画像（カテゴリー理論）

が となるとすると、となることを示す必要があります 。 の等式が存在するため、は単相でのように因数分解されます。しかし、 は単相でを因数分解します。したがって、像の普遍的性質により、となる 唯一 の矢印が存在し、 は単相であるためです。さらに、 となり、 の単相的性質により が得られます。 ${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$${\displaystyle \alpha \,e=\beta \,e}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e=q\,e'}$${\displaystyle q}$${\displaystyle f=(m\,q)\,e'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (m\,q)}$${\displaystyle v:I\to Eq_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle m=m\,q\,v}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\text{id}}_{I}=q\,v}$${\displaystyle m\,q=(mqv)\,q}$${\displaystyle mq}$${\displaystyle {\text{id}}_{Eq_{\alpha ,\beta }}=v\,q}$

これは を意味し、したがって は に等しくなり、したがって となります。 ${\displaystyle I\equiv Eq_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle {\text{id}}_{I}=q\,v}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

最初の定義は2番目の定義を意味します。(1)が正則単相で成り立つと仮定します。 ${\displaystyle m}$

• 等化:であることを示す必要があります。 と のコカーネルペアは前の命題により、 にはすべての等化子があるため、因数分解の矢印はエピモーフィズムであり、したがって です。${\displaystyle i_{1}\,m=i_{2}\,m}$${\displaystyle f,\ i_{1}\,f=i_{2}\,f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f=m\,e}$${\displaystyle i_{1}\,f=i_{2}\,f\ \Rightarrow \ i_{1}\,m=i_{2}\,m}$
• 普遍性:すべての余極限（または少なくともすべてのプッシュアウト）を持つカテゴリでは、それ自体が余核対を許容する${\displaystyle m}$${\displaystyle (Y\sqcup _{I}Y,c_{1},c_{2})}$

さらに、正則単射として、は一対の射のイコライザーですが、ここでは のイコライザーでもあると主張します。${\displaystyle (I,m)}$${\displaystyle b_{1},b_{2}:Y\longrightarrow B}$${\displaystyle c_{1},c_{2}:Y\longrightarrow Y\sqcup _{I}Y}$

実際、このように構築することにより、 の「コカーネルペア」図は、となる一意の写像を生成します。ここで、を等化する写像はも満たすため、 の等化器図により 、となる一意の写像が存在します。${\displaystyle b_{1}\,m=b_{2}\,m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u':Y\sqcup _{I}Y\longrightarrow B}$${\displaystyle b_{1}=u'\,c_{1},\ b_{2}=u'\,c_{2}}$${\displaystyle m':I'\longrightarrow Y}$${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$${\displaystyle b_{1}\,m'=u'\,c_{1}\,m'=u'\,c_{2}\,m'=b_{2}\,m'}$${\displaystyle (b_{1},b_{2})}$${\displaystyle h':I'\to I}$${\displaystyle m'=m\,h'}$

最後に、 のコカーネル対図 ( ) を とともに使用します。となる 唯一の が存在します。したがって、を等しくする任意の写像はも等しくし、したがって として一意に因数分解されます。これはまさにが の等化子であることを意味します。${\displaystyle f}$${\displaystyle j_{1}:=c_{1},\ j_{2}:=c_{2},\ Z:=Y\sqcup _{I}Y}$${\displaystyle u:Y\sqcup _{X}Y\longrightarrow Y\sqcup _{I}Y}$${\displaystyle c_{1}=u\,i_{1},\ c_{2}=u\,i_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (i_{1},i_{2})}$${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$${\displaystyle g=m\,h'}$${\displaystyle (I,m)}$${\displaystyle (i_{1},i_{2})}$

2 番目の定義は 1 番目の定義を意味します。

• 因数分解:イコライザー図 (に対応) を考慮すると、因数分解が得られます。${\displaystyle m':=f}$${\displaystyle m'}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=m\,h}$
• 普遍性:を正規単射を持つ因数分解、つまりあるペアのイコライザーとします。${\displaystyle f=m'\,e'}$${\displaystyle m'}$${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$

すると 、の「コカーネル対」図により、 となる唯一の が存在することになります。${\displaystyle d_{1}\,m'=d_{2}\,m'\ \Rightarrow \ d_{1}\,f=d_{1}\,m'\,e=d_{2}\,m'\,e=d_{2}\,f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j_{1}:=d_{1},\ j_{2}:=d_{2},\ Z:=D}$${\displaystyle u'':Y\sqcup _{X}Y\longrightarrow D}$${\displaystyle d_{1}=u''\,i_{1},\ d_{2}=u''\,i_{2}}$

ここで、((i 1, i 2)図のイコライザからのm)から、が_得られる_。したがって、 ( fをmに置き換えた( d ₁ , d ₂ )図のイコライザ)の普遍性により、 となる唯一の が存在する。${\displaystyle i_{1}\,m=i_{2}\,m}$${\displaystyle d_{1}\,m=u''\,i_{1}\,m=u''\,i_{2}\,m=d_{2}\,m}$${\displaystyle v:Im\longrightarrow I'}$${\displaystyle m=m'\,v}$