メタベリア群

数学において、メタベル群とは、交換子部分群がアーベルである群のことである。同様に、群Gがメタベルであるためには、商群G/Aがアーベルとなるようなアーベル正規部分群Aが存在する必要がある。

メタベル群の部分群はメタベル群であり、群準同型上のメタベル群の像も同様である。

メタベル群は解ける。実際、メタベル群はまさに導来長が最大 2 の解ける群である。

• 任意の二面体群は、指数2の巡回正規部分群を持つため、メタベル群です。より一般的には、任意の一般化二面体群は、指数 2 のアーベル正規部分群を持つため、メタベル群です。
• Fが体の場合、 Fに作用するアフィン写像 群( a ≠ 0)はメタベル群です。ここで、アーベル正規部分群は純粋な平行移動の群であり、アーベル商群は相似群 と同型です。Fがq個の元を持つ有限体の場合、このメタベル群の位数はq ( q − 1 )です。${\displaystyle x\mapsto ax+b}$${\displaystyle x\mapsto x+b}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$
• ユークリッド平面の直接等長写像の群はメタベル群です。これは、要素が再びアフィン写像であるため、上記の例に似ています。平面の平行移動は、群のアーベル正規部分群を形成し、対応する商は円群です。
• 位数p ³の有限ハイゼンベルク群 H _{3, p}はメタベルク群である。環（可換環に要素を持つ上三角3 × 3 行列の群）上に定義された任意のハイゼンベルク群についても同様である。
• クラス 3 以下のすべてのべき零グループはメタベリアンです。
• ランプライターグループはメタベリアンです。
• 位数p ⁵の群はすべてメタベル群である（素数pに対して）。^[1]
• G=AB となるアーベル部分群AとBを持つすべての群Gはメタアーベルである。
• 24 未満の順序のグループはすべてメタベリアンです。

この最後の例とは対照的に、位数 24 の対称群 S ₄は、その交換子部分群が非アーベル交代群 A ₄であるため、メタアーベルではありません。

• ロビンソン、デレク・JS（1996）、群論講座、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94461-6

• Ryan Wisnesky、可解群（サブセクションMetabelian 群）
• Groupprops、グループプロパティ Wiki メタベル群