量子論理ゲート

量子コンピューティング、特に量子回路 計算モデル では、量子論理ゲート(または単に量子ゲート) は、少数の量子ビットで動作する基本的な量子回路です。量子論理ゲートは、従来のデジタル回路における古典的論理ゲートと同様に、量子回路の構成要素です。

多くの古典的論理ゲートとは異なり、量子論理ゲートは可逆的である。可逆的ゲートのみを使用して古典的コンピューティングを実行することが可能である。例えば、可逆的なトフォリゲートは、補助ビットを使用するコストを犠牲にして、すべてのブール関数を実装することができる。トフォリゲートには量子的に同等のゲートがあり、量子回路が古典的回路によって実行されるすべての操作を実行できることを示す。

量子ゲートはユニタリ演算子であり、何らかの正規直交基底に対するユニタリ行列として記述されます。通常は計算基底が使用され、これは何かと比較しない限り、dレベルの量子システム（量子ビット、量子レジスタ、または量子トリットと量子ディットなど）の場合に、正規直交基底ベクトルが とラベル付けされるか、または2進表記を使用することを意味します。 ^{[1] : 22–23} ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\dots ,|d-1\rangle }$

量子ゲートの現在の表記法は、アドリアーノ・バレンコ、チャールズ・ベネット、リチャード・クリーブ、デイビッド・P・ディヴィンチェンツォ、ノーマン・マーゴラス、ピーター・ショア、ティコ・スレイター、ジョン・A・スモーリン、ハラルド・ウェインフルターなど、量子情報科学の創始者たちの多くによって開発され、^[2]リチャード・ファインマンが1986年に導入した表記法に基づいている。 ^[3]

量子論理ゲートはユニタリ行列によって表される。量子ビットに作用するゲート（レジスタ）はユニタリ行列によって表され、行列乗算の群演算^[a]を伴うそのようなゲートすべての集合はユニタリ群U(2 ⁿ )である。 ^[2]ゲートが作用する量子状態は複素次元の単位ベクトルであり、複素ユークリッドノルム（ 2 ノルム ）を持つ。 [ 4 ] ^{: 66  [5] : 56, 65}基底ベクトル（固有状態と呼ばれることもある）は、量子ビットの状態が測定された場合に起こり得る結果であり、量子状態はこれらの結果の線形結合である。最も一般的な量子ゲートは、一般的な古典論理ゲートが1 ビットまたは 2ビットで動作するのと同じように、1 量子ビットまたは 2 量子ビットのベクトル空間で動作する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

量子論理ゲートは連続対称群に属しているが、実際のハードウェアは不正確であり、したがって精度が制限されている。ゲートの適用により通常エラーが発生し、量子状態の忠実度は時間の経過とともに低下する。エラー訂正を使用する場合、使用可能なゲートはさらに有限セットに制限される。^{[4] : ch. 10  [1] : ch. 14}この記事の後半では、理想的な量子ゲートの特性に焦点が当てられているため、この点は無視されます。

量子状態は通常、ブラ・ケットと呼ばれる表記法の「ケット」で表されます。

単一量子ビットのベクトル表現は

${\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}.}$

ここで、およびは量子ビットの複素確率振幅です。これらの値は、量子ビットの状態を測定するときに 0 または 1 を測定する確率を決定します。詳細については、以下の測定を参照してください。 ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{1}}$

値 0 は ket で表され、値 1 は ket で表されます。${\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

テンソル積（またはクロネッカー積）は、量子状態を結合するために使用されます。量子ビットレジスタの結合状態は、構成量子ビットのテンソル積です。テンソル積は、記号 で表されます。${\displaystyle \otimes }$

2つの量子ビットのベクトル表現は次のようになる: ^[6]

${\displaystyle |\psi \rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}.}$

特定の量子状態に対するゲートの作用は、状態を表すベクトル とゲートを表す行列を乗算することによって求められます。結果は新しい量子状態 になります。${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle .}$

ゲートの数は数え切れないほど無限にあります。ゲートのいくつかは様々な著者によって命名されており、^{[2] [1] [4] [5] [7] [8] [9]}、以下は文献で最もよく使われるゲートのいくつかです。

恒等ゲートは恒等行列であり、通常Iと書かれ、単一量子ビットに対して次のように定義される。

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

ここで、Iは基底に依存せず、量子状態を変更しません。恒等ゲートは、さまざまなゲート操作の結果を数学的に記述する場合や、マルチ量子ビット回路について説明する場合に最も役立ちます。

