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伝説によると、ピタゴラスは、4本の鍛冶屋のハンマーの音を聞き、同時に叩くと協和音と不協和音が生じることに気付き、音楽の調律の基礎を発見した。2世紀のニコマコスの『エンキリディオン・ハーモニケス』[ 1 ]によると、ピタゴラスは、ハンマーAとハンマーBを同時に叩くと協和音が生じ、ハンマーCとハンマーAは協和音を生じるが、ハンマーBとCは互いに不協和音を生じることに気づいた。ハンマーDはハンマーAと非常に完璧な協和音を生じ、まるで同じ音を「歌っている」かのようだった。ピタゴラスは、その理由を探るために鍛冶屋に駆け込み、重量比に理由があることを発見した。ハンマーの重量はそれぞれ12ポンド、9ポンド、8ポンド、6ポンドだった。ハンマーAとDの重量比は2:1で、これはオクターブの比率である。ハンマーBとCの重量は8ポンドと9ポンドだった。ハンマー D との比率は (12:8 = 3:2 =完全 5 度) と (12:9 = 4:3 =完全 4 度) でした。B と C の間のスペースは 9:8 の比率で、これは音楽の全音、つまり全音間隔(ⓘ )
この伝説は、少なくともハンマーに関しては明らかに誤りである。おそらく中東の民話であろう。[ 2 ]これらの比率は確かに弦の長さ（例えばモノコードの長さ）に関係している。これらの基本音程を用いることで、現代音楽で用いられる半音階や基本的な7音全音階を構築することが可能であり、ピタゴラスはこれらの比率の発見に影響を与えた可能性が高い（そのため、ピタゴラス調律と呼ばれることもある）が、これらの比率はハンマーの重量やそれによって生み出される音とは同じ関係にはない。[ 3 ] [ 4 ]しかし、断面が等しいハンマー駆動のノミは、長さまたは重量と固有振動数との間に正確な比率を示す。[ 5 ]
初期の文献では、ピタゴラスが調和と比率に関心を持っていたことが言及されている。紀元前4世紀のクセノクラテスは、鍛冶屋の話については言及していないものの、ピタゴラスの関心を概括的に次のように述べている。「ピタゴラスはまた、音楽の音程は数とは無関係に生じるものではないことを発見した。なぜなら、音程は量と量の相互関係にあるからである。そこで彼は、調和のとれた音程と不調和のとれた音程、そして調和のとれた音程と不調和な音程がどのような条件下で生じるのかを調査しようとした。」[ 6 ]音楽と比率の関係の発見の詳細がどうであれ、それは 歴史的に見て、物理的事実を経験的に確実な数学的記述として初めて行ったものとみなされている[ 7 ] 。そのため、それは自然の作用様式としての数学というピタゴラスの考え方を象徴し、おそらくはそれにつながるものでもある。[ 8 ]後にアリストテレスが書いた ように、「ピタゴラス派は宇宙全体を数で構築する」。[ 9 ]グイド・ディ・アレッツォのミクロログスは第20章でこの伝説を繰り返している。[ 10 ]
伝説の最も古い記録バージョン[ 11 ]によると、紀元前6世紀に生きたピタゴラスは、コンパスで幾何学的な量を測ったり、天秤で重さを測ったりするのと同様に、音響知覚を測定する道具を探していました。4人（後のバージョンでは5人）の職人がハンマーで作業している鍛冶場を通りかかったとき、彼は一打ごとに異なる音高の音が発生し、それらがペアになると調和を生み出すことに気づきました。彼はオクターブ、5度、4度を区別することができました。4度と5度の間の音程（長2度）を形成する1組だけが、不協和音として認識されました。彼は興奮して鍛冶場に駆け込み、実験を行いました。そこで彼は、音高の違いはハンマーの形状、叩く鉄の位置、打撃の強さに依存しないことを発見しました。むしろ、彼は音高をハンマーの重さと関連付けることができ、それを正確に測定しました。その後、彼は実験を続けるために家に帰りました。
