子孫ツリー（群論）

数学、特に群論において、子孫ツリーは、固定された素数と変化する整数指数に対して、素数冪順序の有限群の同型類間の親子孫関係を視覚化する階層構造です。このような群は、簡単に有限p 群と呼ばれます。子孫ツリーの頂点は、有限p群の同型類です。 ${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 0}$

有限p群には、順序 に加えて、冪零性類とコクラスというさらに 2 つの関連する不変量があります。特定の種類の子孫ツリー、つまり、無限個の頂点が共通のコクラスを共有する、いわゆる刈り込まれたコクラス ツリーは、繰り返される有限パターンを示すことが判明しました。有限性と周期性というこの 2 つの重要な特性により、ツリーのすべてのメンバーを有限個のパラメーター化された表現によって特徴付けることができます。したがって、子孫ツリーは有限p群の分類において基本的な役割を果たします。アルティン転送準同型性のカーネルとターゲットによって、子孫ツリーに追加の構造を与えることができます。 ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r=nc}$${\displaystyle r}$

重要な問題は、ツリーのルートとして取られる割り当てられた開始グループに対して子孫ツリーを実際にどのように構築できるかということです。 pグループ生成アルゴリズムは、ツリーのルートの役割を果たす特定の有限pグループの子孫ツリーを構築するための再帰プロセスです。 このアルゴリズムは、計算代数システムGAPおよびMagmaに実装されています。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ ${\displaystyle R}$

^{MFニューマン[1]}によれば、有限p群の親 にはいくつかの異なる定義が存在する。共通の原理は、適切な正規部分群での商を形成することである。 ${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$

ポ

1. の中心であり 、したがって はの中心商と呼ばれる。${\displaystyle N=\ゼータ _{1}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi (G)=G/\zeta _{1}(G)}$${\displaystyle G}$
2. の下中心級数の最後の非自明な項、ここで はの冪零類を表す、または${\displaystyle N=\gamma _{c}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$
3. の下指数p中心級数の最後の非自明な項。ここで はの指数pクラスを表す。または${\displaystyle N=P_{c-1}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$
4. の導出級数の最後の非自明な項。ここで はの導出長さを表します。${\displaystyle N=G^{(d-1)}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$

いずれの場合も、はの直接の子孫と呼ばれ、木の有向辺は商への標準射影の方向では によって定義されるか、逆方向ではによって定義されます。後者は子孫木ではより一般的です。前者の慣例は、CR Leedham-Green と MF Newman、 ^[2] M. du Sautoy と D. Segal、^[3] CR Leedham-Green と S. McKay、^[4] B. Eick、CR Leedham-Green、MF Newman と EA O'Brien ^[5]によって採用されています。後者の定義は、MF Newman、^[1] MF Newman と EA O'Brien、^[6] M. du Sautoy、^{[7] B. Eick と CR Leedham-Green [8]}によって使用されています。${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle G\to \pi (G)}$ ${\displaystyle \pi :G\to \pi (G)}$${\displaystyle \pi (G)=G/N}$${\displaystyle \pi (G)\to G}$

以下では、すべての辺に対して正準投影の方向が選択されます。より一般的には、頂点 は頂点 の子孫であり、がに等しいかパスが存在する場合、は の祖先です。${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle (1)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$、 と、${\displaystyle m\geq 1}$

からへの有向辺。パスを形成する頂点は、の反復親と必ず一致します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{j}=\pi^{j}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 0\leq j\leq m}$

${\displaystyle (2)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$、 と、${\displaystyle m\geq 1}$

最後の非自明な下中心商として定義される親の最も重要な特殊なケース (P2) では、 のべき零クラスが によって与えられるとき、のクラスの連続した商 として見ることもできます。 ${\displaystyle R/\gamma _{c+1-j}(R)}$ ${\displaystyle cj}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle c\geq m}$

