カーネル（集合論）

集合論では、関数の核（または同値核^[1]）は、 ${\displaystyle f}$

• 関数のドメイン上の同値関係は、関数が知る限りでは同値であるという考えを大まかに表現するものである^[2]、または${\displaystyle f}$
• ドメインの対応するパーティション。

無関係な概念として、定義によりそのすべての要素の 共通集合となる空でない集合族の核があります。この定義は、フィルター の理論でフィルターを自由または主として分類するために使用されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$

関数のカーネル

正式な定義として、を2つの集合間の関数とします。要素が同値となるのは、 とが等しい場合、つまり の同じ要素である場合です。 の核は、このように定義された同値関係です。^[2]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f}$

集合族の核

の集合族の核${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$は^{[3] の} 核はとも表記される。空集合の核、通常未定義のままである。族は$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \ker \varnothing ,}$固定されており、核が空でない場合、空でない交差 となる^[3]固定されていない場合、つまり核が空集合である場合は自由である^{。 [3]}

他の同値関係と同様に、カーネルは商集合を形成するように変更することができ、商集合はパーティションです。 $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

この商集合は関数の共像と呼ばれ、（または変形）で表されます。共像は自然に（集合論的な意味での全単射）像と同型であり、具体的には、（ の元）におけるの同値類は（ の元）におけるに対応します。 ${\displaystyle X/=_{f}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {coim} f}$${\displaystyle \operatorname {im} f;}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {coim} f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {im} f}$

任意の二項関係と同様に、関数の核は直積のサブセットとして考えることができる。この形では、核は次のように表記（または変形） され、記号的に定義されることがある^[2]。 ${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle \ker f}$ $${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

このサブセットの特性を研究することで、${\displaystyle f.}$

およびが何らかの固定されたタイプの代数構造（群、環、ベクトル空間など）であり、関数が準同型である場合、は合同関係（代数構造と互換性のある同値関係）であり、の共像はの商です。 ^[2] 共像との像間の全単射は、代数的な意味での同型であり、これは最初の同型定理の最も一般的な形式です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$

が 2 つの位相空間間の連続関数である場合、 の位相的性質は空間 と を明らかにすることができます。 たとえば、 がハウスドルフ空間である場合、は閉集合でなければなりません。逆に、がハウスドルフ空間で が閉集合である場合、商空間位相が与えられれば、の共像もハウスドルフ空間でなければなりません。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle f,}$

空間がコンパクトであるためには、有限交差特性(FIP)を持つ閉部分集合のすべての族の核が空でなければならない。^{[4] [5]}言い換えれば、空間がコンパクトであるためには、FIPを持つ閉部分集合のすべての族が固定されている必要がある。

• フィルタ（集合論）  - 「大きな」集合を表す集合の族

• アウォディ、スティーブ（2010）[2006]。カテゴリー理論。オックスフォードロジックガイド。第49巻（第2版）。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-923718-0。
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016)。Convergence Foundations Of Topology。ニュージャージー州: World Scientific Publishing Company。ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.