彼は、長さも強度も撚り具合も等しい4本の弦を、壁の角に斜めに取り付けた杭に順番に吊るし、それぞれの弦の下部に異なる重りを付けて重さを変えた。そして、弦を2本ずつ叩くと、鍛冶場と同じハーモニーが響いた。最も重い12単位の弦と、最も軽い6単位の弦を組み合わせると、オクターブが生まれた。このことから、オクターブは12:6、つまり2:1の比率に基づいていることが明らかになった。最も張った弦は、2番目に緩い弦（8単位）と5度、2番目に張った弦（9単位）と4度を生じさせた。このことから、5度は12:8、つまり3:2の比率に基づいており、4度は12:9、つまり4:3の比率に基づいていることが明らかになった。また、2番目に張った弦と最も緩い弦の比率は9:6、つまり3:2で、5度が得られ、2番目に緩い弦と最も緩い弦の比率は8:6、つまり4:3で、4度が得られました。5度と4度の間の不協和音程については、9:8の比率に基づいていることが明らかになり、これは鍛冶場で行われた重量測定と一致しました。オクターブは、5度と4度の積であることが判明しました。
ピタゴラスはその後、実験を様々な楽器に拡張し、容器、フルート、トライアングル、モノコードなどを用いて実験を行い、常に同じ数値比を見出した。そして最終的に、相対音高を表す現在一般的に用いられる用語を導入した。
異なる整数比の長さを持つ弦のペアのハーモニーを研究し実証するためにモノコードを発明したことで、ピタゴラスは、自身が発見した音楽理論の数学的基礎を説明する便利な手段を導入したと言われています。ギリシャ語でκανών (kanōn)、ラテン語でregulaと呼ばれるモノコードは、弦が張られた共鳴箱です。箱には測定スケールが取り付けられています。この装置には可動ブリッジが備えられており、弦の振動長を分割することができます。分割は測定スケールを使って正確に決定できます。これにより、音程を測定できます。「モノコード」という名前は「1本の弦」を意味しますが、同時に複数の音程を生成できる多弦モノコードも存在しました。しかし、モノコードがいつ発明されたかは不明です。ウォルター・ブルケルトはこの業績をアリストテレスの時代以降に位置づけており、アリストテレスは明らかにこの装置を知らなかったため、ピタゴラスの死後ずっと後に導入されたことになります。[ 12 ]一方、レオニード・ジュムードは、ピタゴラスはおそらくモノコードを使って数値比の発見につながる実験を行ったと示唆している。[ 13 ]
メタポントゥムのヒッパソス（紀元前6世紀後半から5世紀前半）は、初期ピタゴラス派の人物で、音程に関する定量的な研究を行った。ヒッパソスに帰せられる実験は、厚さの異なる円板を自由に振動させるもので、ピタゴラスの実験とされるものとは異なり、物理的に正しい。紀元前5世紀から4世紀の重要なピタゴラス派の人物であるタレントゥムのアルキタスが、関連する実験を行ったかどうかは不明である。彼は音楽の実践者というよりは理論家であったと思われるが、先人たちの音響観察に言及している。彼が音響理論を裏付けるために引用している音楽の例は管楽器に関するもので、弦楽器や個々の弦に関する実験については言及していない。アルキタスは、音の高さは音の伝播速度と音を発する物体への衝撃力に依存するという誤った仮説に基づいていた。実際には、音の速度は特定の媒体では一定であり、衝撃力は音量にのみ影響する。[ 14 ]
ヴァルター・ブルケルトは、物理的に不可能であるにもかかわらず、この伝説は恣意的な創作とみなされるべきではなく、むしろギリシャ神話に見出すことができる意味を持っていると考えている。神話によれば、鍛冶の発明者であるイダエのダクテュロスは、音楽の発明者でもあった。このように、鍛冶と音楽を結びつける非常に古い伝統がすでに存在しており、その中で神話上の鍛冶屋は魔法の音楽の秘密の所有者として描かれていた。ブルケルトは、鍛冶屋のピタゴラスの伝説を、古代のダクテュロスの神話の後期の変容と合理化と見なしている。ピタゴラスの伝説では、鍛冶屋はもはや古代の魔法の知識の所有者としてではなく、むしろ意図せずして、知らず知らずのうちにピタゴラスの「教師」となるのである。[ 15 ]
