パラメータ

パラメータ（古代ギリシャ語のπαρά （pará）  「付随する、補助的な」とμέτρον （métron）  「尺度」に由来）は、一般的に、特定のシステム（イベント、プロジェクト、オブジェクト、状況など）を定義または分類するのに役立つ特性です。つまり、パラメータは、システムを識別するとき、またはそのパフォーマンス、ステータス、状態などを評価するときに役立つ、または重要なシステムの要素です。

パラメータは、数学、コンピュータプログラミング、エンジニアリング、統計、論理、言語学、電子音楽作曲 など、さまざまな分野においてより具体的な意味を持ちます。

技術的な用途に加えて、特に非科学的な文脈では、「テストパラメータ」や「ゲームプレイパラメータ」というフレーズのように、特性や境界を定義することを意味する拡張された用法もあります。^[要出典]

システムを方程式でモデル化する場合、そのシステムを記述する値はパラメータと呼ばれます。たとえば、力学では、質量、寸法と形状 (固体の場合)、密度と粘度 (流体の場合) が、動きをモデル化する方程式のパラメータとして現れます。パラメータには複数の選択肢があることが多く、便利なパラメータのセットを選択することをパラメータ化と呼びます。

たとえば、物体よりもはるかに大きい球面（地球など）上の物体の動きを考える場合、その位置のパラメータ化には一般的に 2 つの方法があります。1 つは角度座標（緯度/経度など）で、球面上の円に沿った大きな動きをわかりやすく記述します。もう 1 つは既知の地点からの方向距離（たとえば、「トロントの北北西 10 km」または「トロントから真北に 8 km、真西に 6 km」）で、特定の国や地域内など、（比較的）狭い範囲に限定された動きの場合は、後者の方が簡単な場合が多いです。このようなパラメータ化は、地理的領域のモデル化（つまり、地図の描画）にも関連しています。

数学関数には、定義で変数によって指定される1つ以上の引数があります。関数定義にはパラメータを含めることもできますが、変数とは異なり、パラメータは関数が取る引数の中にリストされません。パラメータが存在する場合、定義は実際にはパラメータの有効な値のセットごとに1つずつ、関数のファミリ全体を定義します。たとえば、一般的な2次関数を次のように宣言して 定義できます。

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$;

ここで、変数x は関数の引数を示しますが、a、b、cは、どの二次関数が対象になっているかを決定するパラメータ（この例では係数とも呼ばれます）です。パラメータを関数名に組み込むことで、そのパラメータへの依存性を示すことができます。たとえば、底がb の対数を次の式で 定義できます。

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log(x)}{\log(b)}}}$

ここで、b はどの対数関数が使用されているかを示すパラメータです。これは関数の引数ではなく、たとえば導関数を 考えるとき定数になります。 ${\displaystyle \textstyle \log _{b}'(x)=(x\ln(b))^{-1}}$

非公式な状況では、関数定義内のシンボルの一部またはすべてをパラメータと呼ぶかどうかは慣例（または歴史的偶然）の問題です。しかし、パラメータと変数の間でシンボルのステータスを変更すると、数学的オブジェクトとしての関数が変わります。たとえば、階乗の冪乗の表記法は、

${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}$、

は、 nの多項式関数を定義します( kがパラメータと見なされる場合) が、kの多項式関数ではありません( nがパラメータと見なされる場合)。実際、後者の場合、非負の整数引数に対してのみ定義されます。このような状況のより正式な表現は、通常、複数の変数 (「パラメータ」と呼ばれることもあるすべての変数を含む) の関数から始まります。

${\displaystyle (n,k)\mapsto n^{\underline {k}}}$

を最も基本的なオブジェクトとして考え、カリー化によってメインの変数よりも少ない変数を持つ関数を定義します。

特定のパラメータを持つすべての関数をパラメトリック ファミリ、つまりインデックス付き関数ファミリとして考えると便利な場合があります。確率論からの例を以下に示します。