パウリゲートは3つのパウリ行列であり、1つの量子ビットに作用します。パウリX、Y、Zはそれぞれ、ブロッホ球のx、y、z軸の周りのラジアンによる回転に相当します。^[b]${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$${\displaystyle \pi }$

Pauli - Xゲートは、ブロッホ球上のz軸を区別する標準基底、に関して、古典的コンピュータのNOT ゲートの量子等価物です。を に、を にマッピングするため、ビットフリップと呼ばれることもあります。 同様に、Pauli- Y はを に、 をにマッピングします。 Pauli Z は基底状態を変更せずに にマッピングします。この性質のため、Pauli Z は位相フリップと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle i|1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle -i|0\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle -|1\rangle }$

これらの行列は通常次のように表される。

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

パウリ行列は逆行列であり、パウリ行列の平方は単位行列であることを意味します。

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

パウリ行列も反交換性があり、例えば${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

パウリ行列の行列指数は回転演算子であり、次のように記述されることが多い。${\displaystyle \sigma _{j}}$${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

制御ゲートは2つ以上の量子ビットに作用し、1つ以上の量子ビットが何らかの演算の制御として機能します。^[2]たとえば、制御NOTゲート（またはCNOTまたはCX）は2つの量子ビットに作用し、最初の量子ビットが の場合にのみ2番目の量子ビットに対してNOT演算を実行し、それ以外の場合は変更しません。基底、、、に関しては、エルミートユニタリ行列によって表されます。 ${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

CNOT (または制御パウリ-X ) ゲートは、基底状態（ここではXOR ）をマップするゲートとして記述できます。 ${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$${\displaystyle \oplus }$

CNOT はパウリ基底で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

CNOT はエルミート ユニタリ演算子であるため、および であり、 が逆行列 であるという性質を持ちます。 ${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}}$

より一般的には、Uが行列表現を持つ単一量子ビット上で動作するゲートである 場合、

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

制御 U ゲートは 、最初の量子ビットが制御として機能するように 2 つの量子ビットを操作するゲートです。次のように基底状態をマッピングします。

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

制御されたUを表す行列は

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

Uがパウリ演算子X、Y、Zのいずれかである場合、それぞれ「制御X」、「制御Y」、または「制御Z 」という用語が使用されることがあります。^{[4] ：177–185}これは単にC X、C Y、C Zと短縮されることもあります。

一般に、任意の単一量子ビットユニタリゲートはと表現できる。ここで、 Hはエルミート行列であり、制御されるUは${\displaystyle U=e^{iH}}$${\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

^{制御は、任意の数の量子ビットを持つゲート[2]}やプログラミング言語の関数^[10]に拡張することができる。関数は重ね合わせ状態を条件とすることができる。^{[11] [12]}

ゲートは古典的論理によって制御することもできる。量子コンピュータは古典的コンピュータによって制御され、どのゲートをどの量子ビットで実行するかという命令を古典的コンピュータから受け取るコプロセッサのように動作する。 ^{[13] : 42–43  [14]}古典的制御とは、量子コンピュータの命令シーケンスにゲートを含めるか省略するかということである。^{[4] : 26–28  [1] : 87–88}

位相シフトは、基底状態とをマッピングする単一量子ビット ゲートのファミリです。このゲートを適用した後、またはを測定する確率は変わりませんが、量子状態の位相は変更されます。これは、水平円 (一定の緯度の線) をトレースすること、またはブロッホ球面上の z 軸を中心にラジアンで回転することと同じです。位相シフト ゲートは、次の行列で表されます。 ${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

ここで は周期2πの位相シフトです。一般的な例としては、Tゲート(歴史的にはゲートとして知られています)、位相ゲート (S ゲートとも呼ばれ、Sと表記されますが、Sは SWAP ゲートに使用されることもあります) 、パウリ Z ゲート (${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle \pi /8}$${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \varphi =\pi .}$

位相シフト ゲートは次のように相互に関連しています。

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

位相ゲートはエルミートではないことに注意する（すべての を除く）。これらのゲートは、それらのエルミート共役ゲートとは異なります。2つの随伴（または共役転置）ゲートとが命令セットに含まれることがあります。^{[15] [16]}${\displaystyle P(\varphi )}$${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$${\displaystyle S^{\dagger }}$${\displaystyle T^{\dagger }}$