中世初期、セビリアのイシドールスは聖書の鍛冶屋トゥバルを音楽の発明者と呼び、後世の著述家もこれに倣った。この伝承は、鍛冶と音楽の関係という考え方を再び示しており、これはヨーロッパ以外の神話や伝説にも見られる。[ 16 ]トゥバルは、すべての音楽家の祖先とみなされていたユバルの異母兄弟であった。二人ともラメクの息子であり、したがってカインの孫であった。中世のキリスト教の伝承の中には、兄トゥバルを観察したユバルをピタゴラスと同一視するものもあった。[ 17 ]
レオニード・ジュムードに倣って、ヨルゲン・ラーステッドは別の説明を提案している。ラーステッドの仮説によれば、伝説の形成の出発点はヒッパソスの実験に関する報告であった。ヒッパソスは「スファイライ」と呼ばれる容器を使用した。この言葉は、筆記者の誤りにより「スフィライ」（ハンマー）と混同され、ヒッパソスの名前の代わりにピタゴラスの名前が実験の考案者として使われた。ここから鍛冶場の伝説が生まれた。[ 18 ]
最低音（12）を基準として、6、8、9、12の整数値は、それぞれ4度（9）、5度（8）、8度（6）の純正音程に対応します。
このような純粋な音程は、音の音量が変化しないため、人間の耳にはうなりがないと知覚されます。楽譜では、これらの4つのピタゴラス音は、例えば、旋律のシーケンス c' – f' – g' – c": で表現できます。
この音列を最低音からではなく最高音（6番）から考えると、以下の音程も得られます。4度（8番）、5度（9番）、そしてオクターブ（12番）です。ただし、この場合は下方向になります。
自然倍音列では、基音に対して5度と8分の1の音程が現れるが、4度やその8分の1の音程は現れない。この4度の音程は、古代から知られている通気孔のない金管楽器や、弦楽器の倍音に見られる。
オクターブ、5度、4度、およびそれらの倍数からなる音程のさらなる調査により、ピタゴラス音律の7つの異なる音を持つ全音階（ 7音音階）から、12の音を持つ半音階へと最終的に至った。ピタゴラス音律のウルフ音程は問題を引き起こした。純正の5度であるA♭-E♭とD♭-A♭の代わりに、ピタゴラスコンマによって調律がずれた5度であるG♯-E♭とC♯-A♭が鳴った。
15世紀後半にポリフォニーが登場すると、オクターブと5度に加えて、純正3度が長三和音と短三和音にとって重要な音となった。この調律は12鍵盤では実現できなかったが、平均律では十分に実現できた。しかし、平均律の欠点は、五度圏のすべての調が演奏できるわけではなかったことである。この欠点を補うために、平均律が導入されたが、その代償として、一部の調では純正3度がより耳障りな音色になった。現在では、ほとんどの楽器は12鍵盤の平均律で調律されており、オクターブは完全に純正、5度はほぼ純正、3度はやや耳障りな音色となっている。
音楽において、4つのピタゴラス音は、ペンタトニックスケール、特に全音階（特に長音階と短音階）の第1、第4、第5、第8音において重要な役割を果たし、また、終止形の構成において主音、下属音、属音の基本音として用いられます。この音列は、対応する和音とともに終止形によく現れます。
ピタゴラスの4音は多くの楽曲に登場します。中世のアンティフォナ「Ad te levavi」と「Factus est repente」の最初の音は、いくつかの装飾音と高音を除いて、基本的にピタゴラスの4音で構成されています。[ 19 ]
もう一つの例は、ヨハン・セバスチャン・バッハのハ短調パッサカリアの冒頭部分です。主題は15の音から構成されており、そのうち合計10の音、特に最後の4つの音は音列から派生しています。
ハンマーの絶対音感 人間の手で動かすことができる鋼鉄製のハンマーの共振周波数は通常超音波領域にあるため、人間の耳には聞こえません。ピタゴラスはこれらの音を知覚できなかったでしょう。特にハンマーの音程に1オクターブの差がある場合はなおさらです。
ハンマーの重量によってピッチが変わる縦波 などの自由に振動する固体の振動周波数は、通常、その重量や体積に比例するのではなく、その長さに比例します。長さは、同様の形状の場合、体積の立方根に比例して変化します。