• ジェームズ・J・キルパトリックは、著書『作家の芸術』のよく誤用される単語に関するセクションで、通信員からの手紙を引用し、パラメータという単語の正しい使い方を示す例を挙げています。

数学者の WM Woods は次のように書いています。「変数は、パラメータではない多くのものの 1 つです。」従属変数である車の速度は、独立変数であるアクセル ペダルの位置に依存します。

[キルパトリックがウッズの言葉を引用] 「さて…エンジニアは…リンケージのレバーアームを変更しました…車の速度は…依然としてペダルの位置に依存しますが…やり方が…異なります。パラメータを変更したことになります。」

• パラメトリックイコライザーは、1 つのコントロールで最大カットまたはブーストの周波数を設定し、別のコントロールでカットまたはブーストのサイズを設定できるオーディオ フィルターです。これらの設定、つまりピークまたは谷の周波数レベルは、周波数応答曲線の 2 つのパラメーターであり、2 つのコントロールがあるイコライザーでは、曲線を完全に表します。より複雑なパラメトリック イコライザーでは、スキューなどの他のパラメーターを変更できる場合があります。これらのパラメーターはそれぞれ、すべての周波数にわたって全体として見た応答曲線の一部の側面を表します。グラフィックイコライザーは、さまざまな周波数帯域に個別のレベル コントロールを提供し、それぞれがその特定の周波数帯域にのみ作用します。
• y  =  ax ²の関係のグラフを想像するように言われた場合、通常はxの値の範囲を視覚化しますが、aの値は 1 つだけです。もちろん、aの異なる値を使用して、xとy の間に異なる関係を生成することもできます。したがって、aはパラメーターです。変数xやyよりも変化が少なく、指数 2 のような明示的な定数ではありません。より正確には、パラメーターa を変更すると、別の (ただし関連のある) 問題が発生しますが、変数xとyの変化(およびそれらの相互関係) は問題自体の一部です。
• 賃金と労働時間に基づいて収入を計算する場合（収入は賃金と労働時間を掛けたものに等しい）、労働時間数は簡単に変更できるが、賃金はより静的であると通常想定されます。これにより、賃金はパラメーター、労働時間は独立変数、収入は従属変数になります。

確率分布などの数学モデルの文脈では、変数とパラメータの区別はバードによって次のように説明されています。

特定の物理的状況を説明すると考えられる関係をモデルと呼びます。通常、モデルは 1 つ以上の方程式で構成されます。方程式に現れる量は、変数とパラメータに分類されます。これらの区別は必ずしも明確ではなく、変数が現れるコンテキストによって決まることがよくあります。通常、モデルは、実験で独立して測定できる量の間に存在する関係を説明するように設計されています。これらはモデルの変数です。ただし、これらの関係を定式化するために、自然 (または特定の実験で使用される材料や機器) の固有の特性を表す「定数」を導入することがよくあります。これらはパラメータです。^[1]

解析幾何学では、曲線は、引数（通常はパラメータと呼ばれる）が実数区間内にある関数の像として記述できます。

たとえば、単位円は次の 2 つの方法で指定できます。

• 暗黙の形式では、曲線は、次の関係を満たす直交平面上の点（x、y）の軌跡である。$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$
• パラメトリック形式では、曲線は関数のイメージである$${\displaystyle t\mapsto (\cos t,\sin t)}$$

  パラメータ付きパラメトリック方程式としてこれを記述できる${\displaystyle t\in [0,2\pi ).}$

  $${\displaystyle (x,y)=(\cos t,\sin t).}$$

  この式のパラメータtは、数学の他の分野では独立変数と呼ばれます。

数学的解析では、パラメータに依存する積分がしばしば考慮される。これらは次のような形式である。

${\displaystyle F(t)=\int _{x_{0}(t)}^{x_{1}(t)}f(x;t)\,dx.}$

この式では、t は関数Fの引数であり、右側のt は積分が依存するパラメータです。積分を評価する際、 t は一定に保たれるため、パラメータと見なされます。 tの異なる値に対するFの値に関心がある場合は、 t を変数と見なします。量x はダミー変数または積分変数です(紛らわしいことに、積分パラメータと呼ばれることもあります)。