アダマール ゲートまたはウォルシュ アダマール ゲートは、ジャック アダマール(フランス語: [adamaʁ] ) とジョセフ L. ウォルシュにちなんで名付けられ、単一の量子ビットに作用します。基底状態と をマッピングします(計算基底状態が与えられている場合は、等しい重ね合わせ状態を作成します)。2 つの状態と は、それぞれ およびと表記されることもあります。アダマール ゲートは、ブロッホ球面の軸を中心にを回転するため、逆向きです。これは、アダマール行列によって表されます。 ${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |-\rangle }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

エルミート（つまり）アダマールゲートを使用して基底 の変更を実行すると、と が反転します。たとえば、${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$${\displaystyle HZH=X}$${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

スワップゲートは2つの量子ビットを交換する。基底、、、に関して、それは行列で表される 。${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

スワップ ゲートは、次の合計形式に分解できます。

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

トッフォリゲートはトマソ・トッフォリにちなんで名付けられ、CCNOTゲートまたはドイチュゲートとも呼ばれる3ビットゲートで、古典計算では普遍的だが量子計算では普遍的ではない。量子トッフォリゲートは3量子ビット用に定義された同じゲートである。入力量子ビットをおよびのみに限定すると、最初の2ビットが 状態にある場合は3番目のビットにパウリ-X（またはNOT）を適用し、そうでない場合は何もしない。これはCC-U（制御-制御ユニタリ）ゲートの例である。これは古典ゲートの量子アナログであるため、その真理値表によって完全に指定される。トッフォリゲートは、単一量子ビットのアダマールゲートと組み合わせると普遍的である。^[17]${\displaystyle D(\pi /2)}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

Toffoli ゲートは、計算基底内の状態の マッピングを実行するため、古典的なAND ( ) およびXOR ( ) 演算に関連しています。${\displaystyle \land }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$

トフォリゲートはパウリ行列を使って次のように 表される。

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

ユニバーサル量子ゲートのセットとは、量子コンピュータで可能なあらゆる操作を簡約できるゲートのセット、つまり、他のユニタリ操作をセットのゲートの有限シーケンスとして表現できるゲートのセットのことです。技術的には、これはゲートの無数セット未満では不可能です。なぜなら、可能な量子ゲートの数は無数であるのに対し、有限セットの有限シーケンスの数は可算だからです。この問題を解決するには、この有限セットのゲートシーケンスで量子操作を近似できることだけが必要です。さらに、定数個の量子ビットのユニタリの場合、ソロベイ-キタエフの定理により、これが効率的に実行できることが保証されます。量子ゲートのセットがユニバーサルであるかどうかを確認するには、群論的方法^[18]や（近似）ユニタリ t デザイン^{[19]との関連を使用して実行できます。}

ユニバーサル量子ゲート セットには次のものがあります。

• 回転演算子 R x ₍ θ )、 R y ₍ θ )、 R z ₍ θ )、位相シフトゲートP ( φ ) ^[c]、およびCNOTは、普遍的な量子ゲートセットを形成するために一般的に使用されます。^{[20] [d]}
• クリフォード集合 {CNOT, H , S } + Tゲート。クリフォード集合だけでは、ゴッテスマン-ニル定理に従って古典的に効率的にシミュレートできるため、普遍的な量子ゲート集合ではありません。
• トフォリゲート+アダマールゲート^{[17] 。トフォリゲートだけで、すべての古典的な計算を網羅する可逆}ブール代数論理回路の汎用ゲートセットを形成します。

単一ゲートのユニバーサル量子ゲートは、物理学者デイヴィッド・ドイチュにちなんで名付けられたパラメータ化された3量子ビットのドイチュゲート^{[21]を使用して定式化することもできます。これは}CC-Uゲート、つまり制御制御ユニタリーゲートの一般的なケースであり、次のように定義されます。 ${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

残念ながら、プロトコルがないため、機能的なドイッチゲートはまだ実現できていない。中性原子における双極子間相互作用を利用したドイッチゲートを実現する提案がいくつかある。^[22]

可逆古典コンピューティング用の汎用論理ゲートである Toffoli ゲートは Deutsch ゲートに還元可能であり、すべての可逆古典論理演算が汎用量子コンピュータで実行できることを示しています。 ${\displaystyle D(\pi /2)}$

