実閉環

数学において、実閉環（じっきゅうきょうかん、 RCR）は、実閉体の積の部分環であり、整数上で定義された連続半代数関数によって閉じている可換環 Aである。

実閉環の厳密な定義は技術的な性質のものなので、まずは有名な例の一覧を見るのが便利です。次の環はすべて実閉環です。

• 実閉体。これらはまさに体である実閉環です。
• 完全に正則な空間X上のすべての実数値連続関数の環。また、 X上のすべての有界な実数値連続関数の環は実閉環である。
• 実閉体の凸部分環。これらはまさに実閉環であり、また付値環でもあり、Cherlin と Dickmann によって最初に研究されました (彼らは現在「実閉付値環」と呼ばれるものを「実閉環」という用語で表現しました)。
• 実閉体（その体の値を持つ）の半代数集合上のすべての連続半代数関数の環A。また、 Aのすべての有界（任意の意味で）関数の部分環は実閉です。
• (前の例を一般化すると)実閉体 ( Mに値を持つ) の任意の 1 次展開Mの定義可能集合 S上のすべての (有界) 連続定義可能関数の環。また、すべての (有界) 定義可能関数の環は実閉です。${\displaystyle S\to M}$
• 実閉環はまさにアフィン実閉空間（半代数空間の一般化）の大域切断の環であり、この文脈で 1980 年代初頭にニールス・シュワルツによって発明されました。

実閉環は、以下の性質を持つ、 縮小された可換単位環Aです。

1. Aの平方集合は、A上の半順序 ≤ の非負元の集合であり、( A ,≤) はf 環です。
2. 凸性条件: A内のすべてのa、  bについて、 0 ≤ a ≤ bならばb  |  a ²です。
3. Aのあらゆる素イデアル pに対して、剰余類環A / p は整閉体であり、その分数体は実閉体である。

この記事の冒頭にある定義へのリンクは、以下の代数的性質のセクションに記載されています。

すべての可換単位環R には、いわゆる実閉包rcl( R ) があり、これはR上の一意の環準同型を除いて一意です。これは、 rcl( R ) が実閉環であり、（必ずしも単射ではない）環準同型が存在し、他の実閉環Aへのすべての環準同型に対して、を持つ一意の環準同型が存在すること を意味します。 ${\displaystyle r:R\to rcl(R)}$${\displaystyle f:R\to A}$${\displaystyle g:rcl(R)\to A}$${\displaystyle f=g\circ r}$

例えば、多項式環 の実閉包は連続半代数関数の環です。 ${\displaystyle \mathbb {R} [T_{1},...,T_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

任意の環Rが半実数（つまり、 Rの平方和が −1 ではない）となるのは、 Rの実閉包が零環ではない 場合のみです。

順序体の実閉包は、一般に、基になる体の実閉包ではありません。たとえば、 の順序部分体の実閉包は実代数的数の体ですが、体の実閉包は環です （ の 2 つの順序に対応します）。より一般的には、体Fの実閉包は、順序体 ( F、P ) の実閉包の特定の部分直積であり、ここでP はFの順序付けを通過します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}\times \mathbb {R} _{alg}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

• 実閉環をオブジェクトとして持ち、環準同型を射として持つ実閉環のカテゴリRCRには、 次の特性があります。

1. 実閉環の任意の積、直極限、逆極限（可換単位環のカテゴリ内）は、やはり実閉環である。ある実閉環A上の 2 つの実閉環B、Cのファイバー和はRCRに存在し、 BとCのA上のテンソル積の実閉包である。
2. RCR には任意の極限と余極限があります。
3. RCRは普遍代数の意味での多様体です(ただし、可換環の部分多様体ではありません)。

