対応定理

群論では、対応定理^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}（格子定理[ ^{9 ]}、および様々な曖昧な第3および第4同型定理^{[ 6 ] [ 10 ]も含む）は、}もし${\displaystyle N}$は、ある群の正規部分群である。${\displaystyle G}$すると、すべての部分群の集合から全単射が存在する。${\displaystyle A}$の${\displaystyle G}$含む${\displaystyle N}$商群のすべての部分群の集合へ${\displaystyle G/N}$大まかに言えば、サブグループの構造は${\displaystyle G/N}$は、サブグループの構造とまったく同じです。${\displaystyle G}$含む${\displaystyle N}$、 と${\displaystyle N}$同一要素に縮退した。

具体的には、

${\displaystyle G}$グループです、

${\displaystyle N\triangleleft G}$通常のサブグループ${\displaystyle G}$、

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{A\mid N\subseteq A\leq G\}}$すべてのサブグループの集合${\displaystyle A}$の${\displaystyle G}$含まれる${\displaystyle N}$、 そして

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{S\mid S\leq G/N\}}$、 のすべての部分群の集合${\displaystyle G/N}$、

すると全単射写像が存在する${\displaystyle \phi$ :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}} で、

${\displaystyle \phi (A)=A/N}$すべての人々のために${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}$

さらに、もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は${\displaystyle {\mathcal {G}}}$それから

• ${\displaystyle A\subseteq B}$かつその場合に限り${\displaystyle A/N\subseteq B/N}$;
• もし${\displaystyle A\subseteq B}$それから${\displaystyle |B:A|=|B/N:A/N|}$、 どこ${\displaystyle |B:A|}$は​​${\displaystyle A}$で${\displaystyle B}$（剰余類の数）${\displaystyle bA}$の${\displaystyle A}$で${\displaystyle B}$);
• ${\displaystyle \langle A,B\rangle /N=\left\langle A/N,B/N\right\rangle ,}$どこ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$は、${\displaystyle G}$によって 生成されました${\displaystyle A\cup B;}$
• ${\displaystyle (A\cap B)/N=A/N\cap B/N}$、 そして
• ${\displaystyle A}$は、${\displaystyle G}$かつその場合に限り${\displaystyle A/N}$は、${\displaystyle G/N}$。

このリストは網羅的なものではありません。実際、部分群のほとんどの性質は、商群の部分群への全単射による像においても保持されます。

より一般的には、単調ガロア関係がある${\displaystyle (f^{*},f_{*})}$部分群の格子の間で${\displaystyle G}$（必ずしも含むとは限らない）${\displaystyle N}$）と部分群の格子${\displaystyle G/N}$部分群の下側随伴群${\displaystyle H}$の${\displaystyle G}$は${\displaystyle f^{*}(H)=HN/N}$部分群の上随伴${\displaystyle K/N}$の${\displaystyle G/N}$は、${\displaystyle f_{*}(K/N)=K}$部分群に対する関連閉包演算子${\displaystyle G}$は${\displaystyle {\bar {H}}=HN}$;サブグループ上の関連カーネル演算子${\displaystyle G/N}$は恒等式です。対応定理の証明はここにあります。

環、加群、ベクトル空間、代数についても同様の結果が得られる。より一般的には、正規部分群ではなく合同関係に関する類似の結果が、任意の代数構造について成り立つ。

• モジュラー格子