普遍性を実現するのに十分な単一の2量子ビットゲートも存在する。1996年にアドリアノ・バレンコは、ドイッチュゲートを単一の2量子ビットゲート（バレンコゲート）のみを使用して分解できることを示したが、実験的に実現することは困難である。 ^{[1] ：93}この機能は量子回路に特有のものであり、可逆かつ普遍的な古典的な2ビットゲートは存在しない。^[1] ：93普遍的な2量子ビットゲートは、高速低電力マイクロプロセッサの古典的な可逆回路を改善するために実装できる可能性がある。^{[1] ：  93}

量子ビットに作用する2 つのゲートAとB があるとします。直列回路でB をA の後に配置すると、2 つのゲートの効果は 1 つのゲートCとして記述できます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=B\cdot A}$

ここで は行列の乗算です。結果として得られるゲートC はAおよびBと同じ次元を持ちます。ゲートを乗算すると、回路図に現れる順序が逆になります。^{[4] : 17–18,22–23,62–64  [5] : 147–169}${\displaystyle \cdot }$

たとえば、どちらも単一の量子ビットに作用するPauli Xゲートを Pauli Yゲートの後に配置すると、単一の複合ゲートCとして記述できます。

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

積記号（）は省略されることが多いです。 ${\displaystyle \cdot }$

ユニタリ行列のすべての実指数もユニタリ行列であり、すべての量子ゲートもユニタリ行列です。

正の整数指数は直列接続されたゲートのシーケンス（例：）と同等であり、実数指数は直列回路の一般化です。たとえば、と はどちらも有効な量子ゲートです。 ${\displaystyle X^{3}=X\cdot X\cdot X}$${\displaystyle X^{\pi }}$${\displaystyle {\sqrt {X}}=X^{1/2}}$

${\displaystyle U^{0}=I}$任意のユニタリ行列に対して。単位行列（ ）はNOP ^{[23] [24]}のように振る舞い、量子回路では裸線として表現されるか、まったく表示されない。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$

すべてのゲートはユニタリ行列であるため、 およびとなります。ここで は共役転置です。つまり、ゲートの負の指数は、正の指数のユニタリ逆数です。たとえば、位相シフト ゲートの負の指数にはや などがあります。${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle U^{-n}=(U^{n})^{\dagger }}$${\displaystyle T^{-1}=T^{\dagger }}$${\displaystyle T^{-2}=(T^{2})^{\dagger }=S^{\dagger }}$

エルミート行列 については であり、ユニタリ性のため、すべてのエルミートゲートについても となることに注意してください。これらは逆行列です。エルミートゲートの例としては、パウリゲート、アダマールゲート、CNOT、SWAP、トフォリゲートなどがあります。各エルミートユニタリ行列には、次の性質があります。${\displaystyle H^{\dagger }=H,}$${\displaystyle HH^{\dagger }=I,}$${\displaystyle H^{2}=I}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e^{i\theta H}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )H}$${\displaystyle H=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-H)}.}$

２つの量子ゲートのテンソル積（またはクロネッカー積）は、２つのゲートを並列に並べた場合に等しいゲートである。^{[4] : 71–75  [5] : 148}

図のように、Pauli -Yゲートと Pauli- Xゲートを並列に組み合わせると、次のように記述できます。

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Pauli- Xゲートと Pauli- Yゲートはどちらも 1 つの量子ビットに作用します。結果として得られるゲートは2 つの量子ビットに作用します。 ${\displaystyle C}$

テンソル積記号が省略され、代わりに演算子にインデックスが使用されることもあります。^[25]

このゲートは、2 つの量子ビットに並列に適用されたアダマール ゲート( )です。次のように記述できます。 ${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

この「2 量子ビット並列アダマール ゲート」は、たとえば 2 量子ビットのゼロ ベクトル( )に適用すると、4 つの可能な結果${\displaystyle |00\rangle }$( 、、、 )のいずれにおいても観測される確率が等しい量子状態を作成します。この操作は次のように記述できます。 ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

ここで、各測定可能な状態の振幅は1 ⁄ 2です。任意の状態を観測する確率は、測定可能な状態の振幅の絶対値の 2 乗です。これは、上記の例では、4 つのケースのいずれかを観測する確率が 4 分の 1 であることを意味します。詳細については、測定を参照してください。

${\displaystyle H_{2}}$2 つの量子ビットに対してアダマール変換を実行します。同様に、ゲートは量子ビットのレジスタに対してアダマール変換を実行します。 ${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{1}^{n}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$${\displaystyle n}$

すべて に初期化された量子ビットのレジスタに適用すると、アダマール変換により、量子レジスタは、その可能な状態のいずれかで測定される確率が等しい重ね合わせ状態になります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

