軌道方程式

天体力学において、軌道方程式は軌道を周回する物体の経路を定義する。${\displaystyle m_{2}\,\!}$中心体の周囲${\displaystyle m_{1}\,\!}$相対的に${\displaystyle m_{1}\,\!}$位置を時間の関数として指定せずに。標準的な仮定の下では、中心物体に向けられた、距離の二乗に反比例する大きさの力（重力など）の影響下で運動する物体は、中心物体が2 つの焦点のいずれか、または焦点に位置する円錐曲線（つまり、円軌道、楕円軌道、放物線軌道、双曲線軌道、または放射状軌道）の軌道を描きます（ケプラーの第一法則）。

円錐曲線が中心物体と交差する場合、実際の軌道は表面より上の部分のみになりますが、その部分については、自由落下（無重力状態）である限り、軌道方程式や多くの関連する公式が依然として適用されます。

質量Mの中心物体と、それよりもはるかに小さい軌道上の物体からなる2 体システムを考える。${\displaystyle m}$2 つの物体が中心の逆二乗法則の力 (重力など) を介して相互作用すると仮定します。極座標では、軌道方程式は次のように書くことができます^{[ 1 ]}$${\displaystyle r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}}$$ どこ

• ${\displaystyle r}$は2つの物体間の分離距離であり、
• ${\displaystyle \theta }$角度は${\displaystyle \mathbf {r} }$近点軸（真近点角とも呼ばれる）と結びつく。
• パラメータ${\displaystyle \ell }$は中心天体を中心とした軌道天体の角運動量であり、 に等しい。${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }}}$または、質量に2つの物体の相対位置ベクトルと相対速度ベクトルの外積の大きさを掛けたもの。^{[注1 ]}
• パラメータ${\displaystyle \mu }$は定数で、${\displaystyle \mu /r^{2}}$小さい物体の加速度に等しい（重力の場合、${\displaystyle \mu }$は標準重力パラメータです。${\displaystyle -GM}$）。特定の軌道の場合、大きいほど${\displaystyle \mu }$軌道上の天体がその中を移動する速度が速ければ速いほど、引力が4倍強ければ速度は2倍になる。
• パラメータ${\displaystyle e}$は軌道の離心率であり、 ^{[ 1 ]で与えられます。}

  ${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}}$

  どこ${\displaystyle E}$は軌道のエネルギーです。

上記の関係は${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \theta }$円錐曲線を表す。^{[ 1 ]}値は${\displaystyle e}$軌道がどのような円錐曲線になるかを制御します。

• いつ${\displaystyle e<1}$軌道は楕円形です（円は楕円で${\displaystyle e=0}$);
• いつ${\displaystyle e=1}$軌道は放物線状である。
• いつ${\displaystyle e>1}$軌道は双曲型である。

最小値${\displaystyle r}$方程式では次のようになります。 $$\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}}$$ 一方、もし${\displaystyle e<1}$最大値は次のとおりです。 $$\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$

最大値が中心体の半径より小さい場合、円錐曲線は中心体の内側に完全に含まれる楕円となり、そのどの部分も軌道として存在し得ません。最大値が半径より大きいが最小値が半径より小さい場合、軌道の一部が存在可能です。

• エネルギーが非負の場合（放物線軌道または双曲線軌道）：運動は中心天体から離れるか、中心天体に向かうかのいずれかです。
• エネルギーが負の場合:運動はまず中心体から離れる方向に起こり、$$\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$$その後、オブジェクトは元の状態に戻ります。

もし${\displaystyle r}$軌道上の物体が大気圏に突入するような状況になると、大気圏再突入の場合のように、標準的な仮定はもはや適用されなくなります。

中心天体が地球であり、エネルギーが地球表面における位置エネルギーよりわずかに大きい場合、軌道は離心率が1に近い楕円形となり、楕円の一端は地球の中心のすぐ外側、もう一端は地表のすぐ上に位置する。楕円のごく一部のみが適用可能である。

水平速度が${\displaystyle v\,\!}$すると、周角距離は${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$地球表面のエネルギーは、楕円軌道のエネルギーに相当し、${\displaystyle a=R/2\,\!}$（と${\displaystyle R\,\!}$地球の半径）は、地表の真下にある楕円形であるため、実際には存在し得ません。${\displaystyle a}$レートで${\displaystyle 2g\,\!}$軌道面からの最大高度は楕円の長さから${\displaystyle R\,\!}$地球の中心より「下」の部分を除いた、したがって増加の2倍${\displaystyle a\,\!}$近点距離を引いた値。頂上での位置エネルギーは${\displaystyle g}$この高さの倍数で、運動エネルギーは${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$これは、先ほど述べたエネルギー増加に加算されます。楕円の幅は19分×${\displaystyle v\,\!}$。

表面より上の楕円の部分は、重力が一定であると仮定したモデルで得られる放物線の一部で近似できる。これは、速度が脱出速度である天体力学の意味での放物線軌道とは区別されるべきである。

軌跡も参照してください。

地球表面付近のある一点で水平になる軌道を考えてみましょう。この点での速度が増加するにつれて、軌道は次のように変化します。

• 地球の中心を遠方の焦点とする、長軸が垂直な楕円の一部（石投げ、準軌道宇宙飛行、弾道ミサイルなど）
• 地球表面のすぐ上の円軌道（低軌道）
• 地球の中心を近焦点とする、長軸が垂直な楕円
• 放物線
• 双曲線

上記のシーケンスでは、${\displaystyle h}$、${\displaystyle \epsilon }$そして${\displaystyle a}$単調に増加するが、${\displaystyle e}$まず1から0に減少し、次に0から無限大に増加します。反転は、地球の中心が遠焦点から近焦点に変わるときです（もう一方の焦点は地表近くから始まり、地球の中心を通過します）。

${\displaystyle e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|}$

これを、別の高さで水平な軌道、および外挿が地球表面下で水平になる軌道に拡張すると、放射状軌道を除くすべての軌道の分類が得られます。ちなみに、放射状軌道には軌道方程式は適用できません。この分類では楕円が2回考慮されるため、両方の辺が地表より上にある楕円の場合は、低い方の辺を基準面として選択し、片方の辺だけが地表より上にある楕円の場合は、その辺を選択します。

• ケプラーの第一法則
• 円軌道
• 楕円軌道
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• 双曲線軌道
• ツィオルコフスキーのロケット方程式
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