${\displaystyle (3)\qquad R\simeq R/\gamma _{c+1}(R)\to R/\gamma _{c}(R)\to \cdots \to R/\gamma _{c+2-m}(R)\to R/\gamma _{c+1-m}(R)\simeq P}$、 と。${\displaystyle c\geq m\geq 1}$

一般に、頂点の子孫木は、 ルートから始まる のすべての子孫の部分木です。自明群の可能な最大の子孫木には、すべての有限p群が含まれ、任意の親定義 (P1–P4) に対して、自明群にはその直接の子孫として無限個のアーベルp群があるため、いくぶん例外的です。親定義 (P2–P3) には、任意の非自明な有限p群 ( で割り切れる位数) が有限個の直接の子孫のみを持つ という利点があります。${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$

子孫木の特定の例としてのコクラス木を正しく理解するには、無限位相的 プロパp群に関するいくつかの事実をまとめる必要があります。プロパp群の下中心系列の要素、 は、 有限インデックスの閉じた (および開いた) 部分群であり、したがって対応する商は有限p群です。プロパp群は、連続する商のコクラスの 極限が存在し、有限である場合に、コクラスであると言われます。コクラスの無限プロパp群は、 p進前空間群です 。^[5] これは、正規部分群、つまり、一意に決定されるランク、次元 のp進整数の環上の自由モジュールである変換群 を持つため、商は有限p群、つまり点群であり、これは に一列に作用します。次元は次のように与えられます 。${\displaystyle \gamma _{j}(S)}$${\displaystyle j\geq 1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {cc} (S)=r}$${\displaystyle r=\lim _{j\to \infty }\,\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle P=S/T}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle (4)\qquad d=(p-1)p^{s}}$、いくつかあります。 ${\displaystyle 0\leq s<r}$

共クラスの無限 prop- p群に関する中心的な有限性の結果は、いわゆる定理 Dによって与えられます。これは、 1994 年に A. Shalev ^[9] と CR Leedham-Green ^[10]によって独立に証明され 、1980 年に CR Leedham-Green と MF Newman ^{[2]によって既に}予想されていた5 つの共クラス定理の 1 つです。定理 D は、任意の固定された素数と任意の固定された非負整数 に対して、共クラスの無限 prop- p群 の同型類は有限個しか存在しないことを主張しています。結果として、 が共クラスの無限 prop- p群である場合、任意の整数 に対して次の 3 つの条件が満たされる最小の整数 が存在し ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle j\geq i}$

S

1. ${\displaystyle \mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))=r}$、
2. ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$は、に同型でない共クラスの任意の無限 prop- p群の下中心商ではない。${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \gamma _{j}/\gamma _{j+1}(S)}$は順序 の巡回です。${\displaystyle p}$

親定義（P2）に関して、最小のルートの子孫ツリーは、の共クラスツリーと呼ばれ 、その唯一の最大無限（逆方向）パス ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$${\displaystyle R=S/\gamma _{i}(S)}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle (5)\qquad R=S/\gamma _{i}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+1}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+2}(S)\leftarrow \cdots }$

木の 幹（または幹）と呼ばれます。

子孫ツリーの有限部分を視覚化する図で使用されるさらなる用語は、図 1 で人工的な抽象ツリーを使用して説明されています。左側のレベルは、子孫ツリーの基本的なトップダウン設計を示しています。図 2 や図 3 などの具体的なツリーの場合、レベルは通常、上から下に向かって増加する順序のスケールに置き換えられます。頂点は、少なくとも 1 つの直接の子孫がある場合に可能(または拡張可能) であり、そうでない場合は終端(またはリーフ) です。共通の親を共有する頂点は、兄弟と呼ばれます。

子孫木がルートを持ち 、主線頂点がレベルに従ってラベル付けされた共クラス木である場合、差分集合として定義される有限部分木 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$${\displaystyle R=R_{0}}$${\displaystyle (R_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (6)\qquad {\mathcal {B}}(n)={\mathcal {T}}(R_{n})\setminus {\mathcal {T}}(R_{n+1})}$

