閉集合

数学の一分野である位相幾何学において、閉集合とは、その境界点をすべて含む集合のことである。閉区間はその一例である。${\displaystyle [a,b]}$これは、両方の点を含むため、実数直線上で閉じている。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$その境界の。点が境界上にあるとは、その点のすべての近傍が集合とその補集合の両方に接する場合をいう。^{[ 1 ]}したがって、集合は、その閉包、つまりすべての境界点をその集合に隣接させることによって得られる集合と等しい場合、閉じているという。

閉集合は位相空間の部分集合として定義されます。空間の位相は通常、その開集合によって記述され、開集合は空間の点の「近傍」として何が定義されるかを決定します。ある集合が開集合の補集合である場合、その集合は閉集合となります。距離空間では、集合が閉集合となるのは、その集合内の要素の収束列の極限がその集合内に収束する場合に限ります。したがって、閉集合とは、そのすべての極限点を含む集合です。収束列の極限は閉集合から外れることがないため、極限論証が用いられる多くの数学分野で重要となります。

閉集合は、閉曲線や閉多様体の概念とは異なります。これらも位相的な意味では閉じていますが、その用語は通常、関連する意味での境界が空であることを意味します。同様に、閉微分形式は集合ではなく、コバウンダリーがゼロである形式です。したがって、「閉じている」という用語は、ホモロジーやコホモロジーでは、異なるものの関連性のある意味で使用されます。

位相空間が与えられた場合${\displaystyle (X,\tau )}$以下の記述は同等である。

1. セット${\displaystyle A\subseteq X}$閉鎖中​${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A}$は、の開部分集合である。${\displaystyle (X,\tau )}$つまり、$\displaystyle A^{c}\in \tau 。$
3. ${\displaystyle A}$は、その閉包に等しい。${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle A}$すべての限界点を含みます。
5. ${\displaystyle A}$すべての境界点を含みます。

閉集合の別の特徴付けは、シーケンスとネットを介して行うことができる。部分集合${\displaystyle A}$位相空間の${\displaystyle X}$閉鎖中${\displaystyle X}$要素のネットのすべての極限が${\displaystyle A}$また、${\displaystyle A.}$可算空間（例えば距離空間）においては、すべてのネットではなく、収束列のみを考慮すれば十分である。この特徴付けの利点の一つは、位相空間よりも一般的な収束空間の文脈において定義として使用できることである。この特徴付けは周囲の空間にも依存することに注意されたい。${\displaystyle X,}$数列やネットが収束するかどうかは${\displaystyle X}$どのような点が存在するかによります${\displaystyle X.}$ ある点${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$部分集合に近いと言われている${\displaystyle A\subseteq X}$もし${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$（または同等に、${\displaystyle x}$閉鎖に属する${\displaystyle A}$位相部分空間において${\displaystyle A\cup \{x\},}$意味${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$どこ${\displaystyle A\cup \{x\}}$によって誘導される部分空間トポロジーが備わっている。${\displaystyle X}$^{[注1 ]}）。閉鎖により${\displaystyle A}$で${\displaystyle X}$したがって、はすべての点の集合である${\displaystyle X}$に近い${\displaystyle A,}$この用語を用いることで、閉集合を直感的に説明することができる。

部分集合が閉じているのは、その部分集合がそれに近いすべての点を含んでいる場合に限る。

正味収束の観点から、${\displaystyle x\in X}$部分集合に近い${\displaystyle A}$ネット(値)が存在する場合に限り${\displaystyle A}$収束して${\displaystyle x.}$ もし${\displaystyle X}$ある位相空間の位相部分空間である${\displaystyle Y,}$その場合${\displaystyle Y}$は位相的超空間と呼ばれる。${\displaystyle X,}$そうすれば、ある時点で${\displaystyle Y\setminus X}$それは近い${\displaystyle A}$（ただし、${\displaystyle X}$) サブセットの場合、${\displaystyle A\subseteq X}$閉鎖される予定${\displaystyle X}$しかし、周囲の「より大きな」超空間に閉じ込められることはない${\displaystyle Y.}$ もし${\displaystyle A\subseteq X}$そしてもし${\displaystyle Y}$は任意の位相的超空間である${\displaystyle X}$それから${\displaystyle A}$は常に（潜在的に適切な）部分集合である${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$これは、${\displaystyle A}$で${\displaystyle Y;}$実際、たとえ${\displaystyle A}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle X}$（これは、${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$）しかしながら、それでもなお${\displaystyle A}$真部分集合である${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$しかし、${\displaystyle A}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$ある（あるいは同等に、すべての）位相的超空間に対して${\displaystyle Y}$の${\displaystyle X.}$