この状態は均一な重ね合わせであり、振幅増幅や位相推定などのいくつかの検索アルゴリズムの最初のステップとして生成されます。

この状態を測定すると、～の間の乱数が得られます。^[e]乱数のランダム性は、論理ゲートの忠実度に依存します。測定されない場合、それは、それぞれの可能な状態に対して等しい確率振幅を持つ量子状態です。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$

アダマール変換は、次のように量子ビットを持つレジスタに作用します。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle n}$${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

2 つ以上の量子ビットを単一の量子状態と見なすと、この結合状態は構成量子ビットのテンソル積に等しくなります。構成サブシステムからのテンソル積として記述できる状態は、分離可能状態と呼ばれます。一方、エンタングル状態は、テンソル因数分解できない状態です。言い換えると、エンタングル状態は、その構成量子ビット状態のテンソル積として記述できません。エンタングル状態を構成する構成量子ビットにゲートを適用する場合は、特別な注意が必要です。

エンタングルされたN 個の量子ビットのセットがあり、そのセット内のM < N個の量子ビットに量子ゲートを適用する場合、ゲートを拡張してN個の量子ビットを取得する必要があります。この適用は、ゲートを単位行列と組み合わせることで実行できます。これにより、テンソル積がN個の量子ビットに作用するゲートになります。単位行列( )${\displaystyle I}$は、すべての状態をそれ自体にマッピングする (つまり、何もしない) ゲートの表現です。回路図では、単位ゲートまたは行列は、多くの場合、単なるむき出しの配線として表示されます。

たとえば、アダマール ゲート( )${\displaystyle H}$は単一の量子ビットに作用しますが、エンタングル メント ベル状態を構成する 2 つの量子ビットのうち最初の量子ビットを入力すると 、その操作を簡単に記述することはできません。2つの量子ビット にまたがる量子状態に作用できるように、アダマール ゲートをアイデンティティ ゲートで拡張する必要があります。${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

このゲートは、エンタングルメントの有無にかかわらず、任意の 2 量子ビット状態に適用できます。ゲートは2 番目の量子ビットをそのままにして、最初の量子ビットにアダマール変換を適用します。この例のベル状態に適用すると、次のように記述できます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

古典的なマシンを使用する場合、 2つの-行列を乗算するための時間計算量は少なくとも です^[26] 。量子ビットで動作するゲートのサイズは であるため、一般的なエンタングルメント状態で動作する量子回路のステップをシミュレートする（ゲートを乗算することによって）時間は であることを意味します。このため、古典的なコンピュータを使用して大規模なエンタングルメント量子システムをシミュレートすることは困難であると考えられています。ただし、クリフォードゲートなどのゲートのサブセット、または古典的なブール関数のみを実装する回路の単純なケース（X、CNOT、Toffoliの組み合わせなど）は、古典的なコンピュータで効率的にシミュレートできます。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \Omega (n^{2}\log n)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$${\displaystyle \Omega ({2^{q}}^{2}\log({2^{q}}))}$

量子ビットを持つ量子レジスタの状態ベクトルは複素数エントリです。確率振幅を浮動小数点値のリストとして格納することは、大きな では扱いにくいです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$

すべての量子論理ゲートは可逆であるため、複数のゲートの任意の構成も可逆です。ユニタリ行列のすべての積とテンソル積（つまり、直列および並列の組み合わせ）もユニタリ行列です。つまり、ゲートのみを含む限り、すべてのアルゴリズムと関数の逆を構築できます。

初期化、測定、I/O、自発的なデコヒーレンスは量子コンピュータの副作用です。ただし、ゲートは純粋に機能的かつ一対一です。

がユニタリ行列である場合、およびです。ダガー ( ) は共役転置を表します。これはエルミート随伴行列とも呼ばれます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$${\displaystyle \dagger }$

関数がゲートの積である場合、関数のユニタリ逆関数を構築できます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle m}$${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$${\displaystyle F^{\dagger }}$

なぜなら、私たちは、繰り返し適用した後、 ${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

同様に、関数が2 つのゲートと を並列に含む場合、およびとなります。${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G=A\otimes B}$${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$

自身のユニタリ逆であるゲートは、エルミート演算子または自己随伴演算子と呼ばれます。アダマール ( H ) ゲートやパウリ ゲート( I、X、Y、Z ) などの一部の基本ゲートはエルミート演算子ですが、位相シフト ( S、T、P、CPhase ) ゲートなど、他のゲートは一般にエルミート演算子ではありません。

