焦点部分群定理

抽象代数学において、焦点部分群定理は有限群のシロー部分群の要素の融合を記述する。焦点部分群定理は (Higman 1953) で導入され、(Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, p. 90) によれば「転移の最初の主要な応用」である。焦点部分群定理は、 (Grün 1936) でOtto Grünが説明した転移と融合の考え方に関連している。これらの考え方のさまざまな応用には、p冪零性の局所基準や、有限群が指数pの正規部分群を持つことを示すことに重点を置いたさまざまな非単純性基準が含まれる。

焦点部分群定理は、指数pのべき乗の正規部分群、転送準同型、および要素の融合など、 有限群論におけるいくつかの研究分野に関連しています。

指数がpのべき乗である次の 3 つの正規部分群は自然に定義され、商が (ある種の) p群である最小の正規部分群として生じる。形式的には、これらはp群の反射サブカテゴリへの反射の核である(それぞれ、基本アーベルp群、アーベルp群)。

• E ^p ( G )はすべての指数p の正規部分群の共通部分です。G / E ^p ( G ) は基本アーベル群であり、G が射影する最大の基本アーベルp群です。
• A ^p ( G ) (表記は (Isaacs 2008, 5D, p. 164) より) は、 G / Kがアーベルp群 (つまり、Kが導出群を含むインデックス正規部分群) となるようなすべての正規部分群Kの共通部分です。G / A ^p ( G ) は、 G が射影する最大のアーベルp群 (必ずしも基本群ではない)です。${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) は、G / Kが（非可換の場合もある）p群（つまり、Kが指数正規部分群）であるような、 Gのすべての正規部分群Kの共通部分である。G / O ^p ( G ) は、 G が射影する最大のp群（必ずしも可換ではない）である。O ^p ( G ) は、${\displaystyle p^{k}}$p残差サブグループ。

まず、これらはグループK に対するより弱い条件であるため、包含関係が得られます。これらはさらに次のように関連しています。 ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

A ^p ( G ) = O ^p ( G )[ G , G ]です。

O ^p ( G ) は、 q ≠ pであるGのすべての Sylow q部分群によって生成される部分群が、pとは異なるGの位数の素因数全体にわたる範囲であるため、次のような別の特徴付けができます。

O ^p ( G ) は下側のp系列を定義するために使用されるGの、 p コアで説明した上部のpシリーズと同様です。

転送準同型は、任意の群 Gから有限指数のサブグループH ≤ Gによって定義されるアーベル群H /[ H , H ] 、つまり [ G : H ] < ∞ に定義される準同型です。有限群Gからその Sylow pサブグループへの転送写像は、簡単に記述できる 核を持ちます。

有限群GからそのSylow p部分群Pへの転移準同型の核はA ^p ( G )を核として持つ(Isaacs 2008、定理5.20、p. 165)。

言い換えれば、アーベルp群への「明らかな」準同型は、実際には最も一般的な準同型です。

Gにおける部分群Hの融合パターンは、Hの元に関する同値関係であり、 Hの2 つの元h、kは、それらがG共役である場合、つまり、h = k ^gとなるようなG内のgが存在する場合に融合されます。 Gの通常構造は、その Sylow p部分群の融合パターンに影響を及ぼし、逆に、その Sylow p部分群の融合パターンは、 Gの通常構造に影響を及ぼします(Gorenstein、Lyons、Solomon 1996、p. 89)。

(Isaacs 2008, p. 165) にあるように、 Gに関するHの焦点部分群を次のように定義できます。

Foc _G ( H ) = ⟨ x ⁻¹ y | x、y はHに含まれ、x はyのG共役である⟩。

この焦点部分群は、 Hの要素がGで融合する程度を測定しますが、以前の定義では、グループGの特定のアーベルp群準同型像を測定していました。焦点部分群定理の内容は、焦点部分群のこれらの 2 つの定義が互換性があるということです。

