確率的優位性

確率的優位性は、ランダム変数間の部分的な順序です。^{[1] [2]これは}確率的順序付けの一種です。この概念は、意思決定理論と意思決定分析において、あるギャンブル（可能性のある結果の確率分布、見通しとも呼ばれる）が、幅広いクラスの意思決定者にとって別のギャンブルよりも優れているとランク付けできる状況で生じます。これは、可能性のある結果の集合とそれに関連する確率に関する共通の好みに基づいています。優位性を判断するには、好みに関する限られた知識のみが必要です。 リスク回避は、第2次の確率的優位性においてのみ要因となります。

確率的優位性は、完全な順序を与えるのではなく、部分的な順序のみを与えます。つまり、いくつかの賭けのペアについては、どちらも確率的に他方を優位にすることはありません。これは、幅広い意思決定者のクラス内の異なるメンバーが、どの賭けが好ましいかについて意見が異なるためであり、一般的にそれらが同等に魅力的であると見なされることはありません。

記事全体を通して、 は上の確率分布 を表し、 は上の特定のランダム変数 を表します。 という表記は、が分布 を持つことを意味します。 ${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X\sim \rho }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho }$

確率的優位順序には、第 1 位、第 2 位、さらに高次の という順序があります。この順序は、次第に包括的になっていきます。つまり、 の場合、すべての に対して となります。さらに、となる が存在しますが、 は存在しません。 ${\displaystyle \succeq _{1}}$${\displaystyle \succeq _{2}}$${\displaystyle \succeq _{n}}$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$${\displaystyle k\geq n}$${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

^{確率的優位性は（ブラックウェル、1953） [3]}にまで遡ることができるが、1969年から1970年まで発展しなかった。^[4]

確率的優位性の最も単純なケースは、次のように定義される状態ごとの優位性（状態ごとの優位性とも呼ばれる）です。

ランダム変数 A がランダム変数 B に対して状態的に優位であるとは、A がすべての状態 (すべての可能な結果セット) で少なくとも同等の結果を出し、少なくとも 1 つの状態で確実に優れた結果を出す場合です。

たとえば、宝くじの 1 つ以上の賞品に 1 ドルが追加された場合、新しい宝くじは州全体で古い宝くじを上回ります。これは、宝くじで実現した特定の数字に関係なく、新しい宝くじの方が配当が高くなるためです。同様に、リスク保険の保険料が他の保険よりも安く、補償範囲が広い場合、損害の有無にかかわらず、結果はより良くなります。少ないものより多いものを好む人 (標準的な用語では、単調に増加する好みを持つ人) は、常に州全体で優位なギャンブルを好むでしょう。

状態優位性は一次確率優位性（FSD）を意味し、^[5]は次のように定義されます。

ランダム変数 A がランダム変数 B に対して 1 次確率的優位性を持つとは、任意の結果xに対して、 A が少なくともx を受け取る確率が B と少なくとも同じであり、あるxに対して、 A が少なくともxを受け取る確率がより高い場合を指します。表記法では、すべてのxに対して、およびあるxに対して、となります。${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$${\displaystyle P[A\geq x]>P[B\geq x]}$

2 つのランダム変数の累積分布関数に関して言えば、 A が B を支配するということは、すべてのxに対して、ある xでは厳密な不等式が成立することを意味します。 ${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$

交差しない分布関数の場合^{[説明が必要] 、}ウィルコクソン順位和検定は一次確率優位性を検定する。^[6]

が 上の2つの確率分布で、両方とも有限である場合、以下の条件は同値であり、したがってこれらはすべて第1次確率優位性の定義として機能する。^[7]${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• 減少しないものについては、${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle F_{\rho }(t)\leq F_{\nu }(t),\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• となるような2 つのランダム変数が存在します。${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$${\displaystyle X=Y+\delta }$${\displaystyle \delta \geq 0}$

最初の定義は、増加する効用関数を持つすべての期待効用最大化者がギャンブルよりもギャンブルを好む場合にのみ、ギャンブルがギャンブルを第一順位確率的に優位に立つことを述べています。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$