ピタゴラスのハンマーの場合、類似の形状に対して以下の比率が適用されます（値は任意単位）。
弦の張力と音高の関係 弦の振動周波数が張力に比例するという仮定は正しくありません。実際には、振動周波数は張力の平方根に比例します。振動周波数を2倍にするには、張力を4倍にする必要があるため、弦には4倍の重さの重りを吊るす必要があります。
基本周波数を持つ音整数倍の第二音と調和している（とそしてこの基本周波数の）音の振動の最大値と最小値が時間的に同期しているという事実からすぐに明らかになるが、次のように説明することもできる。
うなり周波数同時に鳴る2つの音の周波数の差から数学的に計算された音は、合成音として聞き取ることができます。
（ビートの数学的記述を参照）。
この差は、基本周波数に対して整数比となる。:
第2音の基本周波数の整数倍すべてに対して、うなり周波数の整数倍も存在する（右の表を参照）。そのため、すべての音が協和音として聞こえる。
周波数が有理比である2つの音であってもに協和音が存在する。第2音の周波数は次式で与えられる。
したがって、同時に鳴る2つの音のうなり周波数は次のように表される。
この条件下では、基本周波数は常にうなり周波数の整数倍になります（右の表を参照）。したがって、不協和音は発生しません。
金属ブロックを推定するために、最大長が一定の均質な直方体を考えてみましょう。音速を持つ物質でできている最も長い辺に沿った振動モード（縦振動）では、固有振動数が最も低くなります。両端に腹があり、中央に節がある。 [ 20 ]
。
したがって、音高はプリズムの質量や断面積とは無関係であり、断面積は変化しても構わない。さらに、物体を叩く際の力や速度も影響を与えない。少なくともこの点は、知覚される音高は職人の手（ひいては力）に依存しないというピタゴラスの観察と一致する。
鐘、カップ、ボウルなど、より複雑な形状を持つ物体（液体が入っている場合もある）は、固有振動数を持ち、形状だけでなく壁の厚さや打撃位置なども考慮する必要があるため、より詳細な物理的記述が求められる。このような場合、横方向の振動も発生し、可聴音となる可能性がある。
非常に大きな大ハンマー（鋼鉄中の音速は約= 毎秒 5000 メートル) ハンマーヘッドの長さハンマーのヘッドが0.2メートルの場合、固有振動数は12.5キロヘルツです。断面積が0.1平方メートル（0.1メートル×0.1メートル）の正方形の場合、密度が1立方センチメートルあたり7.86グラムで、質量は16キログラム近くという異常に大きな値になります。15キロヘルツを超える周波数は、もはや多くの人には知覚できません（聴覚閾値を参照）。したがって、このような大きなハンマーの固有振動数はほとんど聞こえません。ヘッドが短いハンマーは、さらに高い固有振動数を持つため、聞こえません。
長さの大きな鋼鉄製の金床= 0.5メートルの固有振動数はわずか5キロヘルツであるため、容易に聞き取ることができます。
作曲家が金床を楽器として使用することを指定した作品は数多く存在する。特に有名なのは、リヒャルト・ワーグナーの楽劇『ニーベルングの指環』からの2つのオペラである。
花崗岩や真鍮など、鋼鉄よりも音速の遅い素材は、同じ形状であればさらに低い周波数の音を発する。いずれにせよ、初期の記述には金床についての言及はなく、金床の音は後の時代の伝説ではハンマーの音として語られている。
石工が使う鑿や石割り用の楔などの金属棒を比較することで、ピタゴラスに帰せられる観察、すなわち道具の振動周波数はその重量に比例するという観察にたどり着くことができる。先細りの刃先を無視して、金属棒がすべて同じ均一な断面積Aを持ち、長さlが異なる場合、金属棒が長軸に沿った打撃によって縦方向の振動を起こされる限り、その重量は長さに比例し、したがって振動周波数にも比例する（音の例は右側のボックスにある）。[ 21 ]
音叉や金属打楽器のプレートのような曲げ振動子には、異なる条件と法則が適用されるため、これらの考察はそれらには適用されません。
