの固有値は実数でなければならないことがわかります。

したがって、m > 0、m = 0、m < 0となります。（最後のケースは最初のケースと同様です。）3 + 1次元では、 m > 0の場合、第 3 の不変量に​​対してw = msと書くことができ、ここでs はスピン、または固有角運動量を表します。より一般的には、n + 1次元では、生成子LとC は、それぞれ全角運動量と重心モーメントに次のように関係付けられます。

${\displaystyle W_{ij}=MS_{ij}}$

${\displaystyle L_{ij}=S_{ij}+X_{i}P_{j}-X_{j}P_{i}}$

${\displaystyle C_{i}=MX_{i}-P_{i}t~.}$

純粋に表現論的な観点から言えば、すべての表現を研究する必要があるだろう。しかし、ここでは量子力学への応用のみに関心がある。量子力学では、Eはエネルギーを表し、熱力学的安定性が要求される場合は、下限がなければならない。まず、mがゼロでない場合を考えてみよう。

制約条件付きの ( E , P → ) 空間を考慮する$${\displaystyle mE=mE_{0}+{P^{2} \over 2}~,}$$ ガリレオブーストはこの超曲面上で推移的に作用することがわかります。実際、エネルギーE をハミルトニアンとして扱い、 Pに関して微分し、ハミルトンの方程式を適用すると、質量-速度関係m v → = P →が得られます。

この超曲面は、速度 ln v →によってパラメータ化されます。軌道上の点( E ₀ , 0 ) の安定化点を考えます。ここで速度は0です。推移性により、ユニタリ既約表現には、これらのエネルギー運動量固有値を持つ非自明な線形部分空間が含まれていることがわかります。（この部分空間は、運動量スペクトルが連続であるため、リギングされたヒルベルト空間にのみ存在します。） 

部分空間はE、P →、MおよびL _ijによって張られます。角運動量を除くすべての演算子の下で既約表現の部分空間がどのように変換されるかは既にわかっています。回転部分群はSpin(3)であることに注意してください。射影表現を考えているから、その二重被覆を調べなければなりません。これは小群と呼ばれ、ユージン・ウィグナーによって名付けられました。彼の誘導表現の方法では、既約表現はmE = mE ₀ + P ² /2超曲面上のベクトル束内のすべてのファイバーの直和によって与えられ、そのファイバーはSpin(3)のユニタリ既約表現であると規定されています。

Spin(3)はSU(2)に他ならない。（SU(2)の表現論を参照のこと。そこでは、 SU(2)のユニタリ既約表現は、1/2の非負整数倍であるsでラベル付けされることが示されている。これは歴史的な理由からスピンと呼ばれている。）

• したがって、m ≠ 0の場合、ユニタリ既約表現はm、E ₀およびスピンsによって分類されます。
• Eのスペクトルを見ると、 mが負の場合、 Eのスペクトルは下限を持たないことが明らかです。したがって、正の質量の場合のみが物理的に妥当です。
• さて、 m = 0 の場合を考えてみましょう。ユニタリ性により、$${\displaystyle mE-{P^{2} \over 2}={-P^{2} \over 2}}$$

は非正です。ゼロであると仮定します。ここでも、回転だけでなくブーストも小群を構成します。この小群の任意のユニタリ既約表現は、ガリレオ群の射影既約表現も生み出します。我々の知る限り、小群の下で自明に変換される場合のみ物理的な解釈があり、それは無粒子状態、真空に対応します。

不変量が負の場合については、追加の説明が必要です。これは、m = 0 かつP →がゼロでない場合の表現クラスに対応します。ポアンカレ群の表現論におけるブラディオン、ルクソン、タキオンの分類を、ここで類似の分類に拡張すると、これらの状態を同期状態と呼ぶことができます。これらは、（おそらく大きな）距離を横切る非ゼロ運動量の瞬間的な伝達を表します。上記により、これらには「時間」演算子が関連付けられています。

${\displaystyle t=-{{\vec {P}}\cdot {\vec {C}} \over P^{2}}~,}$

これは、伝達の時点と同一視できる可能性がある。これらの状態は、瞬間的な遠隔作用力を伝達する媒体として自然に解釈される。

注：3 + 1次元ガリレイ群では、ブーストジェネレータは次のように分解できます。

${\displaystyle {\vec {C}}={{\vec {W}}\time {\vec {P}} \over P^{2}}-{\vec {P}}t~,}$

W →はヘリシティに類似した役割を果たします。