(Gorenstein 1980, p. 246) は、GのPの焦点部分群が有限群 G のSylow p 部分群 P と Gの導来部分群[ G , G ]との積P ∩ [ G , G ]であることを示しています。焦点部分群は導来部分群の Sylow p部分群であるため重要です。次の結果も得られます。

Gの正規部分群K が存在し、 G / KはP / P ∩[ G , G ]と同型なアーベルp群である（ここでK はA ^p ( G )を表す）、

K がGの正規部分群でG / K がアーベル p 群である場合、 P ∩[ G , G ] ≤ K であり、G / KはP / P ∩ [ G , G ]の準同型像である( Gorenstein 1980、定理 7.3.1、p. 90)。

シローp部分群Pを持つ有限群Gの焦点部分群は次のように与えられる。

P ∩[ G , G ] = P ∩ A ^p ( G ) = P ∩ ker( v ) = Foc _G ( P ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , yがPに存在し、xがyとG共役である⟩

ここでvはGからP /[ P , P ]への転移準同型である（Isaacs 2008、定理5.21、p.165）。

^{この転移と融合の関係は、(Higman 1953) [1]}によるものとされており、そこでは異なる言葉で、焦点部分群定理が様々な一般化とともに証明されている。G / Kがアーベルであるという要件は削除されたため、Higman はO ^p ( G ) と冪零残差γ _∞ ( G ) を、いわゆるハイパーフォーカル部分群として研究した。Higman はまた、単一の素数pに制限せず、素数πの集合に対してπ群を許可し、フィリップ・ホールのホール部分群の定理を使用して、ホールπ部分群への転移に関する同様の結果を証明した。π = { p }とすると、ホールπ部分群はシローp部分群であり、Higman の結果は上記のとおりである。

ハイパーフォーカル部分群への関心は、特定の行儀の良いブロックのモジュラー表現理論を理解するための (Puig 2000) の研究によって再燃しました。 GのPのハイパーフォーカル部分群は、 P ∩γ _∞ ( G )、つまりGのべき零残余のSylow p部分群として定義できます。P が有限群Gの Sylow p部分群である場合、標準的な焦点部分群定理が得られます。

P ∩γ _∞ ( G ) = P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x、y はPに含まれ、y = x ^g（Gにpと互いに素なgがある場合）⟩

そして、地域的な特徴付け:

P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x、y はQ ≤ Pであり、y = x ^gであり、 gはN _G ( Q ) に存在し、 g はpと互いに素である⟩ 。

これは、焦点サブグループのローカルな特徴付けと次のように比較されます。

P ∩ A ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x、yはQ ≤ Pかつy = x ^g（gはN _G ( Q ) ⟩の範囲）です。

Puig は、この状況を融合システムへ一般化することに興味を持っています。融合システムとは、有限群に関するSylow p部分群の融合パターンのカテゴリカルモデルであり、モジュラー表現理論におけるpブロックの欠陥群の融合パターンもモデル化します。実際、融合システムは、同変ホモトピー理論として知られる代数位相幾何学の領域で、数多くの驚くべき応用とインスピレーションを見出しています。この領域の主要な代数定理のいくつかは、現時点では位相的な証明しかありません。

さまざまな数学者が、より小さな群から焦点部分群を計算する方法を提示してきました。たとえば、影響力のある研究 (Alperin 1967) では、融合の局所制御というアイデアを展開し、その応用例として次のことを示しています。

P  ∩  A ^p ( G ) は交換子部分群 [ Q , N _G ( Q )] によって生成される。ここでQ はPの部分群の 族Cにわたって変化する。

族Cの選択は多くの方法で行うことができ ( C は(Alperin 1967) で「弱い共役族」と呼ばれるものである)、いくつかの例が与えられている: C をPのすべての非恒等部分群とするか、またはN _P ( Q ) と N _{P ^g} ( Q ) が両方とも N _G ( Q ) のシローp部分群であるGのgに対する交差Q  =  P  ∩  P ^gのみというより小さな選択とすることができる。後者の選択は (Gorenstein 1980、定理 7.4.1、p. 251) でなされている。 (Grün 1936) の研究では転移と融合の側面も研究され、その結果Grün の最初の定理が得られた:

