ジオポテンシャル球面調和関数モデル

地球物理学および物理測地学において、ジオポテンシャル モデルは、地球の重力場(ジオポテンシャル)の効果を測定および計算する理論的分析です。地球は厳密には球形ではありません。これは主に、極軸の周りを回転しているため、わずかに扁平な形状になっているためです。ただし、球面調和 関数の級数展開により、実際の場をより忠実に再現できます。

地球の形状と正確な質量密度 ρ = ρ( x , y , z ) が完全にわかっていれば、それを数値的に積分して(逆距離カーネルと組み合わせると)、地球の重力場の正確なモデルを見つけることができます。しかし、実際には状況はその逆です。宇宙船と月の軌道を観測することで、地球の重力場をかなり正確に決定できます。地球の質量の最良推定値は、宇宙船の軌道の解析から決定された積GM を、他の物理的方法を使用して相対精度は低くなりますが決定された重力定数 Gの値で割ることによって得られます。

定義式（１）と（２）から、積分関数の偏微分をとると、物体の外側の空の空間では、物体によって引き起こされる場に対して次の微分方程式が有効であることが明らかである。

（r ,θ,φ）が偏微分方程式（6）（ラプラス方程式）を満たす球面座標である形の関数は球面調和関数と呼ばれる。 ${\displaystyle \phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}$

それらは次の形式をとります:

ここでは球面座標( r、 θ 、 φ ) が使用され、参考のために直交座標 ( x 、 y 、 z ) で示されています。

また、P ⁰ _{n は}ルジャンドル多項式であり、1 ≤ m ≤ nに対するP ^m _{n は}ルジャンドル関数です。

n = 0, 1, 2, 3の第一球面調和関数を以下の表に示します。[符号規則は、ルジャンドル准多項式に関するページのものと異なることに注意してください。ここではですが、あちらでは です。] ${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

地球の重力ポテンシャルのモデルは、

ここで、座標（８ ）は、基準楕円体の中心を原点とし、極軸の方向を Ｚ軸として空間に拡張された標準測地基準系を基準としている。${\displaystyle \mu =GM}$

ゾーン用語とは、次の形式の用語を指します。

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots }$

テッセラル項は、次の形式の項を指します。

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots }$

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}}$

n = 1のゾーン項とテッセラル項は( 9 ) では省略されている。m=0とm=1の両方の項を持つn=1の係数は、多極展開における任意方向の双極子項に対応する。重力は物理的に双極子特性を示さないので、n  = 1を特徴付ける積分はゼロでなければならない。

さまざまな係数J _n、C _n ^m、S _n ^mには、計算された宇宙船の軌道と観測された宇宙船の軌道の間で可能な限り最良の一致が得られる値が与えられます。

P ⁰ _n ( x ) = − P ⁰ _n (− x )なので、奇数nに対する非ゼロの係数J _{n は、}地球の質量分布の赤道面に対する「南北」対称性の欠如に対応します。非ゼロの係数C _n ^m、S _n ^{m は、}地球の質量分布の極軸の周りの回転対称性の欠如、つまり地球の「三軸性」に対応します。

nの値が大きくなると、上記の係数（9 ）でr ^{（n + 1）で割った値）は、例えばキロメートルや秒を単位として使う場合、非常に大きな値を取る。文献では、地球の半径に近い任意の「基準半径」} Rを導入し、無次元係数で作業するの が一般的である。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}}$

そしてその可能性を次のように書く。

（9）において支配的な項（項−μ/ rの次）はJ ₂係数であり、これは地球の扁平率を表す 2番目の動的形状因子である。

${\displaystyle u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})}$

座標系を基準に

図1に示されているように、「 J ₂項」 によって生じる力の成分は

単位ベクトル ( x̂ ŷ ẑ ) を持つ直交座標系 ( x, y, z ) では、力の成分は次のようになります。

「 J ₃項」 に対応する力の成分

${\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z\left(5z^{2}-3r^{2}\right)}$

は

そして

係数の正確な数値は、異なる地球モデル間では（多少）異なりますが、最も低い係数についてはすべてほぼ完全に一致しています。

JGM-3 モデル (下記参照) の場合、値は次のとおりです。

μ = 398600.440 km ³ ⋅s ⁻²

J ₂ = 1.75553 × 10 ¹⁰ km ⁵ ⋅s ⁻²

J ₃ = −2.61913 × 10 ¹¹ km ⁶ ⋅s ⁻²

たとえば、半径 6600 km (地球表面から約 200 km) では、J ₃ /( J ₂ r ) は約 0.002 です。つまり、 「 J _{3項」による「} J ₂力」の補正は 2 パーミルのオーダーです。J 3 の負の値は、_地球の赤道面にある質点の場合、地球の「南北」の質量分布の対称性がないため、重力が南に向かってわずかに傾いていることを意味します。

宇宙船の軌道は、運動方程式の数値積分によって計算されます。このためには、重力、つまりポテンシャルの勾配を計算する必要があります。任意のおよび(ゾーン項とテッセラル項の最大次数)の重力を計算するための効率的な再帰アルゴリズムが設計されており、このようなアルゴリズムは標準的な軌道伝播ソフトウェアで使用されています。 ${\displaystyle N_{z}}$${\displaystyle N_{t}}$

NASAおよびESRO / ESAで一般的に使用されている最も初期の地球モデルは、ゴダード宇宙飛行センター(GSFC)によって開発された「ゴダード地球モデル」で、「GEM-1」、「GEM-2」、「GEM-3」などと呼ばれていました。その後、大学や民間企業と協力し、GSFC によって開発された「JGM-1」、「JGM-2」、「JGM-3」と呼ばれる「共同地球重力モデル」が利用可能になりました。新しいモデルは、一般に、先行モデルよりも高次の項を提供します。EGM96 はN z ₌ N t ₌ 360を使用し、130317 個の係数になります。EGM2008 モデルも利用可能です。

数メートルの軌道決定/予測精度を必要とする通常の地球衛星の場合、N _z = N _t = 36 (1365 係数) に切り捨てられた「JGM-3」で通常は十分です。空気抵抗のモデリングによる不正確さ、およびそれほどではないものの太陽放射圧による不正確さは、重力モデリング エラーによって生じる不正確さを上回ります。

最初のゾーン項とテッセラル項の無次元係数、 （ =を使用）${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$${\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$${\displaystyle R}$6 378 .1363 kmと=${\displaystyle \mu }$JGM-3モデルの 398 600 .4415 km ³ /s ^{2 ）は}

JGM-3によれば、J ₂ =0.108 263 5854 × 10 ⁻² × 6378.1363 ² ×398 600 .4415 km ⁵ /s ² =1.755 53 × 10 ¹⁰  km ⁵ /s ²および J ₃ =−0.253 243 5346 × 10 ⁻⁵ × 6378.1363 ³ ×398 600 .4415 km ⁶ /s ² =−2.619 13 × 10 ¹¹  km ⁶ /s ²。

• ジオイド#球面調和関数表現

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