抽象解析数論

抽象解析数論は、古典的な解析数論の考え方と手法を取り入れ、さまざまな数学の分野に応用する数学の一分野です。古典的な素数定理は典型的な例であり、抽象的な漸近分布の結果に重点が置かれています。この理論は、 20 世紀に ジョン・ノップマッハーやアルネ・バーリングなどの数学者によって発明され、開発されました。

基本的な概念は算術半群の概念であり、これは以下の性質を満たす 可換 モノイド Gです。

• Gの可算な 部分集合（有限または可算無限）Pが存在し、 Gのあらゆる元a ≠ 1 は次の形式の一意の因数分解を持つ。

${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$

ここで、p _iはPの異なる元、 α _iは正の整数、r はaに依存する場合があり、 2 つの因数分解は、示された因数の順序のみが異なる場合は同じであるとみなされます。 Pの元はGの素数と呼ばれます。

• G上には実数値ノルム写像 が存在し、 ${\displaystyle |{\mbox{}}|}$
  1. ${\displaystyle |1|=1}$
  2. ${\displaystyle |p|>1{\mbox{ すべての }}p\in P に対して}$
  3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|{\mbox{ すべての }}a,b\in G に対して}$
  4. ノルムの要素の総数は、各実数に対して有限です。${\displaystyle N_{G}(x)}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle |a|\leq x}$${\displaystyle x>0}$

加法数体系は、基礎となるモノイドGが自由アーベルである算術半群である。ノルム関数は加法的に記述されることがある。^[1]

ノルムが整数値の場合、計数関数a ( n ) とp ( n ) をGに関連付けます。ここで、p はノルムnのPの要素の数を数え、a はノルムnのGの要素の数を数えます。A ( x ) とP ( x ) を対応する形式的な冪級数とします。基本的な恒等式が成り立ちます^[2]

${\displaystyle A(x)=\sum _{n}a(n)x^{n}=\prod _{n}(1-x^{n})^{-p(n)}\ }$

これは、 Gの各要素をPの要素の積として一意に表現することを形式的にエンコードする。Gの収束半径は、冪級数A ( x )の収束半径である。^[3]

基本的なアイデンティティには別の形式がある^[4]

${\displaystyle A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)\ .}$

• 算術半群の典型的な例は、有理素数の部分集合P = {2, 3, 5, ... } を持つ正の整数の乗法半群G = Z ⁺ = {1, 2, 3, ... } です。ここで、整数のノルムは単に であり、 はxを超えない最大の整数です。 ${\displaystyle |n|=n}$${\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }$

• Kが代数体、すなわち有理数体Qの有限拡大である場合、Kの整数環O _Kのすべての非ゼロイデアルの集合Gは単位元O _Kを持つ算術半群を形成し、イデアルIのノルムは商環O _K / Iの濃度によって与えられます。この場合、素数定理の適切な一般化はランダウの素イデアル定理であり、これはO _Kのイデアルの漸近分布を記述します。

• クルル＝シュミット型の定理を満たす様々な算術カテゴリが考えられます。これらすべての場合において、Gの要素は適切なカテゴリの同型クラスであり、P は分解不可能なオブジェクト、つまり非ゼロオブジェクトの直積として分解できないオブジェクトのすべての同型クラスで構成されます。いくつかの典型的な例を以下に示します。
  • 通常の直積演算とノルム写像によるすべての有限 アーベル群のカテゴリ。分解不可能なオブジェクトは素数べき順序の巡回群です。${\displaystyle |A|=\operatorname {card} (A).}$
  • 多様体のリーマン積とノルム写像の下でのすべてのコンパクト 単連結大域対称リーマン多様体のカテゴリ。ここでc > 1 は固定され、 dim M はMの多様体次元を表します。分解不可能なオブジェクトは、コンパクト単連結既約対称空間です。${\displaystyle |M|=c^{\dim M},}$
  • 位相和とノルム写像の下でのすべての擬測量可能な有限位相空間のカテゴリ。分解不可能なオブジェクトは連結された空間です。${\displaystyle |X|=2^{\operatorname {card} (X)}.}$

算術関数とゼータ関数の使用は広範囲にわたります。その考え方は、古典的な解析的整数論における算術関数とゼータ関数のさまざまな議論と手法を、1 つ以上の追加の公理を満たす可能性のある任意の算術半群のコンテキストに拡張することです。このような典型的な公理は次のもので、文献では通常「公理 A」と呼ばれます。

• 公理A . 正の定数Aと、および定数 が存在し、^[5]${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle 0\leq \nu <\delta }$${\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }){\mbox{ as }}x\rightarrow \infty .}$

公理Aを満たす任意の算術半群に対して、次の抽象的な素数定理が成り立つ：^[6]

${\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log x}}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$

ここでπ _G ( x ) =ノルム | p | ≤ xのP内の要素pの総数。

算術的形成の概念は、代数的整数論におけるイデアル類群の一般化を提供し、制約の下での抽象的な漸近分布の結果を可能にする。例えば、数体の場合、これはチェボタレフの密度定理である。算術的形成とは、商G /≡ が有限アーベル群Aであるような同値関係 ≡ を持つ算術半群Gである。この商は形成の類群であり、同値類は一般化された算術数列または一般化されたイデアル類である。χ がAの指標である場合、ディリクレ級数を定義できる。

${\displaystyle \sum _{g\in G}\chi ([g])|g|^{-s}}$

これは算術半群のゼータ関数の概念を提供する。^[7]

• 公理A、動的システムの性質
• バーリングゼータ関数

• Burris, Stanley N. (2001)。数論的密度と論理的極限法則。数学概論とモノグラフ。第86巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-2666-2.ZBL0995.11001  。​
• ノップマッカー、ジョン (1990) [1975].抽象解析数論(第 2 版). ニューヨーク、NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2.ZBL0743.11002  .​
• モンゴメリー、ヒュー L. ;ヴォーン、ロバート C. (2007)。乗法数論 I. 古典理論。ケンブリッジ高等数学研究。第 97 巻。p. 278。ISBN 978-0-521-84903-6.ZBL1142.11001  。​