収束率

数学的解析、特に数値解析において、極限に収束する数列の収束率と収束次数は、数列がどれだけ速くその極限に近づくかを示すいくつかの特徴のいずれかです。これらは、数列がすでに限界に近づいている場合にさらに限界に近づく速さを表す収束率と収束次数（漸近的収束率と収束次数と呼ばれます）と、数列が必ずしも限界に近いわけではない開始点から限界に近づく速さを表す収束率と収束次数（非漸近的収束率と収束次数と呼ばれます）に大別されます。

漸近的動作は、たとえば反復根探索アルゴリズムで目標精度に到達したときなど、数値計算のシーケンスをいつ停止するかを決定する際に特に役立ちますが、不適切に選択されたアプローチでは目標精度に到達することが不可能または非現実的になる可能性があるため、漸近前動作は一連の計算を開始するかどうかを決定する上で非常に重要になることがよくあります。漸近速度と収束の順序がこの記事の焦点です。

実際の数値計算では、漸近速度と収束次数は、2 種類のシーケンスに対して 2 つの一般的な規則に従います。1 つ目は反復数値法の反復シーケンス、2 つ目はターゲットの連続的により正確な数値離散化シーケンスです。正式な数学では、収束速度と収束次数は、一般に「ビッグ O 表記法」と呼ばれる漸近表記法を使用して比較して記述されることが多く、この表記法は前述の規則の両方を包含するために使用できます。これは漸近解析の応用です。

反復法では、収束する数列は、次の場合、漸近収束順序と漸近収束率を持つと言われる。 ${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|x_{k+1}-L\right|}{\left|x_{k}-L\right|^{q}}}=\mu .}$^[1]

方法論的な精度が求められる場合、これらの収束率と収束次数は、特にQ収束（商収束の略）の率と次数として知られています。これは、問題の極限が誤差項の商であるためです。^[1]収束率は漸近誤差定数と呼ばれることもあり、この記事では次数と呼んでいるところを、一部の著者は率と呼んでいます。^[2]級数加速法は、級数の部分和の列の収束率と、場合によってはその収束次数も改善する手法です。 ${\displaystyle \mu }$

同様の概念は離散化のシーケンスにも使用されます。たとえば、理想的には、規則的なグリッドを介して離散化された微分方程式の解は、グリッド間隔がゼロに近づくにつれて連続方程式の解に収束します。そうであれば、その収束の漸近速度と順序は、グリッド化法の重要な特性です。ある問題の近似グリッド解のシーケンスが真の解に収束し、対応する規則的なグリッド間隔のシーケンスが0 に収束する場合、 漸近収束順序と漸近収束速度を持つと言われます。${\displaystyle (y_{k})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (h_{k})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|y_{k}-S\right|}{h_{k}^{q}}}=\mu ,}$$

ここで、絶対値記号は、一様ノルムなどの解の空間の測定基準を表します。 同様の定義は、有限要素法のポリゴンメッシュや計算化学の基底セットなどの非グリッド離散化スキームにも適用されます。一般に、漸近速度の適切な定義には、上記の近似誤差項と下記の離散化スケールパラメータの 漸近順序べき乗の比の漸近極限が含まれます。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$

一般的に、ある極限に収束する数列は、他の極限に収束する数列よりも比較的速く漸近収束すると言われる。 ${\displaystyle (a_{k})}$${\displaystyle L_{a}}$${\displaystyle (b_{k})}$${\displaystyle L_{b}}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L_{a}\right|}{|b_{k}-L_{b}|}}=0,}$$

そして、極限が任意の正の有限値である場合、2つは同じ収束次数で漸近収束すると言われます。極限が1に等しい場合、2つは漸近的に同等であると言われます。漸近収束の速度と次数に関するこれらの比較定義は、漸近解析の基本であり、数値解析、実解析、複素解析、関数解析など、数学解析全体に広く応用されています。

反復法の反復のシーケンス がとして極限数に収束すると仮定します。シーケンスはの順序で収束し、収束率で収束するとは、連続反復の絶対差の商の極限が を満たす 場合です。${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k\rightarrow \infty }$${\displaystyle q}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k\rightarrow \infty }$${\displaystyle x_{k},x_{k+1}}$${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|^{q}}}=\mu }$$

