商品注文

数学では、半順序が与えられた場合${\displaystyle \preceq }$そして${\displaystyle \sqsubseteq }$撮影現場で${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それぞれ、積の順序^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}（座標ごとの順序^{[ 5 ] [ 3 ] [ 6 ]}または成分ごとの順序^{[ 2 ] [ 7 ]}とも呼ばれる）は部分順序である。${\displaystyle \leq }$デカルト積について${\displaystyle A\times B.}$2組のペアが与えられた${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)}$そして${\displaystyle \left(a_{2},b_{2}\right)}$で${\displaystyle A\times B,}$宣言する$\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)}$もし${\displaystyle a_{1}\preceq a_{2}}$そして${\displaystyle b_{1}\sqsubseteq b_{2}.}$

もう一つの可能​​性のある注文は${\displaystyle A\times B}$は辞書式順序です。と の両方が の場合、それは全順序です。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は全順序です。ただし、2 つの全順序の積順序は一般に全順序ではありません。たとえば、ペア${\displaystyle (0,1)}$そして${\displaystyle (1,0)}$製品の順序では比較できない${\displaystyle 0<1}$2 つの全順序の辞書式結合は、それらの積順序の線形拡張であり、したがって積順序は辞書式順序のサブリレーションである。 ^{[ 3 ]}

積順序を持つデカルト積は、単調関数を持つ半順序集合の圏における圏論的積である。^{[ 7 ]}

積の順序は、任意の（場合によっては無限の）デカルト積に一般化される。${\displaystyle A\neq \varnothing }$は集合であり、すべての${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$予約注文セットです。製品の予約注文は${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a}}$は、任意の宣言によって定義されます。${\displaystyle i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}}$そして${\displaystyle j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}}$で${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a},}$それ

${\displaystyle i_{\bullet }\leq j_{\bullet }}$かつその場合に限り${\displaystyle i_{a}\leq j_{a}}$すべての${\displaystyle a\in A.}$

もしすべての${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$が部分注文であれば、製品の予約注文も部分注文となります。

さらに、ある集合が与えられた場合${\displaystyle A,}$カルテシアン積の積の順序${\displaystyle \prod _{a\in A}\{0,1\}}$サブセットの包含順序で識別できる${\displaystyle A.}$^{[ 4 ]}

この概念は前順序にも同様に適用できます。積順序は、束やブール代数など、より豊かな圏における圏論的積でもあります。^{[ 7 ]}

• 二項関係の直積
• 部分順序の例
• スタープロダクト、部分注文を組み合わせる別の方法
• 完全順序集合のデカルト積の順序
• 部分順序の順序和
• 順序付きベクトル空間– 部分順序を持つベクトル空間