補集合論

集合論において、集合Aの補集合は、しばしば(またはA ′ ) と表記され、^[1] Aに含まれない要素の集合である。^[2] ${\displaystyle A^{\complement }}$

宇宙のすべての要素、つまり検討中のすべての要素が、与えられた集合Uのメンバーであると考えられる場合、Aの絶対補集合は、 Aに含まれないUの要素の集合です。

集合Bに関するAの相対的な補集合は、B と A の差集合とも呼ばれ、 Aに含まれないBの要素の集合と書きます。 ${\displaystyle B\setminus A,}$

Aが集合である場合、 Aの絶対補集合（または単にAの補集合）は、 Aに含まれない要素の集合（暗黙的に定義されているより大きな集合内）である。言い換えれば、U を研究対象のすべての要素を含む集合とすると、 Uについて言及する必要がない場合（以前に指定されているか、明白で一意である場合）、Aの絶対補集合は、 UにおけるAの相対補集合である：^[3] $${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

Aの絶対補数は通常 と表記される。他の表記法としては^{[2] [4] などがある。}${\displaystyle A^{\complement }}$${\displaystyle {\overline {A}},A',}$ ${\displaystyle \complement _{U}A、{\text{ および }}\complement A。}$

• 宇宙は整数の集合であると仮定します。Aが奇数の集合である場合、Aの補数は偶数の集合です。B が 3 の倍数の集合である場合、Bの補数は3 を法として 1 または 2 と同値となる数の集合です(簡単に言えば、3 の倍数ではない整数)。
• 宇宙が標準的な 52 枚のカードのデッキであると仮定します。セットAがスペードのスートである場合、Aの補数はクラブ、ダイヤ、ハートのスートを結合したものです。セットBがクラブとダイヤのスートを結合したものである場合、 Bの補数はハートとスペードのスートを結合したものです。
• 宇宙が形式化された集合論で記述された集合の宇宙である場合、集合の絶対補集合自体は集合ではなく、むしろ適切なクラスです。詳細については、普遍集合を参照してください。

AとB を宇宙U内の 2 つの集合とします。次の恒等式は絶対補集合の重要な特性を捉えています。

ド・モルガンの法則：^[5]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

補法則: ^[5]

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{A\subseteq B{\text{の場合、B^{\complement }\subseteq A^{\complement } です。}$

  (これは条件文とその対偶が同値であることから導かれます)。

反転または二重補数法則:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

相対補語と絶対補語の関係:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).​​}$

差集合を持つ関係:

• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

上記の最初の 2 つの補集合法則は、Aが空でないUの適切な部分集合である場合、{ A , A ^∁ }はUの分割であることを示しています。

AとBが集合である場合、BにおけるAの相対補集合^[5]は、BとAの差集合とも呼ばれ、^{[6] は}Bに含まれるがAには含まれない要素の集合である。

BにおけるAの相対補集合は、 ISO 31-11 標準に従って表記されます。 と表記されることもありますが、この表記はあいまいです。コンテキストによっては (たとえば、関数解析におけるミンコフスキー集合演算)、 Bからbを取り、Aからa を取るすべての要素の集合として解釈される可能性があるからです。 ${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle B-A,}$${\displaystyle b-a,}$

正式には: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• が実数の集合であり、が有理数の集合である場合、 は無理数の集合です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

A、B、C を宇宙U内の 3 つの集合とします。次の恒等式は相対補集合の注目すべき特性を捉えています。

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  重要な特殊なケースでは、交差は相対補数演算のみを使用して表現できることを示しています。${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• もしならば。${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$は と同等です。${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$

2 項関係は 、集合の積のサブセットとして定義されます。相補関係は、におけるの集合補集合です。 の補集合は次のように書くことができます 。 ここで、 は、の行が の要素を表し、 の列が の要素を表す論理行列として見られることがよくあります。 の真偽は、行列の 1 に対応します。に対する相補関係を生成することは、 の補集合の論理行列で、すべての 1 を 0 に、0 を 1 に切り替えることに相当します。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle b.}$${\displaystyle R}$

関係の合成と逆関係とともに、相補関係と集合の代数は、関係の計算の基本的な操作です。

LaTeXタイプセッティング言語では、コマンド\setminus^{[7]は通常、}バックスラッシュ記号に似た集合差記号をレンダリングするために使用されます。レンダリングされると、\setminusコマンドは と同一に見えますが\backslash、スラッシュの前後に少しスペースがあり、LaTeXシーケンス に似ています\mathbin{\backslash}。バリアントは\smallsetminusamssymbパッケージで使用できますが、この記号はUnicodeに個別に含まれていません。記号( とは対照的に)は によって生成されます。(これはUnicode記号U+2201 ∁ COMPLEMENTに対応します。) ${\displaystyle \complement }$${\displaystyle C}$\complement

• 集合の代数 – 集合に関する同一性と関係
• 交差（集合論）  – いくつかの集合のすべてに共通する要素の集合
• 集合の同一性と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式
• 素朴集合論 – 非公式集合論
• 対称差 – 2つの集合のうちの1つに含まれる要素
• 和集合論 – いずれかの集合内の要素の集合

• ブルバキ、N. (1970)。テオリ・デ・アンサンブル（フランス語）。パリ: ヘルマン。ISBN 978-3-540-34034-8。
• デブリン、キース J. ( 1979)。現代集合論の基礎。Universitext。Springer。ISBN 0-387-90441-7.ZBL0407.04003  。​
• ハルモス、ポール R. (1960)。素朴集合論。大学数学シリーズ。ヴァン・ノストランド社。ISBN 9780442030643.ZBL0087.04403  。​

• ワイスタイン、エリック・W.「補完」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「補集合」。MathWorld。