ある正の定数に対して、かつ の場合にとなります。^{[1] [3] [4]}数列が収束するが^[5]または極限が存在しない場合は、より専門的な速度の定義が必要になります。^[1]この定義は、技術的には商収束の略である Q 収束と呼ばれ、その技術的な詳細が必要な場合、速度と次数は Q 収束の速度と次数と呼ばれます。§ 以下の R 収束は、この極限が存在しない場合の適切な代替手段です。 ${\displaystyle \mu \in (0,1)}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle \mu \in (0,\infty )}$${\displaystyle q>1}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1}$

より大きな次数のシーケンスはより小さな次数のシーケンスよりも速く収束し、より小さなレートのシーケンスはより大きなレートのシーケンスよりも、与えられた次数に対してより速く収束します。同じ次数のシーケンス間でのこの「より小さなレートがより速く収束する」動作は標準的ですが、直感に反する場合があります。したがって、をレートとして定義することも一般的です。これは、次数 1 で収束するシーケンスの「反復ごとの精度の余分な小数点以下の数」です。^[1]${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\log _{10}\mu }$

の整数乗は一般的であり、共通の名前が付けられています。 および の順序での収束は線型収束と呼ばれ、数列はに線型収束すると言われています。 および任意の での収束は二次収束と呼ばれ、数列はに二次収束すると言われています。 および任意の での収束は三次収束と呼ばれます。ただし、 は整数である必要はありません。たとえば、正割法 は、規則的で単純な根に収束する場合、黄金比φ ≈ 1.618の順序になります。^[6]${\displaystyle q}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle \mu \in (0,1)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle q=2}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q=3}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$

整数収束の順序の一般的な名前は、漸近的な大O表記法に関連し、商の収束は次を意味する。これらは、それぞれが1、2、3のときの線形、2次、3次の多項式表現である。より正確には、限界は、主要な順序誤差がちょうど次を意味する。これは、漸近的な小O表記法を使用して次のように表すことができる。${\textstyle |x_{k+1}-L|=O(|x_{k}-L|^{q}).}$${\displaystyle q}$${\textstyle \mu |x_{k}-L|^{q},}$${\textstyle |x_{k+1}-L|=\mu |x_{k}-L|^{q}+o(|x_{k}-L|^{q}).}$

一般に、シーケンスが に対して の場合、または を満たすシーケンスが に対して の場合、これらのシーケンスは超線形収束する（つまり、線形収束よりも速い）と言われています。^[1]シーケンスが に収束する場合、シーケンスは に準線形収束する（つまり、線形収束よりも遅い）と言われています。重要なのは、これらの準線形順序のシーケンスが 1 の漸近収束率で線形収束すると言うのは誤りであるということです。シーケンスが に対数収束するとは、シーケンスが に準線形収束し、また に収束する場合です。^[5]${\displaystyle q>1}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=0,}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1.}$${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle L}$${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-x_{k}|}{|x_{k}-x_{k-1}|}}=1.}$

Q 収束率の定義には、収束はするが各ステップで漸近的に一定の率で収束しないシーケンスの収束動作を自然に捉えていないという欠点があり、そのため Q 収束の限界は存在しません。1 つのクラスの例として、1 ステップおきまたは数ステップおきにのみ限界に近づく、ずらした幾何級数があります。たとえば、以下に詳述する例 (はフロア関数に適用されています) が挙げられます。このシーケンスには定義的な Q 線形収束の限界は存在しません。これは、奇数ステップから始まる誤差商の 1 つのサブシーケンスが 1 に収束し、偶数ステップから始まる別の商のサブシーケンスが 1/4 に収束するためです。シーケンスの 2 つのサブシーケンスが異なる限界に収束する場合、シーケンス自体は限界に収束しません。 ${\textstyle (b_{k})=1,1,1/4,1/4,1/16,1/16,\ldots ,1/4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor },\ldots }$${\textstyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x}$

