比較可能性

数学において、集合Pの2つの要素xとyは、二項関係≤に関して、x≤yまたはy≤xの少なくとも一方が真である場合に比較可能であると言われます。比較可能でない場合は、比較不可能であると言われます。

集合上の二項関係${\displaystyle P}$定義により任意のサブセットである${\displaystyle R}$の${\displaystyle P\times P.}$与えられた${\displaystyle x,y\in P,}$${\displaystyle xRy}$は、以下の場合に限り書かれる。${\displaystyle (x,y)\in R,}$その場合${\displaystyle x}$は関連していると言われている${\displaystyle y}$による${\displaystyle R.}$ 要素${\displaystyle x\in P}$と言われている${\displaystyle R}$-比較可能な、または比較可能な（${\displaystyle R}$) 要素へ${\displaystyle y\in P}$もし${\displaystyle xRy}$または${\displaystyle yRx.}$ 多くの場合、比較を示す記号、例えば${\displaystyle <}$（または${\displaystyle \leq ,}$${\displaystyle >,}$${\displaystyle \geq ,}$（その他多数）の代わりに${\displaystyle R,}$その場合${\displaystyle x<y}$の代わりに${\displaystyle xRy,}$そのため、「比較可能な」という用語が用いられるのです。

比較可能性に関して${\displaystyle R}$に正準二項関係を誘導する${\displaystyle P}$具体的には、${\displaystyle R}$は、すべてのペアの集合として定義される。${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$そのため${\displaystyle x}$に匹敵する${\displaystyle y}$;つまり、少なくとも1つが${\displaystyle xRy}$そして${\displaystyle yRx}$は真である。同様に、比較不可能な関係は${\displaystyle P}$誘発される${\displaystyle R}$は、すべてのペアの集合として定義される。${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$そのため${\displaystyle x}$比較にならない${\displaystyle y;}$つまり、どちらも${\displaystyle xRy}$または${\displaystyle yRx}$それは本当です。

シンボルが${\displaystyle <}$の代わりに使用されます${\displaystyle \leq }$次に比較可能性に関して${\displaystyle <}$は、記号で表されることもあります。${\displaystyle {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}$、そして記号による比較不可能性${\displaystyle {\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!}$^{[ 1 ]} したがって、任意の2つの要素について${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$部分的に順序付けられた集合のうち、ちょうど1つ${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$そして${\displaystyle x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y}$それは本当です。

全順序集合とは、任意の2つの要素が比較可能な部分順序集合のことである。シュピルラインの拡張定理は、すべての部分順序は全順序に含まれると述べている。直感的に言えば、この定理は、一部の要素のペアが比較不可能となるような要素の比較方法を拡張すれば、すべてのペアが比較可能になるということを示している。

比較可能性と非比較可能性の関係はどちらも対称的である。つまり、${\displaystyle x}$に匹敵する${\displaystyle y}$かつその場合に限り${\displaystyle y}$に匹敵する${\displaystyle x,}$そして、比較不可能性についても同様である。

半順序集合の比較可能性グラフ${\displaystyle P}$頂点として要素を持つ${\displaystyle P}$そして、正確にそれらのペアを辺として持つ${\displaystyle \{x,y\}}$要素の${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$[ ^{2 ]​}

数学的対象（例えば、位相空間）を分類する場合、2つの基準は、一方の基準を満たす対象が他方の基準を満たす対象の部分集合を構成する場合、すなわち、半順序⊂の下で比較可能である場合に比較可能であると言われます。例えば、T1_基準とT2基準は比較可能ですが、T1基準_と禁酒基準_は比較可能ではありません。

• 厳密弱順序付け– 集合の数学的順位付け リダイレクト先の短い説明を表示するページ、比較不可能性が推移的関係である部分順序付け 

• PlanetMathにおける部分順序。