P∩Ap ( G )はP∩[N,N]およびP∩[Q  ,  Q  ]によって生成 されます 。^ここで N = ^NG ( P  )_であり、 QはGのSylowp部分群の集合Q = Pgにわたって分布します(Gorenstein 1980、定理7.4.2、p.252)。

(Rose 1978、pp. 254–264)、(Isaacs 2008、第 5 章)、(Hall 1959、第 14 章)、(Suzuki 1986、§5.2、pp. 138–165) の教科書的な説明にはすべて、融合、移動、およびp零零性と呼ばれるある種の分割に関連する焦点部分群定理のさまざまな応用が含まれています。

準二面体シロー 2 部分群を持つ有限単純群を分類するAlperin–Brauer–Gorenstein 定理の過程で、準二面体シロー 2 部分群を持つ 4 種類の群を区別することが必要になります。2 冪零群、焦点部分群が指数 2 の一般四元数群であるQ型群、焦点部分群が指数 2 の二面体群であるD型群、焦点部分群が準二面体群全体であるQD型群です。融合の点では、2 冪零群には 2 種類の反転と 2 種類の位数 4 の巡回部分群があります。Q型には 2 種類の反転と 1 種類の位数 4 の巡回部分群があります。 QD型には、反転と位数 4 の巡回部分群がそれぞれ 1 つのクラスずつあります。言い換えると、擬二面体シロー 2 部分群を持つ有限群は、焦点部分群に従って分類できます。または、それと同等に、融合パターンに従って分類できます。各融合パターンを持つ群の明示的なリストは、(Alperin、Brauer、Gorenstein 1970) に含まれています。

• アルペリン、JL（1967）、「シロー交差と融合」、代数ジャーナル、6（2）：222–241、doi：10.1016/0021-8693（67）90005-1、ISSN  0021-8693、MR  0215913
• Alperin, JL ; Brauer, R. ; Gorenstein, D. (1970)、「準二面体および輪状シロー 2 部分群を持つ有限群」、アメリカ数学会誌、151 (1)、アメリカ数学会: 1–261、doi :10.2307/1995627、ISSN  0002-9947、JSTOR  1995627、MR  0284499
• ゴレンスタイン、D.（1980）、有限群、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR  0569209
• ゴレンスタイン、D. ; リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン (1996)、有限単純群の分類。第 2 号。パート I。第 G 章、数学概説とモノグラフ、第 40 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-0390-5、MR  1358135
• オットー Grün (1936)、「Beiträge zur Gruppentheorie. I.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、174 : 1–14、ISSN  0075-4102、Zbl  0012.34102
• ホール、マーシャル・ジュニア（1959）、群論、ニューヨーク：マクミラン、MR  0103215
• ヒグマン、ドナルド G. (1953)、「有限群の焦点級数」、カナダ数学ジャーナル、5 : 477–497、doi : 10.4153/cjm-1953-055-5、ISSN  0008-414X、MR  0058597
• アイザックス、I.マーティン（2008）、有限群論、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4344-4
• Puig、Lluis (2000)、「ブロックの過焦点部分代数」、Inventiones Mathematicae、141 (2): 365–397、doi :10.1007/s002220000072、ISSN  0020-9910、MR  1775217、S2CID  122330778
• ローズ、ジョン・S.（1978）、群論講座、ニューヨーク：ドーバー出版（1994年出版）、ISBN 978-0-486-68194-8、MR  0498810
• 鈴木道夫(1986)、群理論。 II、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 248、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-10916-9、MR  0815926