例えば、加算アルゴリズムは、そのユニタリ逆として「逆に実行」されている場合、減算に使用できます。逆量子フーリエ変換はユニタリ逆です。ユニタリ逆は、非計算にも使用できます。マイクロソフトのQ #、^[10]、ベルンハルト・オマーのQCL、^{[13] ：61}、IBMのQiskit、^[27]などの量子コンピュータのプログラミング言語には、関数の反転がプログラミング概念として含まれています。

測定（観測と呼ばれることもある）は不可逆的であり、したがって量子ゲートではない。なぜなら、測定では、観測された量子状態が単一の値に割り当てられるからである。測定は、量子状態を取り、その基底ベクトルに沿ったベクトルの長さの2乗（2-ノルム^{[4] ：66  [5] ：56, 65} ）に等しい尤度で、それを基底ベクトルの1つに投影する。^{[1] ：15–17  [28] [29] [30]}これはボルンの規則として知られており、量子状態を測定された状態を表す基底ベクトルに等しく確率的に設定することから、確率的非可逆操作として現れる。測定の瞬間に、状態は測定^{された明確な単一の値に「}崩壊」すると言われる。なぜ、どのように、あるいはもし崩壊するのかどうか^{[31] [32]は、}測定問題と呼ばれる。

確率振幅 を持つ値を測定する確率は であり、は係数です。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 1\geq |\phi |^{2}\geq 0}$${\displaystyle |\cdot |}$

量子状態がベクトルで表される単一の量子ビットを測定すると、確率 でとなり、確率 でとなります。${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |a|^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |b|^{2}}$

たとえば、量子状態を持つ量子ビットを測定すると、またはのいずれかが等しい確率で得られます。${\displaystyle {\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

n量子ビットにまたがる量子状態は、複素次元のベクトルとして記述できます。これは、 n量子ビットのテンソル積が次元のベクトルであるためです。このように、n量子ビットのレジスタを異なる状態に測定できます。これは、 n古典ビットのレジスタが異なる状態を保持できるのと似ています。古典コンピュータのビットとは異なり、量子状態は、複数の測定可能な値で同時にゼロ以外の確率振幅を持つことができます。これを重ね合わせと呼びます。 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2^{n}}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

すべての結果の確率の合計は常に1。^[f]これを別の言い方で言うと、に一般化されたピタゴラスの定理は、 n量子ビットを持つすべての量子状態が^{[g] を}満たさなければならないということです。ここで、 は測定可能な状態 の確率振幅です。これを幾何学的に解釈すると、n量子ビットを持つ量子状態の可能な値空間は の単位球面の表面であり、それに適用されるユニタリ変換(つまり、量子論理ゲート) は球面上の回転です。ゲートが実行する回転は、対称群U(2 ⁿ )を形成します。測定は、この複素球面の表面の点の、空間に広がる (そして結果にラベルを付ける) 基底ベクトルへの確率的射影です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\textstyle 1=\sum _{x=0}^{2^{n}-1}|a_{x}|^{2},}$${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$

多くの場合、空間は特定の次元複素空間ではなく、ヒルベルト空間 として表されます。次元の数 (基底ベクトルによって定義され、したがって測定から得られる可能性のある結果も定義されます) は、多くの場合、オペランドによって暗示されます (たとえば、問題を解くために必要な状態空間など)。グローバーのアルゴリズムでは、グローバーはこの一般的な基底ベクトル セットを「データベース」と名付けました。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2^{n}}$

量子状態を測定するための基底ベクトルの選択は、測定の結果に影響を与えます。^{[1] : 30–35  [4] : 22, 84–85, 185–188  [33]詳細については、}基底の変化とフォン・ノイマン・エントロピーを参照してください。 この記事では、常に計​​算基底、つまりn量子ビットレジスタの基底ベクトルにラベルを付ける、またはバイナリ表現を使用します。${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0_{10}\rangle =|0\dots 00_{2}\rangle ,|1_{10}\rangle =|0\dots 01_{2}\rangle ,|2_{10}\rangle =|0\dots 10_{2}\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle =|111\dots 1_{2}\rangle }$

