ユークリッド順序体

数学において、ユークリッド体とは、すべての非負の要素が平方数であるような順序体Kのことである。つまり、 Kにおいてx ≥ 0ならば、 Kのあるyに対してx = y ²が成り立つ。

構成可能数はユークリッド体を形成する。これは最小のユークリッド体であり、すべてのユークリッド体はこれを順序付き部分体として含む。言い換えれば、構成可能数は有理数のユークリッド閉包を形成する。

• すべてのユークリッド体は順序付きピタゴラス体であるが、その逆は真ではない。^{[ 1 ]}
• E / F が有限拡大であり、Eがユークリッドであるならば、 Fもユークリッドである。この「下降定理」はディラー・ドレス定理の結果である。^{[ 2 ]}

• 実数構成可能数、すなわち定規とコンパスによる作図で有理線分から構成できる（符号付き）長さは、ユークリッド体を形成する。^{[ 3 ]}

すべての実閉体はユークリッド体である。以下の例も実閉体である。

• 実際の数字${\displaystyle \mathbb {R} }$通常の演算と順序付けによって、ユークリッド体が形成される。
• 実代数的数の体${\displaystyle \mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}} }$はユークリッド体である。
• 超実数体はユークリッド体である。

• 有理数​${\displaystyle \mathbb {Q} }$通常の演算と順序付けでは、ユークリッド体を形成しません。たとえば、2 は平方数ではありません。${\displaystyle \mathbb {Q} }$2の平方根は無理数であるため。^{[ 4 ]} 上記の結果から、代数的数体はユークリッド数体にはなり得ない。^{[ 2 ]}
• 複素数​${\displaystyle \mathbb {C} }$それらは順序体の構造を与えることができないため、ユークリッド体を形成しない。

順序体Kのユークリッド閉包は、 Kの二次閉包におけるKの拡大であり、 K の順序を拡大する順序体であるという点で最大である。^{[ 5 ]}また、ユークリッド体であり、K の順序拡大であるKの代数閉包の最小の部分体でもある。

• エフラット、イド（2006）。評価、順序付け、およびミルナーK理論。数学概論およびモノグラフ。第 124巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 . 
• ラム・ツィットユエン（2005）。体上の二次形式入門。大学院数学研究。第 67巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2。MR 2104929。Zbl 1068.11023。  
• マーティン、ジョージ・E. (1998).幾何学的構成.数学学部教科書.シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015 . 

• PlanetMathのユークリッド場。