このような場合、R収束と呼ばれる、収束率の関連は深いがより技術的な定義の方が適切です。接頭辞「R」は「根」を意味します。^{[1] [7] : 620}に収束するシーケンスは、誤差制限シーケンスが存在し、かつQ 線形にゼロに収束する場合、少なくとも R 線形に収束すると言われています。同様の定義が、R 超線形収束、R 亜線形収束、R 二次収束などにも当てはまります。^[1]${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$${\textstyle |x_{k}-L|\leq \varepsilon _{k}\quad {\text{for all }}k}$${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$

任意の誤差境界シーケンスは、R 収束の速度と次数の下限を提供し、最大の下限は R 収束の正確な速度と次数を与えます。Q 収束に関しては、次数が大きいシーケンスはより速く収束し、速度が小さいシーケンスは与えられた次数に対してより速く収束するため、これらの最大速度下限誤差上限シーケンスは、を前提として、 が可能な限り最大で、 が可能な限り最小となるシーケンスです。 ${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$

上記の例では、タイト バウンディング シーケンスはQ 線形に収束し、収束速度は 1/2であるため、R 線形に収束速度は 1/2 です。一般に、任意のずらした幾何級数の場合、シーケンスは Q 線形に収束しませんが、収束速度は R 線形に収束します。これらの例は、R 線形収束の「R」が「ルート」の略である理由を示しています。 ${\textstyle (b_{k})}$${\textstyle (\varepsilon _{k})=2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,\ldots ,1/2^{k-1},\ldots }$${\textstyle (b_{k})}$${\displaystyle (ar^{\lfloor k/m\rfloor })}$${\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}}.}$

等比数列 は に収束する。この数列をQ線型収束の定義（収束次数1）に当てはめると、次のようになる。 ${\textstyle (a_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots ,1/{2^{k}},\dots }$${\displaystyle L=0}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left|1/2^{k+1}-0\right|}{\left|1/2^{k}-0\right|}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {2^{k}}{2^{k+1}}}={\frac {1}{2}}.}$$

したがって、収束率は で Q 線形に収束します。下の図の最初のプロットを参照してください。 ${\displaystyle (a_{k})}$${\displaystyle \mu =1/2}$

より一般的には、実数の任意の初期値と-1と1の間の実数の公比に対して、等比数列は速度とともに線形に収束し、等比数列の部分和のシーケンスも速度とともに線形に収束します。任意の複素数によってパラメータ化された等比数列と等比数列についても同様です。${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (ar^{k})}$${\displaystyle |r|}$ ${\textstyle (\sum _{n=0}^{k}ar^{n})}$${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {C} ,|r|<1.}$

最小の整数を与える床関数を使用するスタッガード等比数列は、速度 1/2 で R 線形に 0 に収束しますが、Q 線形には収束しません。下の図の 2 番目のプロットを参照してください。このシーケンスには定義的な Q 線形収束限界は存在しません。これは、奇数ステップから始まる誤差商の 1 つのサブシーケンスが 1 に収束し、偶数ステップから始まる別の商のサブシーケンスが 1/4 に収束するためです。シーケンスの 2 つのサブシーケンスが異なる限界に収束する場合、シーケンス自体は限界に収束しません。一般に、任意のスタッガード等比数列では、シーケンスは Q 線形には収束しませんが、速度 で R 線形に収束します。これらの例は、R 線形収束の「R」が「ルート」の略である理由を示しています。 ${\textstyle (b_{k})=1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,1/4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor },\ldots ,}$ ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x,}$${\displaystyle (ar^{\lfloor k/m\rfloor })}$${\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}};}$

このシーケンスは 、Q 超線形にゼロに収束します。実際、これは 2 次収束率 1 で 2 次収束します。これは、下の図の 3 番目のプロットに示されています。 $${\displaystyle (c_{k})={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{256}},{\frac {1}{65,\!536}},\ldots ,{\frac {1}{2^{2^{k}}}},\ldots }$$

最後に、シーケンスは Q サブ線形かつ対数的にゼロに収束し、その収束は下の図の 4 番目のプロットとして表示されます。 $${\displaystyle (d_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots ,{\frac {1}{k+1}},\ldots }$$