量子力学では、基底ベクトルは正規直交基底を構成します。

代替測定基準の使用例は、BB84暗号にあります。

2 つの量子状態(つまり、量子ビットまたはレジスタ) がエンタングルメント状態 (つまり、それらの結合状態をテンソル積として表現できない状態) にある場合、一方のレジスタを測定すると、もう一方のレジスタの状態も部分的または完全に崩壊して、もう一方のレジスタの状態が影響を受けるか、または明らかになります。この効果は計算に使用でき、多くのアルゴリズムで使用されます。

アダマール-CNOT の組み合わせはゼロ状態に対して次のように作用します。

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

この結果の状態はベル状態である 。これは2つの量子ビットのテンソル積として記述することはできない。 ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

たとえば、xwとywの場合、w はゼロ以外とゼロの両方である必要があるためです。

量子状態は2 つの量子ビットにまたがります。これはエンタングルメントと呼ばれます。このベル状態を構成する 2 つの量子ビットの 1 つを測定すると、もう一方の量子ビットは論理的に同じ値を持ち、両方とも同じでなければなりません。つまり、状態または状態 のいずれかで見つかります。たとえば、量子ビットの 1 つを と測定した場合、もう一方の量子ビットも でなければなりません。これは、それらの結合状態がになったためです。量子ビットの 1 つを測定すると、2 つの量子ビットにまたがる量子状態全体が崩壊します。 ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

GHZ状態は、3 つ以上の量子ビットにまたがる同様の量子もつれ状態です。

この種の値の割り当ては、どのような距離でも瞬時に行われ、2018年現在、QUESSによって最大1200キロメートルの距離で実験的に検証されています。^{[34] [35] [36]}量子ビットを隔てる距離を光速で横断するのにかかる時間ではなく、現象が瞬時に発生するように見えることはEPRパラドックスと呼ばれ、これをどのように解決するかは物理学における未解決の問題です。 もともと局所的実在性の仮定を放棄することによって解決されましたが、他の解釈も登場しています。詳細については、ベルテスト実験を参照してください。無通信定理は、この現象が古典情報の光より速い通信に使用できないことを証明しています。

すべて に初期化されたn個の量子ビットを持つレジスタAを取り、これを並列アダマール ゲート に入力します。レジスタ A は、 が のいずれかの可能な状態、つまりにあると測定された場合に の等確率を持つ状態になります。2番目のレジスタ B も に初期化されたn 個の量子ビットを持ち、その量子ビットをレジスタ A の量子ビットとペアワイズ CNOT します。これにより、各pに対して量子ビットとが状態 を形成します。${\displaystyle |0\rangle }$${\textstyle H^{\otimes n}}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle B_{p}}$${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

ここでレジスタ A の量子ビットを測定すると、レジスタ B には A と同じ値が含まれていることがわかります。ただし、代わりに量子論理ゲートF をA に適用して を測定すると、 となり、はFのユニタリ逆数です。 ${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$${\displaystyle F^{\dagger }}$

ゲートのユニタリ逆がどのように動作するかにより、。たとえば、 とすると、。${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$

Fが完了まで実行されたと仮定すると、測定がどの順序で実行されても (レジスタ A または B で) 等式は保持されます。1 つの量子ビットの測定割り当てによって、他のエンタングルされた量子ビットからの可能な値空間が制限されるため、測定は量子ビットごとにランダムかつ同時にインターリーブすることもできます。

等式が成り立つとしても、量子探索アルゴリズムの意図通り、 F を適用した結果として、起こり得る結果を測定する確率が変わる可能性があります。

エンタングルメントによる値共有のこの効果は、ショアのアルゴリズム、位相推定、量子計数で使用されています。フーリエ変換を使用して、ある問題の解の状態の確率振幅を増幅することは、 「フーリエフィッシング」として知られる一般的な方法です。^[37]

ゲートのみを使用する関数とルーチンは、小さいゲートと同様に、それ自体が行列として記述できます。量子ビットに作用する量子関数を表す行列のサイズは です。たとえば、「qubyte」( 8 量子ビットのレジスタ) に作用する関数は、要素を持つ行列で表されます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$${\displaystyle 2^{8}\times 2^{8}=256\times 256}$