3 番目の定義は、分布 を持つギャンブルのペアを構築でき、ギャンブルが常に少なくともギャンブル と同じ額を支払うことになる、と述べています。より具体的には、最初に一様分布 を構築し、次に逆変換サンプリングを使用してを取得し、次に任意の に対して を取得します。 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$${\displaystyle X=F_{X}^{-1}(Z),Y=F_{Y}^{-1}(Z)}$${\displaystyle X\geq Y}$${\displaystyle Z}$

図的に見ると、2 番目と 3 番目の定義は同等です。グラフ化された A の密度関数から B の密度関数に移行するには、上方向にも左方向にも移動できるからです。

公平な 6 面サイコロを 1 回投げて、3 つの賭けを行うことを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}{\text{State (die result)}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{gamble A wins }}\$&1&1&2&2&2&2\\{\text{gamble B wins }}\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{gamble C wins }}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

ギャンブル A はギャンブル B を状態的に支配します。これは、A はすべての可能な状態 (サイコロを振った結果) で少なくとも同等の収益をもたらし、そのうちの 1 つ (状態 3) では確実に優れた収益をもたらすためです。A は状態的に B を支配しているため、B を一階的にも支配します。

ギャンブル C は状態 4 から 6 では B の方がより良い収量を与えるため、状態的には B を優位にしません。しかし、Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1、Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6、および Pr(B ≥ 3) = 0 であるのに対し、Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3) であるため、C は第 1 次確率的に B を優位に置きます。

ギャンブルAとCは、Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6であるのに対し、Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0であるため、一次確率優位性に基づいて相互に順序付けることはできません。

一般的に、あるギャンブルが 2 番目のギャンブルを 1 次確率的に優位にする場合、最初のギャンブルでのペイオフの期待値は 2 番目のギャンブルでのペイオフの期待値よりも大きくなりますが、その逆は当てはまりません。つまり、確率分布の平均を比較するだけでは、確率的優位性に関して宝くじを順序付けることはできません。たとえば、上記の例では、C の平均 (2) は A (5/3) よりも高いですが、C は A を 1 次確率的に優位にしていません。

よく使われるもう 1 つのタイプの確率的優位性は、第 2 次確率的優位性です。^{[1] [8] [9]}大まかに言えば、2 つのギャンブルとについて、ギャンブルの方が予測可能 (つまり、リスクが少ない) で、平均値が少なくとも同じくらい高い場合、ギャンブルはギャンブルよりも第 2 次確率的優位性を持ちます。すべてのリスク回避型の期待効用最大化者(つまり、増加する凹型の効用関数を持つ者) は、第 2 次確率的に優位なギャンブルを、支配されたギャンブルよりも好みます。第 2 次優位性は、第 1 次優位性よりも、より少数の意思決定者 (より多くがよいと考える者全員ではなく、より多くがよいと考える者とリスクを嫌う者) の共通の嗜好を表します。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$

累積分布関数およびに関して、が に対して2 次確率的に優位となることと、すべての に対してが成り立つこととが同値であり、ある で厳密な不等式が成り立つことが同値です。同様に、が 2 次で優位となることと、すべての非減少かつ凹状の効用関数に対して が成り立つことが同値です。 ${\displaystyle F_{\rho }}$${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$${\displaystyle u(x)}$

2 次確率的優位性は、次のようにも表現できます。ギャンブル2 次確率的優位性とは、ギャンブルおよびが存在し、常に 0 以下であり、のすべての値に対してとなる場合 に限ります。ここで、ランダム変数 の導入により、1 次確率的に が によって支配されるようになり（は、効用関数が増加する人に嫌われるようになります）、ランダム変数 の導入により、が凹型効用を持つ人に嫌われる平均保存分布 が導入されます。と の平均が同じである場合（ランダム変数 が固定数 0 に退化するように）、 は の平均保存分布 になることに注意してください。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$${\displaystyle x_{\rho }+y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$