弦は両端をブリッジに固定することができる。縦方向の振動をする固体とは異なり、2つのブリッジは振動の2つの節点の境界条件を確立する。したがって、振動の節点は中央に位置する。
固有振動数したがって弦の長さによるピッチ張力に比例しない周波数は張力の平方根に比例するが、張力の平方根に比例する。さらに、周波数は張力重量が増加するにつれて減少するのではなく、張力が増加するにつれて増加する。[ 22 ]
しかしながら、振動周波数は一定の張力下では弦の長さに反比例する。これは、ピタゴラスが発明したとされるモノコードを用いて直接実証することができる。
ピタゴラスが音程の数学的基礎を発見したという最も古い記述は、プラトン主義者のクセノクラテス（紀元前4世紀）に見られる。これはこの思想家の失われた著作からの引用に過ぎないため、彼が鍛冶屋の伝説を知っていたかどうかは不明である。[ 23 ]紀元前4世紀には、ピタゴラスの伝説には言及されていないものの、ピタゴラスの音程理論に対する批判がすでに表明されていた。哲学者で音楽理論家のアリストクセノスは、それを偽りだと考えていた。
この伝説の最も古い記録は、ピタゴラスの時代から数世紀後に、新ピタゴラス派のゲラサのニコマコスによって提示されたもので、彼は紀元1世紀か2世紀に、彼の著書『ハーモニケ・エンケイリディオン』 （「ハーモニーの手引書」）にこの物語を記録した。彼は、音楽理論における数値比率の表現に関して、紀元前5世紀のピタゴラス派の哲学者フィロラオスに依拠した。 [ 24 ]
有名な数学者で音楽理論家のプトレマイオス（紀元2世紀）は、伝説で伝えられている重量測定法を知っていたが、それを否定した。しかし、彼は重量測定実験の誤りを認めたわけではなく、モノコードによる正確な測定値と比較した場合の不正確さを批判しただけであった。[ 25 ]彼が伝説の伝承に関する知識を得たのは、ニコマコスからではなく、現在失われているより古い情報源からである可能性が高い。[ 26 ]
年代的に位置づけが難しい帝政時代の音楽理論家ガウデンティウスは、著書『和声入門』（Harmonikḗ Eisagōgḗ ）の中で、ニコマコスよりやや短い形でこの伝説を記述している。3世紀後半から4世紀初頭にかけて哲学教師として活躍した新プラトン主義の哲学者カルキスのイアンブリコスは、『ピタゴラスの生涯について』（On the Pythagoreus Life）というピタゴラスの伝記を著し、その中で鍛冶屋の伝説をニコマコスの版で再現している。
5世紀前半、著述家のマクロビウスは、キケロの『スキピオの夢』の注釈の中で鍛冶屋の伝説について詳しく論じており、ニコマコスと同様の方法でそれを描写している。[ 27 ]
この物語を取り上げた古代の音楽理論家の中で最も強い反響を呼んだのは、6世紀初頭に書かれた教科書『音楽入門』（ De institutione musica ）を著したボエティウスである。彼はまず、鍛冶場で、そして自宅でピタゴラスが理解しようと努力する様子を描写している。 [ 28 ]彼がニコマコスの記述に依拠したのか、それとも別の資料に依拠したのかは不明である。それまでの伝統全体とは対照的に、彼は以前の著者が想定していた4つのハンマーではなく、5つのハンマーについて報告している。彼は、ピタゴラスが5番目のハンマーを拒否したのは、それが他のすべてのハンマーと不協和音を生じさせたためだと主張している。ボエティウスの記述によれば（マクロビウスの場合と同様に）、ピタゴラスは、音の違いは男たちの腕の力の違いによるものだという当初の仮説を検証するために、鍛冶屋にハンマーを交換させたが、その結果、その仮説は否定された。ピタゴラスの自宅での実験について、ボエティウスは、哲学者がまず鍛冶場のハンマーと同じ重さの紐を吊るし、次にパイプやカップで実験を行ったが、いずれの実験もハンマーを使った最初の実験と同じ結果になったと記している。ボエティウスはこの伝説を基に、科学と認識論の観点から感覚知覚の信頼性という問題を取り上げている。