量子コンピュータでネイティブに使用できるゲートのセット（プリミティブゲート）にないユニタリ変換は、回路内で使用可能なプリミティブゲートを組み合わせることによって合成（近似）できます。これを行う1つの方法は、ユニタリ変換をエンコードする行列を、使用可能なプリミティブゲートのテンソル積（つまり、直列回路と並列回路）の積に因数分解することです。グループU （2 ^q）は、量子ビットに作用するゲートの対称グループです。^[2]因数分解は、プリミティブゲートの生成セットからU（2 ^q）内のパスを見つける問題です。ソロベイ-キタエフの定理は、プリミティブゲートの十分なセットが与えられれば、どのゲートにも効率的な近似値が存在することを示しています。量子ビットの数が多い一般的なケースでは、回路合成へのこの直接的なアプローチは扱いにくいものです。^{[38] [39]}これにより、大規模な関数を原始的な量子ゲートに力ずくで分解できる範囲が制限されます。通常、量子プログラムは、通常の古典的プログラミングと同様に、比較的小さく単純な量子関数を使用して構築されます。 ${\displaystyle q}$

ゲートのユニタリ性のため、すべての関数は可逆で、常に入力から出力への全単射マッピングでなければなりません。となる関数が常に存在する必要があります。可逆でない関数は、補助量子ビットを入力または出力、またはその両方に追加することで可逆化できます。 関数の実行が完了したら、補助量子ビットは計算されないか、そのままにしておくことができます。 計算されていない補助量子ビットの量子状態を測定または崩壊させると (たとえば、補助量子ビットの値を再初期化するか、自発的なデコヒーレンスによって)、エラーが発生する可能性があります。^{[40] [41]}これは、補助量子ビットの状態が、計算にまだ使用されている量子ビットとエンタングルされている可能性があるためです。 ${\displaystyle F^{-1}}$${\displaystyle F^{-1}(F(|\psi \rangle ))=|\psi \rangle }$

論理的に不可逆な演算、例えば2 つの-qubit レジスタaとb を法とする加算、、^{[h] は}、出力に情報を追加することで論理的に可逆になり、出力から入力を計算できるようになります (つまり、関数 が存在する)。この例では、入力レジスタの 1 つを出力に渡すことでこれを実現できます。出力を使用して入力を計算できます (つまり、出力と が与えられれば、入力 を簡単に見つけることができます。が与えられ、)、関数は全単射になります。 ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(a,b)=a+b{\pmod {2^{n}}}}$${\displaystyle F^{-1}}$${\displaystyle F(|a\rangle \otimes |b\rangle )=|a+b{\pmod {2^{n}}}\rangle \otimes |a\rangle }$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a+b)-a=b}$

すべてのブール代数式は、たとえば Pauli-X、CNOT、Toffoli ゲートの組み合わせを使用して、ユニタリ変換 (量子論理ゲート) としてエンコードできます。これらのゲートは、ブール論理ドメインで 機能的に完全です。

Q#、QCL、Qiskit、その他の量子プログラミング言語のライブラリには、多くのユニタリ変換が用意されています。また、文献にも記載されています。^{[42] [43]}

例えば、はレジスタを構成する量子ビットの数であり、 QCLでは次のように実装される。^{[44] [13] [12]}${\displaystyle \mathrm {inc} (|x\rangle )=|x+1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$${\displaystyle x_{\text{length}}}$ ${\displaystyle x}$

QCLでは、デクリメントはインクリメントを元に戻すことによって行われます。プレフィックスは、!代わりに関数のユニタリ逆関数を実行するために使用されます。はの!inc(x)逆関数でありinc(x)、代わりに演算を実行します。キーワードは、関数が条件付きである可能性があることを意味します。^[11]${\displaystyle \mathrm {inc} ^{\dagger }|x\rangle =\mathrm {inc} ^{-1}(|x\rangle )=|x-1{\pmod {2^{x_{\text{length}}}}}\rangle }$cond

この記事で使用されている計算モデル（量子回路モデル）では、古典的コンピュータが量子コンピュータのゲート構成を生成し、量子コンピュータは、どのプリミティブゲートをどの量子ビットに適用するかについての命令を古典的コンピュータから受け取るコプロセッサとして動作します。 ^{[13] : 36–43  [14]}量子レジスタの測定は、古典的コンピュータが計算に使用できるバイナリ値になります。量子アルゴリズムには、古典的な部分と量子的な部分の両方が含まれることがよくあります。 測定されていないI/O（量子状態を崩壊させずに量子ビットをリモートコンピュータに送信すること）を使用して、量子コンピュータのネットワークを作成できます。その後、エンタングルメントスワッピングを使用して、直接接続されていない量子コンピュータで分散アルゴリズムを実現できます。 少数の量子論理ゲートのみを使用する分散アルゴリズムの例としては、超高密度符号化、量子ビザンチン合意、BB84 暗号鍵交換プロトコルなどがあります。

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