共終性

数学、特に順序理論では、半順序集合Aの共終性cf( A ) は、Aの共終部分集合の濃度の最小値である。形式的には、^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {cf} (A)=\inf\{|B|:B\subseteq A,(\forall x\in A)(\exists y\in B)(x\leq y)\}}$

この共終性の定義は選択公理に依拠しており、空でない基数集合には最小要素が存在するという事実を利用しています。半順序集合Aの共終性は、 xからAへの関数が存在し、その共終像が となるような最小の順序数xとして定義することもできます。この 2 番目の定義は選択公理がなくても意味を成します。この記事の残りの部分で想定するように選択公理を仮定すると、2 つの定義は同等になります。

共終結性は、有向集合に対しても同様に定義でき、ネットにおける部分列の概念を一般化するために使用されます。

• 最大要素を持つ部分順序集合の共終性は1 です。なぜなら、最大要素のみからなる集合は共終性を持つ集合であり（そして、他のすべての共終性部分集合に含まれていなければならない）、共終性は 1 だからです。
  • 特に、ゼロでない任意の有限順序数、あるいは任意の有限有向集合の共終数は1である。なぜなら、そのような集合は最大要素を持つからである。後続順序数の共終数も1である。
• 半順序集合の共終集合は、その集合のすべての最大要素を含まなければならない。したがって、有限半順序集合の共終性は、その最大要素の数に等しい。
  • 特に、${\displaystyle A}$サイズのセットである${\displaystyle n,}$そして、以下の部分集合の集合を考える。${\displaystyle A}$最大${\displaystyle m}$要素。これは包含関係と部分集合に関して部分的に順序付けられており、${\displaystyle m}$要素は極大である。したがって、この半順序集合の共終性は${\displaystyle n}$選ぶ${\displaystyle m.}$
• 自然数の部分集合${\displaystyle \mathbb {N} }$共同決勝${\displaystyle \mathbb {N} }$無限である場合に限り、したがって共終性$\displaystyle \aleph _{0}}$は$\displaystyle \aleph _{0}.$したがって$\displaystyle \aleph _{0}}$通常のカーディナルです。
• 実数とその通常の順序の共終性は${\displaystyle \aleph _{0},}$以来${\displaystyle \mathbb {N} }$共同決勝${\displaystyle \mathbb {R} .}$ 通常の順序${\displaystyle \mathbb {R} }$は順序が同型ではない${\displaystyle c,}$実数の濃度は、共終点が厳密により大きい。$\displaystyle \aleph _{0}.$ これは、共終結性が順序に依存することを示している。同じ集合であっても、順序が異なれば共終結性も異なる可能性がある。

もし${\displaystyle A}$完全に順序付けられた共終部分集合を許容するならば、部分集合を見つけることができる${\displaystyle B}$それは整然としていて、共同最終的である${\displaystyle A.}$任意のサブセット${\displaystyle B}$も整列している。 の 2 つの共終部分集合${\displaystyle B}$最小基数（つまり、その基数は、${\displaystyle B}$) は順序同型である必要はない (例えば、${\displaystyle B=\オメガ +\オメガ ,}$そして両方とも${\displaystyle \omega +\omega }$そして${\displaystyle \{\omega +n:n<\omega \}}$のサブセットとして見なされる${\displaystyle B}$共終点の可算濃度を持つ${\displaystyle B}$しかし、順序は同型ではない）。しかし、共終部分集合は${\displaystyle B}$最小オーダー型はオーダー同型になります。

順序数の共終性${\displaystyle \alpha }$最小の序数${\displaystyle \delta }$それは、共終部分集合の順序タイプです。${\displaystyle \alpha .}$ 順序数の集合、あるいはその他の整列集合の共終結性とは、その集合の順序型の共終結性である。

したがって、極限順序数の場合${\displaystyle \alpha ,}$存在する${\displaystyle \delta }$- 制限付き厳密に増加するインデックス付き数列${\displaystyle \alpha .}$ 例えば、共終結性$\displaystyle \omega ^{2}}$は${\displaystyle \omega ,}$シーケンスが${\displaystyle \omega \cdot m}$（どこ${\displaystyle m}$自然数の範囲）は${\displaystyle \omega ^{2};}$しかし、より一般的には、可算極限順序数はすべて共終性を持つ。${\displaystyle \omega .}$ 不可算の極限順序数は、共終性を持つことができる。${\displaystyle \omega }$も同様に${\displaystyle \omega _{\omega }}$あるいは、数えきれない共終性。

0の共終数は0です。任意の後続順序数の共終数は1です。任意の非ゼロ極限順序数の共終数は無限正則基数です。

正規順序数とは、その共終数と等しい順序数のことである。特異順序数とは、正規順序数ではないすべての順序数のことである。

すべての正規順序数は基数の最初の順序数です。正規順序数の任意の極限は最初の順序数の極限であり、したがって最初の順序数でもありますが、正規である必要はありません。選択公理を仮定すると、${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$それぞれに定期的${\displaystyle \alpha .}$ この場合、序数${\displaystyle 0,1,\omega ,\omega _{1},}$そして$\displaystyle \omega _{2}}$規則的である一方、${\displaystyle 2,3,\omega _{\omega },}$そして${\displaystyle \omega _{\omega \cdot 2}}$規則的でない序数詞です。

任意の順序数の共終性${\displaystyle \alpha }$は正規の順序数、つまり、の共終点の共終点です${\displaystyle \alpha }$は、${\displaystyle \alpha .}$ したがって、共終結性演算は冪等である。

もし${\displaystyle \kappa }$無限基数である場合、${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$は、から無限関数が存在する最小の基数である。${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$に${\displaystyle \kappa$ ;} ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$また、これは、合計が${\displaystyle \kappa$ ;} より正確に $${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\min \left\{|I|\$$ :\ \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\ \land \forall i\in I\colon \lambda _{i}<\kappa \right\}.}

上記の集合が空でないことは、 $${\displaystyle \kappa =\bigcup _{i\in \kappa }\{i\}}$$ すなわち、​${\displaystyle \kappa }$シングルトン集合。これは直ちに次のことを意味する。${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )\leq \kappa .}$ 任意の全順序集合の共終結性は正則であるため、${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\operatorname {cf} (\operatorname {cf} (\kappa )).}$

ケーニッヒの定理を用いると、${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}}$そして${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} \left(2^{\kappa }\right)}$任意の無限基数に対して${\displaystyle \kappa .}$

最後の不等式は、連続体の濃度の共終性が非可算でなければならないことを意味する。一方、 $${\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n},}$$ 順序数ωは最初の無限順序数であるため、共終性は${\displaystyle \aleph _{\omega }}$カード(ω) =$\displaystyle \aleph _{0}.$ （特に、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$（単数形です。）したがって、 $$2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }.$$

（連続体仮説と比較すると、$\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$）

この議論を一般化すると、極限順序数に対して、${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\operatorname {cf} (\delta ).}$$

一方、選択公理が成り立つ場合、後継またはゼロ順序数については、${\displaystyle \delta }$$$\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\aleph _{\delta }.}$$

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