は、ツリーのn番目のブランチ（または小枝）または任意の に対してルート を持つブランチ とも呼ばれます。ブランチの深さは、その頂点とルートを接続するパスの最大長です。図 1 は、ブランチとが両方とも深さ を持ち、ブランチとがグラフとして対同型である人工的な抽象コクラス ツリーを示しています。深さが指定された整数よりも大きいすべての頂点をブランチから削除すると、深さが剪定されたブランチが得られます。これに対応して、深さが剪定されたコクラス ツリー、またはコクラス ツリー全体は、それぞれ、メインラインによって接続された剪定されたブランチ、またはブランチの無限シーケンスで構成され、その頂点は無限に可能と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(R_{n})}$ ${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(5)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)\simeq {\mathcal {B}}(8)}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(n)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{k}(n)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(R)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{k}(n))_{n\geq 0}}$${\displaystyle ({\mathcal {B}}(n))_{n\geq 0}}$${\displaystyle R_{n}}$

深さ刈り込みコクラス木の枝の周期性は、 M. du Sautoyによる群のゼータ関数 ^{[3]を用いた}解析的手法、 ^[7] およびB. EickとCR Leedham-Greenによるコホモロジー群を用いた代数的手法によって証明されている^{[8] 。前者の方法は}究極の仮想周期性 の質的洞察を可能にし、後者の手法は量的構造を決定する。

定理。コクラスと次元の任意の 無限プロポp群と任意の深さに対して、コクラスツリーの枝刈り長さの周期性が始まる有効な最小下限値が存在する。つまり、グラフ同型が存在する。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle f(k)\geq 1}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$

${\displaystyle (7)\qquad {\mathcal {B}}_{k}(n+d)\simeq {\mathcal {B}}_{k}(n)}$すべてに対して。 ${\displaystyle n\geq f(k)}$

証拠については、右側の 「表示」をクリックしてください。

これらの中心的な結果は、次のように直接表現できます。一対のブリンカーを通してコクラスツリーを見て、上部の有限数の周期前枝を無視すると、繰り返される有限パターン (究極の周期性) が見られます。ただし、より広いブリンカーを使用すると、周期前初期セクションが長くなる可能性があります (仮想周期性)。

頂点は、深さの固定値に対して、剪定されたコクラスツリーの周期根と呼ばれます。図 1 を参照してください。 ${\displaystyle P=R_{f(k)}}$${\displaystyle k}$

有限p群の親が最後の非自明な下中心商 (P2) として定義されていると仮定します。コクラス のp群については、その (全体の) 子孫ツリー と、コクラス-子孫ツリー、つまりコクラスの子孫のみからなるサブツリーを区別できます。の場合、つまりより大きいコクラスを持つの子孫がない場合、グループはコクラスが解決されていると呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=r}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{r}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$

MFニューマン ^[11] とEAオブライエン ^{[12]による}p群生成アルゴリズム の理論におけるの核ランクは 次の基準を与えている。 ${\displaystyle \nu (G)}$${\displaystyle G}$

いいえ

1. ${\displaystyle G}$は終端であり、したがって自明に共クラス解決されるためには、 が必要です。${\displaystyle \nu (G)=0}$
2. の場合、 は可能ですが、が共クラス解決されているかどうかは不明のままです。${\displaystyle \nu (G)=1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$
3. の場合、 は可能であり、確実に共クラス解決されません。${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$${\displaystyle G}$

最後のケースでは、より正確な主張が可能である。 がコクラスと核ランク を持つ場合、に対して、コクラスr の正規子孫ツリー とコクラス の不規則子孫グラフ へのm倍の分岐が生じる。したがって、 の子孫ツリーは、互いに素な和集合である。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$${\displaystyle r+j}$${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (8)\qquad {\mathcal {T}}(G)={\dot {\cup }}_{j=0}^{m-1}\,{\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$。