統計学と計量経済学では、上記の確率の枠組みは依然として有効ですが、注目は観測データに基づいて分布のパラメータを推定すること、またはそれらについての仮説をテストすることに移ります。頻度主義推定ではパラメータは「固定されているが未知」であると見なされますが、ベイズ推定ではそれらはランダム変数として扱われ、その不確実性は分布として記述されます。^{[要出典] [2]}

統計の推定理論では、「統計」または推定量はサンプルを指し、「パラメータ」または推定量はサンプルが抽出される母集団を指します。統計は、サンプルの数値特性であり、サンプルが抽出された 母集団の数値特性である対応するパラメータの推定値として使用できます。

たとえば、と表記される標本平均（推定値）は、標本が抽出された母集団の平均パラメータ（推定値）μの推定値として使用できます。同様に、 S ^{2と表記される}標本分散（推定値）は、標本が抽出された母集団の分散パラメータ（推定値）σ ²を推定するために使用できます。（標本標準偏差（ S）は、母集団標準偏差（σ ）の不偏推定値ではないことに注意してください。標準偏差の不偏推定を参照してください。） ${\displaystyle {\overline {X}}}$

特定のパラメトリックな確率分布族を仮定せずに統計的推論を行うことは可能です。その場合、先ほど説明したパラメトリック統計とは対照的に、ノンパラメトリック統計と呼ばれます。たとえば、スピアマンの順位相関係数に基づく検定は、統計がデータの実際の値を無視して（したがって、データがサンプリングされた分布に関係なく）データの順位から計算されるため、ノンパラメトリックと呼ばれます。一方、ピアソンの積率相関係数に基づく検定は、データ値から直接計算され、母集団相関と呼ばれるパラメータを推定するため、パラメトリック検定です。

確率論では、ランダム変数の分布は、有限個のパラメータの値によって互いに区別される確率分布のファミリーに属するものとして記述できます。たとえば、「平均値 λ のポアソン分布」について説明します。分布を定義する関数 (確率質量関数) は次のとおりです。

${\displaystyle f(k;\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}.}$

この例は、定数、パラメータ、変数の違いをうまく示しています。eはオイラー数で、基本的な数学定数です。パラメータ λ は、問題となっている何らかの現象の平均観測数であり、システムの特性です。k は変数で、この場合は特定のサンプルから実際に観測された現象の発生回数です。k 1 回の発生を観測する確率を知りたい場合は、_関数に代入して を取得します。システムを変更せずに、 kの値の範囲を持つ複数のサンプルを採取できますが、システムは常に同じ λ によって特徴付けられます。 ${\displaystyle f(k_{1};\lambda )}$

たとえば、平均して 10 分ごとに 5 個の粒子を放出する放射性サンプルがあるとします。10 分間にサンプルが放出する粒子の数を測定します。測定値はkの異なる値を示し、サンプルがポアソン統計に従って動作する場合、kの各値は上記の確率質量関数によって与えられた割合で発生します。ただし、測定ごとに λ は 5 で一定です。システムを変更しない場合、パラメーター λ は測定ごとに変化しません。一方、サンプルをより放射性の高いものに置き換えることでシステムを調整すると、パラメーター λ が増加します。

もう一つの一般的な分布は正規分布で、平均 μ と分散 σ² をパラメータとして持ちます。

上記の例では、ランダム変数の分布は、分布の種類 (ポアソン分布または正規分布) とパラメータ値 (平均と分散) によって完全に指定されます。このような場合、パラメータ化された分布になります。

確率分布のパラメータとして、モーメントのシーケンス(平均、平均二乗、...) またはキュムラント(平均、分散、...)を使用することができます。統計パラメータを参照してください。

コンピュータ プログラミングでは、パラメータの 2 つの概念が一般的に使用されており、パラメータと引数と呼ばれます。より正式には、仮パラメータと実パラメータと呼ばれます。

