反射関係

数学において、集合上の二項関係が 反射的であるとは、集合の全ての要素がそれ自身に関係している場合を言う。^{[1] [2]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

反射関係の例としては、実数の集合における「は等しい」という関係が挙げられます。これは、すべての実数がそれ自身に等しいためです。反射関係は反射特性を持つ、または反射性を持つと言われます。対称性と推移性とともに、反射性は同値関係を定義する 3 つの特性の 1 つです。

反射的という語は、もともとは中世ラテン語の reflexivus（「反動する」[参照: reflex ]、または「それ自体に向けられた」）（1250年頃）から派生したもので、これは古典ラテン語の reflexus-（「背を向ける」、「反射」）+ -īvus（接尾辞）から来ている。この語は1580年代に初期近代英語に入り込んだ。現在数学で使われている「それ自体に向けられた」という意味は、主に哲学と文法で使われて生き残った（参照:再帰動詞と再帰代名詞）。^{[3] [4]}

「反射性」、つまり関係がすべての要素が自分自身と関連しているという性質を持つことを記述するという用語の明示的な使用は、一般にジュゼッペ・ペアノの著書『数理原理』 （1889年）に帰属し、その中で彼は等式の基本的な性質の1つを と定義している。[ ^{5] [6]}数学と論理学の意味で反射的という語が最初に使用されたのは、バートランド・ラッセルの著書『数学原理』 （1903年）である。^{[6] [7]}${\displaystyle a=a}$

集合 上の関係が反射的であるとは、任意の に対してが成り立つ場合を言います。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (x,x)\in R}$

同様に、 が上の恒等関係を表すとすると、 であれば関係は反射的になります。 ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$

の反射閉包は、 のスーパーセットである 上の最小の反射関係( に関して) として同値に定義できる和集合です。関係が反射的であるためには、その反射閉包と等しい必要があります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$

の反射的簡約または非反射的核は、と同じ反射的閉包を持つ上の最小の関係（ に関して）である。これは に等しい。 の反射的簡約は、ある意味では の反射的閉包の「反対」の構成と見ることができる。 たとえば、実数上の標準的な厳密な不等式の反射的閉包は通常の非厳密な不等式であるが、 の反射的簡約は${\displaystyle R}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle <.}$

反射的性質に関連する定義はいくつかあります。この関係は次のように呼ばれます。 ${\displaystyle R}$

反射的でない、反反射的または異質な

^[8]それがいかなる要素もそれ自身に関連しない場合、すなわち、が成り立たない場合、関係は非反射的であり、その補項が反射的である場合に限ります。非対称な関係は必然的に非反射的です。推移的で非反射的な関係は必然的に非対称です。${\displaystyle xRx}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X\times X}$

左準反射

が常にそうなるならば、必然的に^[9]${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle xRx.}$

右準再帰

いつでも、必ずそうなるのであれば${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle yRy.}$

準反射的

ある関係の一部であるすべての要素がそれ自体と関連している場合。明示的には、がとなるときはいつでも、必然的に となり、同値に、二項関係が準反射的となるのは、左準反射的かつ右準反射的である場合に限ります。関係が準反射的となるのは、その対称閉包が左 (または右) 準反射的である場合に限ります。${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle xRx}$${\displaystyle yRy.}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$

反対称

いつでも、必ずそうなるのであれば${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRx,}$${\displaystyle x=y.}$

コア反射的

が成り立つときはいつでも、必然的に成り立つ。 ^[10]関係がコア反射的である場合、かつその対称閉包が反対称的である場合に限ります。${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle x=y.}$${\displaystyle R}$

空でない集合上の反射関係は、非反射的、非対称的（が意味しない場合は非対称と呼ばれる）、反推移的（が意味しない場合は反推移的と呼ばれる）になることはあり得ません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRz}$${\displaystyle xRz}$

再帰関係の例には次のものがあります。

• 「等しい」（等しい）
• 「サブセットである」（包含集合）
• 「割り切る」（割り切れる）
• 「以上」
• 「以下」

非反射関係の例には次のものがあります。

• 「等しくない」
• 1より大きい整数に対して「互いに素である」
• 「は」の適切な部分集合である
• 「より大きい」
• 「より小さい」

非反射関係の例としては、実数における「より大きい」関係 ( )が挙げられます。反射的でない関係がすべて非反射的であるわけではありません。一部の要素が自分自身と関連し、他の要素は関連しない (つまり、すべてまたはどれも関連しない) 関係を定義することは可能です。たとえば、「と の積は偶数である」という 2 項関係は、偶数集合では反射的であり、奇数集合では非反射的であり、自然数集合では反射的でも非反射的でもありません。 ${\displaystyle x>y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

準反射関係の例としては、実数の列の集合における「と同じ極限を持つ」が挙げられます。すべての列に極限があるわけではないので、関係は反射的ではありませんが、ある列がある列と同じ極限を持つ場合は、その列はそれ自体と同じ極限を持ちます。左準反射関係の例としては、左ユークリッド関係が挙げられます。これは常に左準反射的ですが、必ずしも右準反射的とは限らず、したがって必ずしも準反射的ではありません。 ${\displaystyle R}$

コア反射関係の例としては、各奇数が自分自身と関連し、他の関係がない整数の関係があります。等式関係は反射的かつコア反射的関係の両方の例の唯一の例であり、コア反射的関係はすべて恒等関係のサブセットです。同じセット上のコア反射的関係と推移的関係の和集合は常に推移的です。

元集合上の反射関係の数は^{[11]である。}${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$

S ( n , k )は第2種スターリング数を指すことに注意してください。

哲学論理学の著者はしばしば異なる用語を使用する。数学的な意味での反射的関係は哲学論理学では完全反射的と呼ばれ、準反射的関係は反射的と呼ばれる。^{[12] [13]}

• 「反射性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]