• 実閉環Aについて、 Aのすべての剰余体の積への自然準同型は、整数上で定義された連続半代数関数の下で閉じているこの積の部分環への同型 である。逆に、この性質を持つ実閉体の積の部分環はすべて実閉である。
• I が実閉環Aの根基イデアルである場合、剰余類環A / Iも実閉環です。IとJ が実閉環の根基イデアルである場合、和I +  J も根基イデアルです。
• 実閉環Aのすべての古典的局所化 S ⁻¹ Aは実閉である。実閉環のエピモルフィック包と商の完全環も実閉である。
• 実閉環Aの(実) 正則環H ( A )もまた実閉環です。定義により、H ( A ) は、ある自然数Nに対して−N  ≤  f  ≤  Nという性質を持つAのすべての元fから構成されます。上記の例に適用すると、これは、有界 (半代数的/定義可能) 連続関数の環がすべて実閉環であることを意味します。
• 実閉環の実スペクトルからそのザリスキスペクトルへのサポート写像は、順序P をそのサポートに送るものであり、同相写像である。特に、すべての実閉環Aのザリスキスペクトルはルートシステム（グラフ理論の意味で）であり、したがってAはゲルファンド環でもある（つまり、Aのすべての素イデアルはAの唯一の極大イデアルに含まれる）。 AのザリスキスペクトルとH ( A )のザリスキスペクトルを比較すると、これらの環の極大スペクトル間の同相写像が得られ、実数値連続関数の環に対するゲルファンド-コルモゴロフの定理が一般化される。${\displaystyle P\cap -P}$
• 上で説明したように、任意の環Rからその実閉包 rcl( R ) への自然写像r は、 rcl( R ) の実スペクトルからRの実スペクトルへの同相写像を誘導します。
• 前の 2 つの特性を要約し、大幅に強化すると、次のことが当てはまります。任意の環Rからその実閉包 rcl( R ) への自然写像r は、 rcl( R ) のアフィン スキームとRのアフィン実閉空間の同一視を誘導します。
• すべての局所実閉環はヘンゼル環です (ただし、一般に局所実閉環は付値環ではありません)。

実閉環のクラスは、一階 公理化可能かつ決定不可能である。すべての実閉付値環のクラスは決定可能（Cherlin-Dickmann による）であり、すべての実閉体のクラスは決定可能（Tarski による）である。定義可能な根基関係に名前を付けると、実閉環にはモデル的な仲間、つまりフォン・ノイマン正則実閉環が現れる。

実閉体にはさまざまな特徴付けがあります。たとえば、最大性 (代数的拡大に関して) の観点からは、実閉体は最大順序付け可能な体である、または、実閉体 (および一意の順序付け) は最大順序付けされた体です。別の特徴付けでは、中間値定理は(順序付けされた) 体上の 1 変数のすべての多項式に対して成り立つとされています。可換環の場合、これらすべての特性は文献で分析できます (実際に分析されています)。これらはすべて、残念ながら「実閉体」とも呼ばれる異なる環のクラスにつながります (実閉体の特定の特徴付けが環に拡張されているため)。いずれも実閉環のクラスにはつながらず、いずれも満足のいく閉包操作の概念を許可しません。実閉環の定義における中心的な点は、これらの環が何らかの空間（典型的には環の実スペクトル）上の関数の環として表されるときに、実閉体の概念を環にグローバル化することです。

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• シュワルツ、ニールス。実閉空間の基礎理論。アメリカ数学会誌 1989 年 ( ISBN  0821824600 )
• シュワルツ、ニールス; マッデン、ジェームズ J. 半代数関数環と部分順序環の反射子。数学講義ノート、1712。シュプリンガー出版社、ベルリン、1999 年
• シュワルツ、ニールス。実閉環。代数と順序（ルミニー・マルセイユ、1984）、175-194、Res. Exp. Math.、14、ヘルダーマン、ベルリン、1986
• シュワルツ、ニールス。連続関数の環を実閉環として。順序付き代数構造（キュラソー、1995）、277-313、Kluwer Acad. Publ.、ドルドレヒト、1997年。
• トレッスル、マーカス。超リアルな閉じたリング。 Fundamenta Mathematicae 194 (2007)、no. 2、121–177。