閉集合は連続関数を特徴付けるためにも使用できます。${\displaystyle f:X\to Y}$連続であるのは、${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$すべての部分集合について${\displaystyle A\subseteq X}$これは直感的に次のように言い換えることができます。${\displaystyle f}$は、すべての部分集合に対して、${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f}$近くの地点を地図で表示します${\displaystyle A}$に近い地点へ${\displaystyle f(A).}$同様に、${\displaystyle f}$固定された特定の点で連続である${\displaystyle x\in X}$いつでも${\displaystyle x}$部分集合に近い${\displaystyle A\subseteq X,}$それから${\displaystyle f(x)}$に近い${\displaystyle f(A).}$

閉集合の概念は、上で開集合の観点から定義されています。この概念は、位相空間だけでなく、距離空間、微分多様体、一様空間、ゲージ空間など、位相構造を持つ他の空間にも当てはまります。

集合が閉じているかどうかは、それが埋め込まれている空間に依存します。しかし、コンパクトハウスドルフ空間は「絶対的に閉じている」という意味で、コンパクトハウスドルフ空間を埋め込むと、${\displaystyle D}$任意のハウスドルフ空間において${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle D}$常に閉じた部分集合になります${\displaystyle X}$; ここで「周囲の空間」は重要ではありません。ストーン・チェフのコンパクト化は、完全正則なハウスドルフ空間をコンパクトなハウスドルフ空間に変換するプロセスであり、特定の非収束ネットの境界をその空間に隣接させることとして説明できます。

さらに、コンパクト空間の閉部分集合はすべてコンパクトであり、ハウスドルフ空間のコンパクト部分空間はすべて閉集合である。

閉集合はコンパクト性の有用な特徴付けも提供する。位相空間${\displaystyle X}$はコンパクトであるのは、空でない閉部分集合のすべての集合が${\displaystyle X}$共通部分が空である集合は、共通部分が空である有限部分集合を許容する。

位相空間${\displaystyle X}$互いに素で空でない開部分集合が存在する場合、それは非連結である。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$の${\displaystyle X}$その組合は${\displaystyle X.}$さらに、${\displaystyle X}$閉集合からなる開基底を持つ場合、それは完全に不連結である。

閉集合は自身の境界を含みます。言い換えれば、閉集合の「外側」にいる場合、どの方向にもわずかに移動しても、依然として集合の外側にとどまります。これは、境界が空集合である場合にも当てはまります。たとえば、有理数の距離空間では、2乗が1未満である数の集合が空集合です。${\displaystyle 2.}$

• 任意の閉集合族の共通部分は閉集合である（これには無限個の閉集合の共通部分も含まれる）。
• 有限個の閉集合の和集合は閉集合である。
• 空集合は閉じている。
• 全セットが閉鎖されました。

実際、セットが与えられた場合${\displaystyle X}$空でないコレクション${\displaystyle \mathbb {F} }$サブセットの${\displaystyle X}$要素が${\displaystyle \mathbb {F} }$上記の特性を持つ場合、一意のトポロジーが存在する。$\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X}$閉部分集合が${\displaystyle (X,\tau )}$はまさに、${\displaystyle \mathbb {F} .}$ 交差の性質により、集合の閉包を定義することも可能になる。${\displaystyle A}$空間の中で${\displaystyle X,}$これは、最小の閉部分集合として定義されます。${\displaystyle X}$含む${\displaystyle A.}$ したがって、${\displaystyle A}$それは、それを含むすべての閉集合の共通部分である。

可算個の閉集合の和集合として構成できる集合は、 Fσ集合と呼ばれる。これらの集合は必ずしも閉集合である必要はない。ボレル階層は、ボレル_σ代数で形成されるより複雑な集合を分類するものであり、第1レベルの閉集合、第2レベルのFσ集合など_{が含まれる。}

完全集合とは、孤立点を持たない閉集合のことである。

• 閉区間${\displaystyle [a,b]}$実数の集合は閉じている。（括弧と丸括弧の表記法については、「区間（数学）」を参照のこと。）
• 単位間隔${\displaystyle [0,1]}$は実数の距離空間で閉じており、集合は${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$有理数​​${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$（含む）は有理数の空間で閉じているが、${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$実数においては閉じていない。
• 開区間でも閉区間でもない集合も存在する。例えば、半開区間などである。${\displaystyle [0,1)}$実際の数字で。
• 集合上の有限補集合位相において${\displaystyle X}$閉集合は、まさに以下の有限部分集合である。${\displaystyle X}$と共に${\displaystyle X}$自体。
• 集合上の離散トポロジーにおいて${\displaystyle X}$、すべてのサブセット${\displaystyle X}$閉店しました。

