ポリアボロ

レクリエーション数学において、ポリアボロ（ポリタンまたはポリトロンとも呼ばれる）は、直角二等辺三角形を端から端まで接着して形成される図形であり、直角二等辺三角形を基本形とするポリフォームを作成します。ポリアボロは、1967年6月のサイエンティフィック・アメリカン誌の「数学ゲームコラム」でマーティン・ガードナーによって紹介されました。^[1]

ポリアボロという名前は、ジャグリングの道具「ディアボロ」から派生したものですが、2 つの三角形を 1 つの頂点だけで結合して形成される形状は、正確なポリアボロではありません。ディアボロの「di-」を「2」の意味と見なす誤った類推により、1 から 10 個のセルを持つポリアボロは、それぞれ、モナボロ、ディアボロ、トリアボロ、テトラボロ、ペンタボロ、ヘキサボロ、ヘプタボロ、オクタボロ、エニアボロ、デカボロと呼ばれます。ポリタンという名前は、アンリ・ピチョットのテトラタンという名前に由来し、古代中国の娯楽であるタングラムを暗示しています。

ポリアボロの正方形が 2 つの直角二等辺三角形で構成される方法は 2 つありますが、境界が同じであればポリアボロは同等であると見なされます。1、2、3、… の三角形で構成される同等でないポリアボロの数は、1、3、4、14、30、107、318、1116、3743、… です ( OEISのシーケンスA006074 )。

厳密に平面に限定され、裏返すことができないポリアボロスは、片側性と呼ばれることがあります。1、2、3、… の三角形で構成される片側ポリアボロスの数は、1、4、6、22、56、198、624、2182、7448、… です ( OEISのシーケンスA151519 )。

ポリオミノに関しては、裏返すことも回転することもできないポリアボロは固定されていると言えます。対称性 (回転または反射) のないポリアボロは、8 つの異なる固定ポリアボロに相当します。

非単純連結ポリアボロとは、1 つ以上の穴があるポリアボロです。n アボロが非単純連結となる最小の n の値は7 です。

1968 年、David A. Klarner はポリオミノの順序を定義しました。同様に、ポリアボロ P の順序は、長方形を形成するために組み立てられる (平行移動、回転、および反転を可能にする) P の合同なコピーの最小数として定義できます。

ポリアボロは、それ自体が長方形である場合にのみ、次数 1 を持ちます。次数 2 のポリアボロも簡単に認識できます。ソロモン W. ゴロムは、トリアボロを含む次数 8 のポリアボロを発見しました。^[2]マイケル リードは、次数 6 のヘプタボロを発見しました。^[3] より高い次数も可能です。

ユークリッド平面には、ポリアボロを含む興味深いモザイク分割法があります。その 1 つがテトラキス正方形タイル分割法です。これは、ユークリッド平面全体を 45 - 45 - 90 個の三角形で埋め尽くす単面体モザイク分割法です。

互換性問題とは、2 つ以上のポリアボローから、それぞれを敷き詰めることができる図形を見つけることです。この問題は、ポリオミノの互換性問題よりもはるかに研究されていません。体系的な結果は、2004 年に Erich Friedman の Web サイト Math Magic で初めて公開されました。^[4]

ウィキメディア・コモンズには、ポリアボロに関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「Polyabolo」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「トリアボロ」。マスワールド。