重要な点は、ピタゴラスはまず感覚知覚によって疑問と仮説を立て、仮説を実証的に検証することで反論の余地のない確信に至ったということである。知識への道は、感覚知覚から最初の仮説（これは誤りであることが判明した）を経て、正しい意見の形成、そして最終的な検証へと至る。ボエティウスは、洞察への道において感覚知覚と意見形成の必要性と価値を認めているが、プラトン主義者として、感覚知覚は誤りやすいことから本質的に懐疑的である。彼にとって真の知識とは、規則性が把握されたときにのみ生じるものであり、それによって研究者は信頼性の低い感覚知覚への当初の依存から解放される。研究者の判断は、経験的経験から得られる感覚的判断のみに基づくべきではなく、熟慮を通して規則を見つけ出し、感覚的欺瞞の可能性の領域を超えた立場に立つことができるようになって初めて下されるべきである。[ 29 ]
6世紀、学者カッシオドルスは著書『インスティトゥティオネス』の中で、ガウデンティウスが鍛冶屋の伝説の中で「音楽」の起源をピタゴラスに帰していると記している。彼は音楽理論について言及していたのであり、イアンブリコスも同様に、鍛冶屋の物語とそこに記述されている実験に言及して、ピタゴラスを「音楽の」発明者として言及していた。[ 30 ]
中世初期、セビリアのイシドールスは、中世の教養ある人々にとって基本的な参考書となった『語源集』の中で、鍛冶屋の伝説について言及した。彼はカッシオドルスの表現を採用し、ピタゴラスを音楽の発明者と称して、この伝説について簡潔に述べた。 [ 31 ]カッシオドルスとイシドールスは中世における一流の権威であったため、ピタゴラスが音楽の根本法則を発見し、その創始者となったという考えが広まった。このような大げさな主張にもかかわらず、中世の音楽理論家たちは、音楽はピタゴラス以前に存在しており、「音楽の発明」とは音楽の原理の発見を指すと考えていた。[ 32 ]
9 世紀、音楽学者のレオメのアウレリアヌスは、著書『音楽理論』（Musica disciplina ）の中でこの伝説を語った。アウレリアヌスの記述は、10 世紀にプリュムのレギノが著書『和声理論入門』（ De harmonica institutione）の中で引き継いだ。両者とも、ピタゴラスが鍛冶屋の鍛冶場で発見する機会を神の摂理によって与えられたことを強調した。[ 33 ]古代では、ニコマコスとイアンブリコスがすでにダイモニックな摂理について語っており、ボエティウスはそれを神の命令に変えた。
11世紀には、伝説的な素材が『カルミナ・カンタブリギエンシア』にまとめられた。[ 34 ]
11 世紀前半、中世で最も有名な音楽理論家であるアレッツォのグイドは、著書『ミクロログス』の最終章で鍛冶屋の伝説を語り、それをボエティウスの説に基づいていると述べ、ボエティウスの名前を具体的に挙げた。グイドは冒頭で次のように述べている。「もし最終的に神の善意が次の出来事をその命令によってもたらさなかったならば、この芸術（音楽）について確かなことは誰も発見できなかっただろう。 」彼は、ハンマーの重さが 12、9、8、6 単位であり、それによって調和のとれた音を出したという事実を神の摂理によるものとした。[ 35 ]また、ピタゴラスが自身の発見を起点としてモノコードを発明したことにも言及したが、その特性については詳しく述べていない。
ヨハネス・コット（ジョン・コットンまたはヨハネス・アフリゲメンシスとしても知られる）の作品『De musica』には、1250年頃、アルダースバッハのシトー会修道院の匿名の写本装飾家によって鍛冶屋の場面が挿絵として描かれた。[ 36 ]
ボエティウスの記述に従って鍛冶場の伝説を語った中世の音楽理論家の中には、13世紀後半から14世紀初頭にかけて活躍したフアン・ヒル・デ・サモラ（ヨハネス・アエギディウス・フォン・サモラ）、 14世紀のヨハネス・デ・ムリスとシモン・トゥンステデ、そして15世紀の近世初期に活躍したアダム・フォン・フルダなどがいた。