多重分岐は、直系の子孫 の最後の非自明な下中心の異なる次数と相関しています。冪零性類は親から任意の直系の子孫 まで正確に単位 だけ増加するため、最後の非自明な下中心が 次数 の巡回である場合、コクラスは安定 のままです。これは、その場合、次数の指数も正確に単位 だけ増加するためです。この場合、 は通常どおり、ステップ サイズの有向辺を持つ正規の直系の子孫です。ただし、の場合、コクラスは だけ増加します。この場合、 は、ステップ サイズの有向辺を持つ不規則な直系の子孫と呼ばれます。 ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (Q)=\mathrm {cl} (P)+1}$${\displaystyle P=Q/\gamma _{c}(Q)=\pi (Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle r=\mathrm {cc} (Q)=\mathrm {cc} (P)}$${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p}$${\displaystyle \vert Q\vert =p\cdot \vert P\vert }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p^{m}}$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle m}$

ステップサイズ の条件がすべての有向辺に課される場合、自明群の最大子孫木は 可算無限の互いに素な和集合に分割される。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {T}}(1)={\dot {\cup }}_{r=0}^{\infty }\,{\mathcal {G}}(p,r)}$

有向コクラスグラフは木というよりは 森である。より正確には、上記のコクラス定理は、 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$

${\displaystyle (10)\qquad {\mathcal {G}}(p,r)=\left({\dot {\cup }}_{i}\,{\mathcal {T}}(S_{i})\right){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

は、コクラスのペアワイズ非同型無限prop -p群の有限個のコクラスツリーと、任意のコクラスツリーの外側にある 散在群の有限部分グラフの非結合和です 。${\displaystyle {\mathcal {T}}(S_{i})}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

SmallGroupsライブラリの有限群、特に有限p群の識別子は、次の形式で与えられます 。

${\displaystyle \langle \ {\text{order}},\ {\text{counting number}}\ \rangle }$

以下の子孫ツリーの具体的な例は、HU Besche、B. Eick、EA O'Brienによるものです。^{[13] [14]} 図2や図3のように、グループの順序が左側のスケールで示されている場合、識別子は簡単に次のように示されます。

${\displaystyle \langle \ {\text{counting number}}\ \rangle }$。

素数 に依存して、SmallGroup 識別子が存在するグループの位数には上限があります。例えば、の場合は、 の場合はです。より大きな位数のグループでは、子孫構造に似た一般化された識別子による表記法が採用されます。ステップサイズの辺で親 と接続された通常の直接子孫は、次のように表されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle 512=2^{9}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle 6561=3^{8}}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#1;{\text{counting number}}}$、

そして、ステップサイズの辺で親と接続された不規則な直下の子孫は、 ${\displaystyle s\geq 2}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#s;{\text{counting number}}}$。

計算代数システムGAPとMagmaにおけるp群生成アルゴリズムの実装では 、1979年にJA Ascioneが提唱した一般化された識別子が使用されています。^[15]

すべての例において、基礎となる親定義 (P2) は通常の下側中心系列に対応しています。下側指数p中心系列に関して、親定義 (P3) との相違が時々指摘されています。

コクラスグラフ

${\displaystyle (11)\qquad {\mathcal {G}}(p,0)={\mathcal {G}}_{0}(p,0)}$

共クラスの有限p群は共クラス木を含まず、したがって散在群、すなわち自明群と、葉である順序 の巡回群のみで構成されます (ただし、下指数p の中心級数に関しては可能です)。のSmallGroup識別子の場合、はです。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle \langle 3,1\rangle }$

コクラスグラフ

${\displaystyle (12)\qquad {\mathcal {G}}(p,1)={\mathcal {T}}^{1}(R){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$