再帰シーケンスは、固定点反復と呼ばれ、離散時間自律動的システムを定義し、その収束動作に関するさまざまな固定点定理を通じて数学の重要な一般アプリケーションを持っています。 fが連続的に微分可能で、となる固定点pが与えられた場合、固定点は吸引固定点であり、再帰シーケンスは、pに十分近い任意の開始値に対して、少なくとも線形にpに収束します。および の場合、再帰シーケンスは少なくとも二次収束し、以下同様に続きます。 の場合、固定点は反発固定点であり、シーケンスは、そのすぐ近くの近傍からpに収束することはできませんが、局所近傍の外側から直接pにジャンプすることはできます。 ${\textstyle x_{k+1}:=f(x_{k})}$ ${\textstyle f(p)=p,}$${\textstyle |f'(p)|<1}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle |f'(p)|=0}$${\textstyle |f''(p)|<1}$${\displaystyle |f'(p)|>1}$

固定小数点反復によって生成されたシーケンスの収束順序を計算する実用的な方法は、次の順序に収束する次のシーケンスを計算することである: ^[8]${\displaystyle q}$ $${\displaystyle q\approx {\frac {\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k+1}-x_{k}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right|}{\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}-x_{k-2}}}\right|}}.}$$

数値的順序法による正確な値の数値近似については^[9]を参照。${\displaystyle q}$

与えられたシーケンスの収束を加速する方法、すなわち、あるシーケンスを、より速く同じ極限に収束する 2 番目のシーケンスに変換する方法は多数存在します。このような技術は一般に「シリーズ加速」法として知られています。これらは、元のシーケンスの極限を近似する計算コストを削減する場合があります。シーケンス変換によるシリーズ加速の 1 つの例は、 Aitken のデルタ 2 乗プロセスです。これらの方法、特に Aitken 法は一般に収束の次数を上げないため、最初は収束が線形よりも速くない場合にのみ役立ちます。つまり、が線形に収束する場合、Aitken 法はそれを(病的に設計された特殊なケースを除く) 依然として線形に収束するシーケンスに変換しますが、 という意味でより高速です。一方、収束の次数がすでに ≥ 2 である場合、Aitken 法では改善はもたらされません。 ${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle (a_{k})}$${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }(a_{k}-L)/(x_{k}-L)=0}$

この目標に収束する連続領域関数の離散化近似値の列と、それに対応する0に収束する離散化スケールパラメータの列は、次の式が成り立つ場合、漸近収束順序と漸近収束速度を持つと言われる。 ${\displaystyle (y_{k})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (h_{k})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|y_{k}-S\right|}{h_{k}^{q}}}=\mu ,}$$

いくつかの正の定数およびに対して、を使用して、解の空間上の適切な距離メトリックを表します。距離メトリックは、通常、一様ノルム、絶対差、またはユークリッド距離のいずれかです。離散化スケールパラメータには、空間または時間における規則的なグリッドの間隔、1 次元のグリッドのポイント数の逆数、ポリゴンメッシュ内のポイント間の平均距離または最大距離、不規則なスパースグリッドの 1 次元間隔、または量子力学基底関数系におけるエネルギーまたは運動量の特性量子などがあります。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$${\displaystyle |x|}$

すべての離散化が単一の共通手法で生成される場合、特定の離散解の離散シーケンスではなく、手法自体の漸近収束率と収束順序について議論するのが一般的です。このような場合、スケールパラメータを使用して手法で生成された単一の抽象的な離散解を考慮し、その手法が漸近収束順序と漸近収束率を持つと言われるのは、次の場合です。 ${\displaystyle y_{h}}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left|y_{h}-S\right|}{h^{q}}}=\mu ,}$$

再び、ある正の定数と適切な計量について、離散化の誤差は、離散化のスケールパラメータのべき乗のように漸近的にスケールする、または漸近的な大O表記法のようにスケールすることを意味します。より正確には、主要次数誤差は であり、漸近的な小O表記法を使って次のように表すことができます。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q}$${\displaystyle |x|.}$${\displaystyle q}$${\textstyle \left|y_{h}-S\right|=O(h^{q})}$${\displaystyle \mu h^{q},}$${\textstyle \left|y_{h}-S\right|=\mu h^{q}+o(h^{q}).}$

