入れ子になったセットコレクション

原子要素の集合を、トランプのマークの集合として用いる。

B = {♠, ♥, ♦, ♣}; B ₁ = {♠, ♥}; B ₂ = {♦, ♣}; B ₃ = {♣}; C = { B , B ₁ , B ₂ , B ₃ }。    

形式定義の2番目の条件は、すべてのペアを組み合わせることで確認できます。

B ₁ ∩ B ₂ = ∅; B ₁ ∩ B ₃ = ∅; B ₃ ⊂ B ₂  。

2 つのブランチとその入れ子構造によって表現できる階層構造が存在する: B ₃ ⊂ B ₂ ⊂ B ; B ₁ ⊂ B 。

入れ子階層または包含階層とは、入れ子になった集合の階層的な順序付けのことです。^{[ 3 ]}入れ子の概念は、ロシアのマトリョーシカ人形によく表れています。各人形は、一番外側の人形まで、別の人形に包み込まれています。一番外側の人形はすべての内側の人形を包み込み、次の外側の人形は残りのすべての内側の人形を包み込み、以下同様です。マトリョーシカは入れ子階層を表しており、各レベルには1つのオブジェクトしか含まれていません。つまり、各サイズの人形は1つしかありません。一般化された入れ子階層では、レベル内に複数のオブジェクトを許容しますが、各オブジェクトは各レベルで1つの親しか持ちません。一般的な概念を図解します。

${\displaystyle {\text{正方形}}\subset {\text{四角形}}\subset {\text{多角形}}\subset {\text{形状}}\,}$

正方形は常に四角形、多角形、または図形とも呼ばれます。このように、正方形は階層構造を持っています。しかし、この分類法を用いて多角形の集合を考えてみましょう。正方形は四角形にしかなり得ず、三角形や六角形などにはなり得ません。

入れ子構造の階層は、分類体系や系統分類の背後にある組織的な仕組みです。たとえば、オリジナルのリンネ分類体系（彼が『自然の体系』第10版で示したバージョン）を使用すると、人間は次のように定式化できます。^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\text{H. sapiens}}\subset {\text{Homo}}\subset {\text{Primates}}\subset {\text{Mammalia}}\subset {\text{Animalia}}}$

分類体系は（生物分類学に見られるように）頻繁に変更される可能性があるが、入れ子構造の階層という根本的な概念は常に同じである。

包含階層は、入れ子階層の概念を直接的に拡張したものです。すべての順序付き集合は依然として入れ子構造ですが、すべての集合は「厳密」でなければなりません。つまり、2つの集合が同一であってはなりません。上記の図形の例を修正することで、これを実証できます。

${\displaystyle {\text{square}}\subsetneq {\text{quadrilateral}}\subsetneq {\text{polygon}}\subsetneq {\text{shape}}\,}$

表記法${\displaystyle x\subsetneq y\,}$これは、xがyの部分集合であるが、 yとは等しくないことを意味します。 

包含階層は、オブジェクト指向プログラミングのクラス継承で使用されます。