協和音は特定の数値比に基づいているとするピタゴラスの概念に反対するヨハネス・デ・グロケイオは、アリストテレス的な視点から13世紀に登場した。彼はピタゴラスが音楽の原理を発見したと明言し、信頼できると考えていたボエティウスを引用して鍛冶屋の伝説を語ったが、ピタゴラスの協和音理論を否定し、それを単なる比喩的な表現に還元しようとした。[ 37 ]
フランキーノ・ガッフーリオは1480年にナポリで『Theoricum opus musice discipline 』（「理論音楽理論」）を出版し、1492年に『Theorica musice』（「音楽理論」）というタイトルで改訂・再出版した。その中で彼は、それまでのどの記述よりも詳細に、鍛冶屋の伝説を描いた。彼はボエティウスの伝説を基に、物語にできるだけ多くのオクターブの音を含めるために6番目のハンマーを追加した。4つの図解で、それぞれ6つの倍音を持つ楽器または音発生器を示し、ラベルに音に関連付けられた4、6、8、9、12、16という数字を示した。伝説の4つの伝統的な比率（6、8、9、12）に加えて、彼は5度低い音と4度高い音を表す4と16を追加した。音のシーケンス全体は、1オクターブだけでなく2オクターブに及ぶようになりました。これらの数字は、例えば、f – c' – f' – g' – c" – f": という音に対応します。
画家エルハルト・サンスドルファーは1546年にヘッセン州のビューディンゲン城にフレスコ画を描くよう依頼され、それは保存状態が良く、ピタゴラスの鍛冶場から始まる音楽の歴史を概説書のように表現している。[ 38 ]
ジョゼッフォ・ザルリーノも、1558年に出版した著書『和声の基礎』（ Le istitutioni harmoniche ）の中でこの伝説を語っており、ガッフーリオと同様に、ボエティウスの記述に基づいている。[ 39 ]
音楽理論家のヴィンチェンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は、1589年に論文『ジョゼッフォ・ザルリーノ氏の作品に関する論考』（Discorso intorno all'opere di messer Gioseffo Zarlino）を出版したが、これは彼の師であるザルリーノの見解に反論するものであった。その中で彼は、弦に重りを付けるという伝説の情報は正確ではないと指摘した。[1]
1626年、ダニエル・マイスナーの『テサウルス・フィロポリティクス』には、エーベルハルト・キーザーによる「デュインキルヒェン」と題された銅版画が掲載されており、そこには金床の前に立つ3人の鍛冶屋が描かれている。ラテン語とドイツ語のキャプションには次のように書かれている。[2]
数年後、ガリレオ・ガリレイとマラン・メルセンヌが弦の振動の法則を発見したことで、この問題は決定的に解明された。1636年、メルセンヌは『普遍の調和』を出版し、その中で伝説の物理的な誤りを説明した。すなわち、振動周波数は張力に比例するのではなく、張力の平方根に比例するというのである。[3]
17世紀末のゲオルク・ムファット[ 40 ]やルパート・イグナツ・マイヤー[ 41 ]など、数人の作曲家がこの題材を作品に取り入れた。
19世紀においても、ヘーゲルは哲学史に関する講義の中で、ピタゴラス伝説に言及されているとされる測定値の物理的な正確さを前提としていた。[ 42 ]
ヴェルナー・ハイゼンベルクは、 1937年に初めて発表されたエッセイの中で、ピタゴラスの「調和の数学的決定性の発見」は「数学的構造の意味のある力の考え」に基づいていると強調し、それは「現代の厳密科学が古代から受け継いだ根本的な考え」であり、ピタゴラスに帰せられる発見は「人類科学全般の最も強い衝動」に属すると述べている。[ 43 ]
さらに最近では、その伝説が物理的にも歴史的にも虚偽であることに言及することなく、無批判に再現されている記述が発表されている。[ 44 ]例えば、ダニエル・ヘラー＝ローゼン著のノンフィクション書籍『第五のハンマー：ピタゴラスと世界の不調和』[ 45 ]などである。
宇宙全体を数で構築する。