例えば、次のような関数の定義では

y = f ( x ) = x + 2、

x は定義された関数の 仮パラメータ（パラメータ）です。

関数が与えられた値に対して評価されると、

f (3): または、 y = f (3) = 3 + 2 = 5、

3 は、定義された関数によって評価される実際のパラメータ(引数) です。これは、定義された関数の仮パラメータの代わりに使用される特定の値 (実際の値) です。(日常的な使用では、パラメータと引数という用語は誤って入れ替わってしまい、誤って使用される可能性があります。)

これらの概念については、関数型プログラミングとその基礎分野であるラムダ計算と組み合わせ論理でより正確に説明されています。用語は言語によって異なります。Cなどの一部のコンピュータ言語では、ここで示すようにパラメータと引数を定義しますが、Eiffelでは別の規則を使用します。

人工知能 では、モデルは何かが起きる確率を表します。モデル内のパラメータは、さまざまな確率の重みです。Tiernan Ray は、GPT-3 に関する記事で、パラメータを次のように説明しています。

パラメータとは、ニューラルネットワークにおける計算で、データのある側面に大きなまたは小さな重み付けを適用し、その側面をデータ全体の計算でより重要またはより重要でないものにします。これらの重みがデータに形を与え、ニューラルネットワークにデータに関する学習された視点を与えます。^[3]

エンジニアリング（特にデータ収集を含む）では、パラメータという用語は、個々の測定項目を大まかに指すことがあります。この用法は一貫しておらず、チャネルという用語は個々の測定項目を指し、パラメータはそのチャネルに関する設定情報を指すことがあります。

「一般的に言えば、プロパティとはシステムの物理的属性を直接記述する物理量であり、パラメータとはシステムの応答を決定するのに十分なプロパティの組み合わせである。プロパティは、検討対象のシステムに応じてあらゆる種類の次元を持つことができる。パラメータは無次元であるか、時間またはその逆数の次元を持つ。」^[4]

ただし、この用語は物理科学でよく使用されるため、工学の文脈でも使用できます。

環境科学、特に化学と微生物学の分野では、パラメータは、値を割り当てることができる個別の化学的または微生物学的実体を表すために使用されます。パラメータは通常は濃度ですが、論理的な実体（存在または不在）、95 パーセンタイル値などの統計的結果、または場合によっては主観的な値である場合もあります。

言語学では、「パラメータ」という単語は、原則とパラメータのフレームワーク内の普遍文法におけるバイナリスイッチを表すためにほぼ独占的に使用されます。

論理学では、オープン述語に渡される（またはオープン述語によって操作される）パラメータは、一部の著者によってパラメータと呼ばれます（例： Prawitz、「Natural Deduction」、Paulson、「Designing a theorem prover」）。述語内でローカルに定義されたパラメータは、変数と呼ばれます。この追加の区別は、置換を定義するときに役立ちます（この区別がない場合、変数の捕捉を避けるために特別な準備を行う必要があります）。他の著者（おそらくほとんど）は、オープン述語に渡される（またはオープン述語によって操作される）パラメータを単に変数と呼び、置換を定義するときに自由変数と束縛変数を区別する必要があります。

音楽理論において、パラメータとは、他の要素とは別に操作（作曲）できる要素を指す。この用語は特にピッチ、音量、持続時間、音色を指すが、理論家や作曲家は他の音楽的側面をパラメータとみなすこともある。この用語は特に、各パラメータが特定のシリーズに従うシリアル音楽で用いられる。ポール・ランスキーとジョージ・パールはこの意味での「パラメータ」という言葉の拡張を批判した。数学的な意味とは密接な関係がないからである^[5]が、今でもよく使われている。この用語は音楽制作でも一般的で、オーディオ処理ユニットの機能（コンプレッサーのアタック、リリース、比率、しきい値、その他の変数など）は、ユニットの種類（コンプレッサー、イコライザー、ディレイなど）に固有のパラメータによって定義される。

• 係数
• 座標系
• 関数パラメータ
• オッカムの剃刀（データフィッティングにおけるパラメータの多さと少なさのトレードオフに関して）