分布関数（物理学）

物理学の分子運動論では、システムの分布関数は7つの変数の関数である。${\displaystyle f(t,x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})}$これは、単粒子位相空間における単位体積あたりの粒子数を示す。^{[ 1 ]}これは、おおよその速度を持つ単位体積あたりの粒子数である。${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$その位置の近く${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$そして時間${\displaystyle t}$。

分布関数の通常の正規化は $${\displaystyle {\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z},\\N(t)&=\int n(\mathbf {r} ,t)\,dx\,dy\,dz,\end{aligned}}}$$ ここで、 Nは粒子の総数、nは粒子の数密度、すなわち単位体積あたりの粒子数、または密度を個々の粒子の質量で割った値である。

分布関数は、特定の次元のセットに関して特殊化されることがあります。たとえば、量子力学の6次元位相空間を考えてみましょう。${\displaystyle f(x,y,z;p_{x},p_{y},p_{z})}$そして、全空間体積を掛けて運動量分布、すなわち運動量位相空間内の運動量を持つ粒子の数を概算します。${\displaystyle (p_{x},p_{y},p_{z})}$。

粒子分布関数は、プラズマ物理学において、波動と粒子の相互作用や速度空間不安定性を記述するためによく用いられる。分布関数は、流体力学、統計力学、原子核物理学においても用いられる。

基本的な分布関数はボルツマン定数を使用する${\displaystyle k}$温度${\displaystyle T}$正規分布を修正するための数密度： $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=n\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\\[2pt]&=n\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right).\end{aligned}}}$$

関連する分布関数はバルク流体の流れを許容する可能性があり、その場合、速度の原点がシフトされるため、指数の分子は${\displaystyle m((v_{x}-u_{x})^{2}+(v_{y}-u_{y})^{2}+(v_{z}-u_{z})^{2})}$、 どこ${\displaystyle (u_{x},u_{y},u_{z})}$は流体の平均速度です。分布関数には非等方性温度が含まれる場合もあり、その場合、指数の各項は異なる温度で割られます。

磁気流体力学などのプラズマ理論では、粒子が熱力学的平衡状態にあると仮定されることがある。この場合、分布関数はマクスウェル分布となる。この分布関数は、局所磁場に平行な方向と垂直な方向で流体の流れと温度の差を許容する。プラズマは熱平衡状態にあることは稀であるため、より複雑な分布関数を用いる場合もある。

分布の数学的な類似物は測度であり、位相空間上の測度の時間発展は力学系における研究対象である。