が 上の2つの確率分布で、両方とも有限である場合、以下の条件は同値であり、したがってこれらはすべて2次確率優位性の定義として機能する。^[7]${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• 非減少で（必ずしも厳密には）凹である任意のものについて、${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu }(x)dx,\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• およびとなる2 つのランダム変数が存在します。${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$${\displaystyle Y=X-\delta +\epsilon }$${\displaystyle \delta \geq 0}$${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon |X-\delta ]=0}$

これらは、上記の一次確率優位性の同等の定義と類似しています。

• A がBに対して1 次確率的に優位であることは、AがBに対して2 次的に優位であることの十分条件です。
• B がAの平均保存的広がりである場合、A は2 次確率的にB を優位にします。

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$は、 AがB を2次確率的に支配するための必要条件です。
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$は、 AがBを 2 次支配するための必要条件です。この条件は、 の左裾がの左裾よりも厚くなければならないことを意味します。${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle F_{\rho }}$

とを2つの異なる投資の累積分布関数とする。が3次の場合に優位となるのは、 ${\displaystyle F_{\rho }}$${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$。

同様に、すべての に対してが 3 次で支配的である場合に限ります。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$${\displaystyle U\in D_{3}}$

このセットには同等の定義が 2 つあります。 ${\displaystyle D_{3}}$

• 非減少凹関数の集合で正に歪んでいる（つまり、全体を通して非負の3次導関数を持つ）。^[10]
• 非減少凹型効用関数の集合。任意の確率変数に対して、リスクプレミアム関数は単調非増加関数となる。^[11]${\displaystyle Z}$${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$${\displaystyle x}$

ここでは、問題の解決策として定義されています。詳細については、リスク プレミアムページを参照してください。 ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$$${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$

• 二次優位は十分な条件です。

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x))}$は必要条件です。この条件は、 の幾何平均が の幾何平均以上でなければならないことを意味します。${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$は必要条件です。この条件は、 の左裾がの左裾よりも太くなければならないことを意味します。${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle F_{\rho }}$

確率的優位性の高次の順序も分析されており、確率的優位性の順序と選好関数のクラスとの間の二重関係の一般化も行われている。^[12] おそらく最も強力な優位性の基準は、絶対的リスク回避が減少するという受け入れられた経済的仮定に依存している。^{[13] [14]} これにはいくつかの分析上の課題があり、それらに対処するための研究が進行中である。 ^[15]

正式には、n次の確率的優位性は次のように定義される^[16]

• 上の任意の確率分布に対して、関数を帰納的に定義します。${\displaystyle \rho }$${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots }$$

• 上の任意の2つの確率分布に対して、非厳密なn次確率優位性と厳密なn次確率優位性は次のように定義される。${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle [0,\infty )}$$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )}$$$${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu }$$

これらの関係は推移的であり、ますます包括的になっています。つまり、 の場合、すべての に対して となります。さらに、となる が存在しますが、 は存在しません。 ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$${\displaystyle k\geq n}$${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

n番目のモーメントを で定義すると、 ${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$

確率的優位関係は、数学的最適化の問題、特に確率的計画法の問題における制約条件として使用できます。^{[17] [18] [19]}集合内のランダム変数に対して実関数を最大化する問題では、固定ランダムベンチマーク が確率的に優位になることも要求される場合があります。これらの問題では、効用関数は、確率的優位制約に関連するラグランジュ乗数の役割を果たします。適切な条件下では、問題の解は、 （ は特定の効用関数）上で を最大化する問題の（おそらく局所的な）解でもあります 。1次確率的優位制約が採用されている場合、効用関数は非減少です。2次確率的優位制約が使用されている場合、効用関数は非減少で、2 次確率的優位制約が使用されている場合は、は非減少かつ凹です。線形方程式のシステムにより、任意のそのような効用関数に対して与えられた解が効率的かどうかをテストできます。^[20] 3次確率的優位制約は凸二次制約計画法（QCP）を用いて扱うことができる。^[21]${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle u(x)}$

• 現代ポートフォリオ理論
• 限界条件付き確率優位性
• 応答セット拡張- 選好関係のコンテキストにおける確率的優位性に相当します。
• 量子触媒
• 順序パレート効率
• 辞書的優位性