共クラス の有限p群は、極大クラスとも呼ばれ、根 を持つ一意の共クラス木、階数 の基本アーベルp群、および単一の孤立した頂点(自明群への有向辺のステップ サイズが である ため、同じ共クラス グラフ内に適切な親を持たない末端の孤児)、散在部における順序 の巡回群(ただし、この群は下指数p中心級数 に関しては可能です) で構成されます。木は、共クラス の一意の無限 pro-p 群の共クラス木です。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)}$${\displaystyle R=C_{p}\times C_{p}}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C_{p^{2}}}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)={\mathcal {T}}^{1}(S_{1})}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle 1}$

、それぞれの場合、ルートの SmallGroup 識別子は、それぞれであり、枝から枝へと下る共クラス グラフのツリー図(枝ルートの位数のp対数 に対してカウント) がそれぞれ図 2、図 3 に描かれています。ここで、位数が少なくとも のすべてのグループはメタベル、つまり導出長さを持つ非アーベルです( 頂点は、アーベル グループを示す等高線四角形とは対照的に、黒い円で表されます)。図 3 で、より小さな黒い円は、最大サブグループでさえ非アーベルであるメタベル 3 群を表します。この特徴は、図 2 のメタベル 2 群には発生しません。なぜなら、それらはすべてインデックス (通常、ちょうど 1 つ) のアーベル サブグループを持っているからです。 、それぞれの共クラス ツリーには、枝 で始まる周期根と長さの周期性があり、枝 で始まる周期根と長さの周期性があります。どちらのツリーも深さが制限された枝を持っているため、その仮想周期性は実際には厳密な周期性です。 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \langle 4,2\rangle }$${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$${\displaystyle p^{3}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(3)}$${\displaystyle \langle 81,9\rangle }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$${\displaystyle 1}$

しかし、の共クラス木は無限の深さを持ち、非メタベル群を含み、の共クラス木はさらに無限の幅を持ちます。つまり、固定された順序の子孫の数は、成長順序とともに無限に増加します。^[16]${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle p\geq 5}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle p\geq 7}$

カーネルとアルティン転送のターゲットの助けを借りて、図 2 と図 3 の図に追加情報を付与し、構造化された子孫ツリーとして再描画することができます。

コクラスグラフの具体的な例とにより、リードセクションで子孫ツリーの概念の利点と コクラスツリー全体の周期性の結果として言及された完全なコクラスツリー、に対するパラメーター化された多環式冪コミュテータ表示^[17]を行う機会が提供されます。どちらの場合も、グループは2 つの要素によって生成されますが、表示にはメインコミュテータ、 から始まる 一連の高次のコミュテータ、が含まれます。グループの順序が のとき、冪零性は関係 によって正式に表現されます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)\subset {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle p\in \lbrace 2,3\rbrace }$${\displaystyle G\in {\mathcal {T}}^{1}(R)}$${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack }$${\displaystyle 3\leq j\leq n-1=\mathrm {cl} (G)}$ ${\displaystyle s_{2}=\lbrack y,x\rbrack }$${\displaystyle s_{n}=1}$${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$

の場合、2つのパラメータがあり、PC表現は次のように与えられる。 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle 0\leq w,z\leq 1}$

（13） ${\displaystyle {\begin{aligned}G^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{2}=s_{n-1}^{w},\ y^{2}=s_{2}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack s_{2},y\rbrack =1,\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

最大類の2群、つまり共類は、3つの周期的な無限列を形成する。 ${\displaystyle 1}$

• 二面体群、、は主線を形成する（頂点の数は無限である）、${\displaystyle D(2^{n})=G^{n}(0,0)}$${\displaystyle n\geq 3}$
• 一般化された四元数群、、、これらはすべて終端頂点であり、${\displaystyle Q(2^{n})=G^{n}(0,1)}$${\displaystyle n\geq 3}$
• 半二面体群、、、これらも葉群です。${\displaystyle S(2^{n})=G^{n}(1,0)}$${\displaystyle n\geq 4}$

