交互符号行列

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}}$

サイズ3の7つの交互符号行列

数学において、交代符号行列（こうぎょうけいぎょう）は、0、1、-1 の正方行列で、各行と各列の合計が 1 で、各行と各列の非ゼロ要素の符号が交互になっている行列である。これらの行列は順列行列を一般化したもので、ドジソン凝縮を使用して行列式を計算するときに自然に生じる。 ^{[1]これらはまた、}統計力学のドメイン壁境界条件を持つ6 頂点モデルと密接に関連している。これらは、前者の文脈で William Mills、 David Robbins、Howard Rumsey によって初めて定義された。

順列行列は交番符号行列であり、交番符号行列が順列行列となるのは、どの要素も−1に等しくない場合のみです。

置換行列ではない交代符号行列の例は次の通りである。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

交代符号行列定理は、交代符号行列 の数は${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.}$

この数列の最初の数項（n = 0, 1, 2, 3, …）は

1、1、2、7、42、429、7436、218348、…（OEISの配列A005130）。

この定理は、1992年にドロン・ツァイルバーガーによって初めて証明されました^。[2] 1995年にグレッグ・クーパーバーグは、アナトリー・イゼルギンによる行列式計算を使用した、ドメイン壁境界条件を持つ6頂点モデルのヤン・バクスター方程式に基づく短い証明^{[3]を与えました。 [4] 2005年に、}イルゼ・フィッシャーは、演算子法と呼ばれるものを使用して3番目の証明を与えました。^[5]

2001年、A. RazumovとY. StroganovはO(1)ループモデル、完全充填ループモデル（FPL）、ASMの関係を予想した。^[6] この予想は2010年にCantiniとSportielloによって証明された。^[7]

• Bressoud, David M.、「証明と確認: 交代符号行列予想の物語」、 MAA Spectrum、アメリカ数学協会、ワシントン DC、1999 年。ISBN 978-0521666466 
• Bressoud, David M.および Propp, James、「交代符号行列予想の解決方法」、アメリカ数学会誌、46 (1999)、637–646。
• ミルズ、ウィリアム H.、ロビンズ、デビッド P.、ラムゼイ、ハワード Jr.、「マクドナルド予想の証明」、Inventiones Mathematicae、66 (1982)、73-87。
• ミルズ、ウィリアム H.、ロビンズ、デビッド P.、およびラムゼイ、ハワード Jr.、「交代符号行列と下降平面分割」、組み合わせ理論ジャーナル、シリーズ A、34 (1983)、340–359。
• Propp, James、「交互符号行列のさまざまな側面」、離散数学および理論計算機科学、離散モデル特集号: 組合せ論、計算、幾何学(2001 年 7 月)。
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., O(1)ループモデルの基底状態ベクトルの組合せ的性質, Theor. Math. Phys. , 138 (2004), 333–337.
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., 異なる境界条件と交互符号行列の対称性クラスを持つ O(1) ループモデル], Theor. Math. Phys. , 142 (2005), 237–243, arXiv :cond-mat/0108103
• ロビンズ、デイビッド・P.、「物語」、数学インテリジェンサー、13（2）、12–19（1991）、doi：10.1007 / BF03024081。${\displaystyle 1,2,7,42,429,7436,\dots }$
• Zeilberger, Doron、「改良された交代符号行列予想の証明」、New York Journal of Mathematics 2 (1996)、59–68。

• MathWorldにおける交互符号行列エントリ
• FindStat データベースの交互符号行列エントリ