場合によっては、同じ方法でもスケール パラメータの選択が異なる複数の速度と次数が重要になることがあります。たとえば、異なる次元に異なるグリッド間隔がある多次元グリッドに基づく有限差分法や、スケール パラメータとしてメッシュ ポイント間の平均距離またはメッシュ ポイント間の最大距離のいずれかを選択すると異なる収束次数が意味を持つ可能性があるポリゴン メッシュに基づく有限要素法などです。特に技術的な状況では、離散化法の漸近速度と収束次数は、一度に複数のスケール パラメータによって特徴付けられ、各スケール パラメータの値が、他のスケール パラメータに対する方法の漸近速度と収束次数に影響を与える可能性があります。

常微分方程式を考える

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\kappa y}$

初期条件は です。この 1 次元方程式の解は、任意の規則的なグリッド間隔と でインデックス付けされたグリッド ポイントを使用して数値離散化を行う順方向オイラー法を適用するシーケンスを使用して次のように近似できます。 ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}=-\kappa y_{n},}$

これは定数係数の一次線形回帰を意味する。

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}(1-h\kappa ).}$

が与えられたとき、その再帰性を満たす数列は等比数列である。${\displaystyle y(0)=y_{0}}$

$${\displaystyle y_{n}=y_{0}(1-h\kappa )^{n}=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}\kappa ^{2}+....\right).}$$

微分方程式の正確な解析解は であり、における次のテイラー展開に対応します。 ${\displaystyle y=f(x)=y_{0}\exp(-\kappa x)}$${\displaystyle nh\kappa }$$${\displaystyle f(x_{n})=f(nh)=y_{0}\exp(-\kappa nh)=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n^{2}h^{2}\kappa ^{2}}{2}}+...\right).}$$

したがって、各離散点における離散近似の誤差は

$${\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|={\frac {nh^{2}\kappa ^{2}}{2}}+\ldots }$$

任意の特定の に対して、を割り切れるグリッド間隔を使用する一連の順方向オイラー近似が与えられた場合、次式が得られます。 ${\displaystyle x=p}$${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n_{p,k}=p/h_{k}}$

$${\displaystyle \lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k}(p)-f(p)|}{h_{k}}}=\lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k,n_{p,k}}-f(h_{k}n_{p,k})|}{h_{k}}}={\frac {h_{k}n_{p,k}\kappa ^{2}}{2}}={\frac {p\kappa ^{2}}{2}}}$$

連続的に小さくなるグリッド間隔を持つ任意のグリッド列に対して、は収束順序と各点での漸近誤差定数で点ごとに に収束します。同様に、 の任意の有界区間では、 列は同じ順序と速度で一様収束しますが、すべての正の実数値の非有界集合では一様収束しません。${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle q=1}$${\displaystyle p\kappa ^{2}/2}$${\displaystyle p>0.}$${\displaystyle L\kappa ^{2}/2}$${\displaystyle p\leq L}$${\displaystyle [0,\infty ).}$

漸近解析では、一般に、ある極限に収束する系列は、実数や複素数などの距離計量を持つ共有計量空間で通常の絶対差計量を持つ系列よりも、より速い収束順序で漸近収束すると言われる。 ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |\cdot |,}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=0,}$$

両者は同じ収束次数で漸近収束するとは、 ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=\mu }$$

正の有限定数に対して、両者は同じ収束速度と収束順序で漸近的に収束すると言われる。 ${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=1.}$$

漸近収束の速度と順序のこれらの比較定義は、漸近解析の基本です。^{[10] [11]}これらの最初の2つについては、漸近O表記法による関連表現があります。1つ目は小文字のo表記法^[12]で、2つ目はKnuth表記法です。^[13] 3つ目は漸近同値とも呼ばれ、次のように表されます。^{[14] [15]}${\displaystyle a_{k}-L=o(b_{k}-L)}$${\displaystyle a_{k}-L=\Theta (b_{k}-L)}$${\displaystyle a_{k}-L\sim b_{k}-L.}$