については、3つのパラメータとがあり、PC表現は次のように与えられる。 ${\displaystyle p=3}$${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$${\displaystyle -1\leq w,z\leq 1}$

（14） ${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{3}=s_{n-1}^{w},\ y^{3}=s_{2}^{-3}s_{3}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack y,s_{2}\rbrack =s_{n-1}^{a},\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

パラメータを持つ 3 群はアーベル極大部分群を持ちますが、パラメータを持つ 3 群は持ちません。より正確には、存在するアーベル極大部分群は、4 つの極大部分群すべてがアーベルである 2 つの特別な群と を除いて、一意です。 ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,1)}$

より大きなコクラスとは対照的に、コクラスグラフには、唯一の孤立頂点を除いて、型のアーベル化を持つp群のみが含まれます。このケースは、逆の命題が真であることによって区別されます。型のアーベル化を持つ任意の2群はコクラスです（O.タウスキーの定理 ^[18]）。 ${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G^{\prime }}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle C_{p^{2}}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle (2,2)}$${\displaystyle 1}$

の共クラス グラフの起源は一様ではありません。 いくつかの異なるアーベル化を持つp群がその構成に寄与しています。共クラス の場合、 、、 のタイプの アーベル化を持つ 群からの本質的な寄与と、の順序の巡回群による孤立した寄与があります。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle r=2}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G^{\prime }}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle (p^{2},p)}$${\displaystyle (p,p,p)}$${\displaystyle C_{p^{3}}}$${\displaystyle p^{3}}$

${\displaystyle (15)\qquad {\mathcal {G}}(p,2)={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{2},p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{3})}(p,2)}$。

型またはのアーベル化を持つコクラスのp群は、同じ型の アーベルp群の正規の子孫として発生しますが、型のアーベル化を持つコクラスのp群は、コクラスが解決されていないコクラス の非アーベルp群の不規則な子孫から発生します。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle (p^{2},p)}$${\displaystyle (p,p,p)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle 1}$

素数 の場合、2 群は共類定理であるため、そのような群はまったく存在しません。これがタウスキーの定理のより深い理由です。この注目すべき事実は、1898 年にジュゼッペ・バニェラ^[19]によって すでに 観察されていました。${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$

奇数の素数 の場合、型のアーベル化を持つコクラスのp群が存在するのは、群がコクラスに定着していない ためです。その核ランクは に等しく、これにより子孫ツリーが2 つのコクラス グラフに分岐します。正規コンポーネントは、コクラス グラフ 内の 一意のツリーのサブツリーです。不規則コンポーネントは、の不規則な直接子孫の ステップ サイズの接続エッジが削除される と、コクラス グラフの サブグラフになります。${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G_{0}^{3}(0,0))}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(G_{0}^{3}(0,0))}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(C_{p}\times C_{p})}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G_{0}^{3}(0,0))}$${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$

の場合、この部分グラフは図4に描かれており、これは型 の共クラスとを持つ有限3群間のインターフェイスを示しています。 には、3つの重要な種類の7つのトップレベル頂点があり、すべて順序 を持ち、G. Bagnera によって発見されました。^[19]${\displaystyle p=3}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (3,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle 243=3^{5}}$

• まず、コクラスグラフの散在部分には、 2つの終端シューアσ群 とが存在します。${\displaystyle \langle 243,5\rangle }$${\displaystyle \langle 243,7\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$
• 第二に、2つのグループとが散在部分における有限木の根である。しかし、それらは共類定着していないので、完全な木は無限である。${\displaystyle G=\langle 243,4\rangle }$${\displaystyle G=\langle 243,9\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$
• 最後に、3 つのグループ、およびは、コクラス グラフ において、それぞれがメタベル主線を持つ(無限の) コクラス ツリー ( 、、)を生成します。これら 3 つのグループのいずれもコクラスが定住していません。${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$