• 光線​${\displaystyle [1,+\infty )}$閉店しました。
• カントール集合は、その境界と等しい（境界点のみから構成される）ため、閉じた集合である。
• 単一点（したがって有限集合）は、T ₁空間およびハウスドルフ空間において閉じている。
• 整数の集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$は、実数における無限かつ非有界の閉集合である。
• もし${\displaystyle f:X\to Y}$位相空間間の関数である場合${\displaystyle f}$は、閉集合の逆像が${\displaystyle Y}$閉鎖中${\displaystyle X.}$
• 先行順序の各下位集合は、先行順序に関するアレクサンドロフ位相において閉じている。
• ハウスドルフ空間におけるコンパクト集合は常に閉じている。コンパクト性とは閉性の概念の特殊化であり、距離空間などの場合には、集合がそのすべての極限値を含むだけでなく、すべての数列がその集合内に極限値を持つ部分列を持つことを保証する。

閉集合は、極限操作によって保持される条件を記述するため、数学において非常に重要です。例えば、距離空間において、閉集合内の点列が周囲の空間で収束する場合、その極限は閉集合内に残ります。したがって、ある対象が望ましい性質を持つことは、既にその性質を持つ対象の極限として構成することで証明できる場合がよくあります。そのため、閉集合は、極限操作が頻繁に用いられる数学解析において遍在しています。

連続写像は、多くの応用において閉集合の1つの源泉となる。位相空間間の関数は、すべての閉集合の逆像が閉集合である場合に限り連続である。したがって、連続方程式の解集合は閉集合となる。${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$連続である場合、ゼロ集合 $${\displaystyle \{x\in X:f(x)=0\}=f^{-1}(\{0\})}$$は閉じている。より一般的には、連続等式によって定義される レベルセットと制約セットは閉じている。

実解析において、ユークリッド空間の集合は、閉集合かつ有界集合である場合に限りコンパクトである。これにより、集合がコンパクトであるかどうかを判定する作業は、比較的容易に判定できる2つの性質に分割される。多くの場合、閉集合の性質の方が判定が難しい。他の空間では、同様の記述は成り立たない。例えば、無限次元バナッハ空間における閉単位球は閉集合ではあるが、コンパクトではない。

集合が閉じているという性質は、最適化理論において不可欠である。極値定理はその基本的な例の一つであり、ユークリッド空間の閉じた有界な（すなわちコンパクトな）部分集合上の連続実数値関数は、どこかで最大値と最小値をとるという結論を導き出すことができる。

凸解析において、閉性は一般的にエピグラフによって表現される。凸関数は、そのエピグラフが閉集合である場合に閉関数と呼ばれる。この条件は下半連続性と密接に関連しており、凸最適化における存在定理や双対性定理において重要である。

代数幾何学では、閉集合は多項式方程式系を表現するために用いられます。アフィン空間上のザリスキ位相では、閉集合は代数集合、すなわち多項式の集合の共通零点集合に相当します。したがって、代数幾何学では、開集合よりも閉集合が研究の主要な対象となることが多いのです。

関数解析において、閉性は無限次元の極限過程を制御するために用いられる。ノルムベクトル空間の線形部分空間は必ずしも閉空間である必要はない。閉空間でない場合、その部分空間内の収束するベクトル列の極限は部分空間から外れる可能性がある。したがって、バナッハ空間およびヒルベルト空間の閉部分空間は特に重要である。同様に、閉グラフ定理は、バナッハ空間間の特定の線形作用素の連続性を、それらのグラフの閉性によって特徴づける。

位相群、すなわち互換性のある位相を持つ群の研究において、閉部分群は、より一般的な部分群にはない構造をより大きな群から継承するため、しばしば最も扱いやすい部分群となる。例としてリー群が挙げられる。リー群のすべての部分群は位相群であるが、部分空間位相の下でリー群である必要はない。正しい記述は、リー群の閉部分群はリー部分群であり、そのリー代数はより大きな群のリー代数の自然な部分空間である、ということである。さらに、位相群の部分群の剰余類の空間は、その部分群が閉部分群でない限りハウスドルフ空間ではなく、その逆もまた然りである。同様に、コンパクト群は解析において特別な役割を果たし、例えば、その連続ユニタリ表現は離散的な部分に分解される。コンパクト群の部分群は必ずしもコンパクトである必要はないが、閉部分群はコンパクトである。

完全に不連結な空間、特にストーン空間のような零次元空間では、開集合かつ閉集合が重要な役割を果たします。このような集合はクローペン集合と呼ばれます。これらは、カントール集合やp進解析で現れる空間など、多くの例の構成要素となります。代数的整数論では、アルキメデス的ではない局所体上の位相群がしばしば研究され、その中でコンパクト開部分群が重要な役割を果たします。これらは位相的に単位元の小さな近傍であり、代数的または算術的に有用な部分群となることが多いのです。

• クローペン集合– 開いている部分集合であり、かつ閉じている部分集合 
• クローズドマップ– オープン（またはクローズド）サブセットをオープン（またはクローズド）サブセットに送信する関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 閉領域– 位相空間の連結した開部分集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 開集合– 位相空間の基本部分集合 
• 近傍– 与えられた点を含む開集合 
• 領域（数学）– 位相空間の連結した開部分集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 通常の閉集合

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