極限が 0 を共有する任意の 2 つの等比 数列とについて、2 つの数列が漸近的に同等なのは、両方が である場合と である場合に限ります。これらは、 がよりも速い位数で収束する場合と である場合に限ります。任意の等比数列の極限への収束には、等比数列に等しい誤差項があるため、同様の関係が等比数列間でも成立します。収束する等比数列に漸近的に同等な数列は、その極限からの絶対差に関して「幾何的に収束する」または「指数的に収束する」と言うことも、絶対差の対数、たとえば「精度の小数点以下の桁数」に関して「線形に収束する」と言うこともできます。後者は数値解析では標準的です。 ${\displaystyle (ar^{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (bs^{k})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle r=s.}$${\displaystyle r=s.}$ ${\displaystyle (ar^{k})}$${\displaystyle (bs^{k})}$${\displaystyle r<s.}$

の逆べき乗に比例し、かつ共有極限がゼロである要素の任意の2つのシーケンスについて、2つのシーケンスが漸近的に同値であるのは、両方がおよびである場合に限ります。これらは、同じ順序で収束する場合に限り、より速い順序で収束します。${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle (ak^{-n})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (bk^{-m})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle n=m.}$${\displaystyle n=m.}$ ${\displaystyle (ak^{-n})}$${\displaystyle (bk^{-m})}$${\displaystyle n>m.}$

ゼロの極限を持つ任意のシーケンスの場合、その収束は、シフトされたシーケンスの定数によるシフトされたシーケンスの再スケーリングと、シフトされたシーケンスのスケーリングされた-べき乗の収束と比較できます。これらの比較は、上記の反復数値法のQ収束分類の基礎となります。数値法からの反復エラーのシーケンスが、反復エラーのシフト、指数化、および再スケーリングされたシーケンスと漸近的に等しい場合、順序と速度で収束すると言われています。${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (a_{k-1})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle (\mu a_{k-1})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (\mu a_{k-1}^{q})_{k\in \mathbb {N} }.}$${\displaystyle (|x_{k}-L|)_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\mu |x_{k-1}-L|^{q})_{k\in \mathbb {N} },}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu .}$

非漸近収束率には、漸近収束率のような共通の標準定義はありません。形式的手法の中で、リャプノフ理論は、非漸近収束の挙動を特徴付け、分析するための最も強力で広く適用されているフレームワークの 1 つです。

反復法の場合、一般的な実用的なアプローチの 1 つは、限界から遠い開始点から限界の近傍に到達するのに必要な反復回数またはコンピュータ時間の観点からこれらの率について議論することです。非漸近率は、その反復回数またはコンピュータ時間の逆数になります。実際のアプリケーションでは、目標精度に到達するのに他の反復法よりも少ないステップまたは少ないコンピュータ時間しか必要としない反復法は、その漸近収束が遅い場合でも、他の反復法よりも速く収束したと言えます。これらの率は、通常、開始点や近傍を定義するためのエラーしきい値が異なれば異なります。最も一般的なのは、エラーしきい値が固定された問題に何らかの方法を適用した場合の「平均非漸近率」、「中央非漸近率」、または「最悪のケースの非漸近率」など、考えられる開始点の分布に対応するこれらの単一点率の統計分布の要約について議論することです。これらの開始点の集合は、最終的な限界からの初期距離などのパラメータに従って選択することができ、「特定の距離からの平均非漸近収束率」などの量を定義できます。

離散化近似法では、グリッドまたはメッシュポイントの数の逆数や、逆反復数の役割を果たすフーリエ級数カットオフ 周波数などの離散化スケール パラメーターを使用して同様のアプローチを使用できますが、これは特に一般的ではありません。どのような問題でも、近似の望ましい精度と互換性のある最大の離散化スケール パラメーターが存在し、漸近速度と収束の順序が正確な誤差の推定値を提供するために必要なほど小さくない場合があります。実際のアプリケーションでは、ある離散化方法が別の離散化スケール パラメーターよりも大きい離散化スケール パラメーターで望ましい精度を提供する場合、最終的な漸近収束が遅い場合でも、他の離散化方法よりも収束が速いと言われることがよくあります。