不朽の古い古道具。 et canentium multitudo sed ceca。 Nullus enim hominum uocum Differentias。および simphoniae の説明empoterat aliqua argumente colligere。必要な情報を正確に把握することができます。 nisi diuina pietas タンデム quod sequitur suo Nutu disponeret です。 Cum Phitagoras quidam magnus philosophus forte iter ageret。 uentum est ad fabram. Qua super unam incudem quinque mallei feriebant。定員数はミラトゥス・コンコルディアム・フィロソフスにアクセスします。 manuum uarietate sperans [f.20r] のプリムムクには、ソニック 交流変調が存在します。ムタウイト・マレオス。事実上。 sua uis quemque secuta est. Subtracto itaque uno qui dissonus Erat a ceteris.アリオス・ポンデローイト。ミルムケ・イン・モダム・ディウイノ・ヌトゥ・プリムス.XII。セクンドゥス.VIII.テルティウス .VIII.クオーツス.VI.ネスシオ・キバス・ポンデリバス・アペンデバント。科学的根拠と音楽の照合を正確に認識します。 quattuor malleis の憲法を修正してください。 Quae modo est in quattuor litteris .ADEa Denique si A habeat .XII. et D VIII.プロパスのシントクォテルナリ。ハベビット.A. .XIIで。テルナリオス.III. ｅｔ Ｄ．ＶＩＩＩＩ．テルナリオス.III.エッケ・ディアテッサロン。ルルスス・カム・ハビートA.XII。 si teneat E. VIII.クォテルナリオス パサス トレス ハベビット .A.デュオ ウエロ E. エ ディアペンテ パテ。 A. et .VI の Sint iterum .XII。アルテラムaで。セナリウス・メディエタス・エスト・ドゥオデナリ。 sicut et a acuta alterius 瞑想的なコリギチュール。アデストエルゴディアパソン。カムイギトゥルイプサ.a。アド D. ディアテッサロン アド エ ディアペンテ。アルテリ・ウエロ・ディアパソン・レディット。 D クオケ アド エ トナム。 ad utrumque A a diatessaron。エ・ディアペンテ・ソナト。 Et E etiam ad D. tonum utrique Aa diapente et diatessaron mandat。 a uero acutacum A diapason。カムDディアペンテ。兼 E ディアテッサロン ソナト。 supra dictis numeris curiosus perscrutator inuenit の quae です。ボエティウス・パンディター・ヒューイウス・アートスのヒント。多くの奇跡と困難を伴う芸術は、比例するコンコルディアムの実証を目的としています。 [f.20v] クイドプルラ? supra dictas 種 uoces ordinans に従って。 monocordum primus ille Phitagoras quattuor neruorum コンポスーツ。今は何もない。 sed diligenter aperta artis notitia。コミューンプラクイットのサピエンティバス。 atque usque in hunc diem ars paulatim crescendo conualuit。 ipso Doctore semper humanas tenebras illustrante。キュウス・サピエンティア・パー・クンタ・ウイゲット・セキュラ。
