算術の基本定理

ガウスは*『算術研究』*（1801年）で一意因数分解定理^[¹^]を証明し、それを用いて二次相互法則を証明した^[²^]。

数学では、算術の基本定理（一意因数分解定理、素因数分解定理とも呼ばれる）は、1より大きいすべての整数は素数であるか、因数の位数を除いて素数の積として一意に表すことができると述べている。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}例えば、

1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot 3\cdot (5\cdot 5)=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2=\ldots

この定理はこの例について2つのことを述べています。1つ目は、1200は素数の積として表すことができるということ、2つ目は、どのように表しても、積の中には必ず2が4つ、3が1つ、5が2つ含まれ、その他の素数は含まれないということです。

因数が素数であるという要件は必要です。合成数を含む因数分解は一意ではない可能性があります（たとえば、 $12=2\cdot 6=3\cdot 4$ )

数列の積の標準的な慣例を用いると（空の積の値は1および単一の因数の積は因数自身である）定理は、しばしば次のように述べられます。すべての正の整数は、因数の位数を除いて、素数の積として一意に表すことができます。

この定理は、 1が素数とみなされない主な理由の1つです。1が素数であれば、素因数分解は一意になりません。たとえば、 $2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots$

この定理は、一意分解領域と呼ばれる他の代数構造にも一般化され、主イデアル領域、ユークリッド領域、体上の多項式環などが含まれます。ただし、この定理は代数的整数には適用されません。^[^a^]この一意分解の失敗は、フェルマーの最終定理の証明が難しい理由の1つです。代数的整数の環における一意分解の暗黙の使用は、フェルマーの主張からワイルズの証明までの358年の間に書かれた数多くの誤った証明の多くに誤りがある原因となっています。

歴史

基本定理は、ユークリッドの『原論』第7巻命題30、31、32、および第9巻命題14から導き出すことができる。

2つの数を掛け合わせてある数になる場合、その積を任意の素数で表すと、元の数のうちの1つを表せる。

—ユークリッド『原論』第7巻、命題30

（現代の用語では、素数p が積abを割り切るならば、p はaまたはbまたはその両方を割り切る。）命題 30 はユークリッドの補題と呼ばれ、算術の基本定理の証明の鍵となる。

合成数はすべて、何らかの素数によって測られる。

—ユークリッド『原論』第7巻、命題31

（現代の用語では、1より大きいすべての整数は、何らかの素数で割り切れる。）命題31は、無限降下法によって直接証明される。

どんな数も、素数であるか、あるいは素数によって測られるかのどちらかである。

—ユークリッド『原論』第7巻、命題32

命題32は命題31から導き出され、分解が可能であることを証明する。

ある数が素数によって測られる最小の数である場合、その数は、最初にその数を測った素数以外のどの素数によっても測られることはない。

—ユークリッド『原論』第9巻、命題14

（現代の用語では、複数の素数の最小公倍数は、他のどの素数の倍数でもない。）第 9 巻命題 14 は第 VII 巻命題 30 から導き出され、分解が一意であることを部分的に証明している。この点は、アンドレ・ヴェイユによって重要な指摘がなされている。^{[ b ]}実際、この命題では指数はすべて 1 に等しいので、一般の場合については何も述べられていない。

ユークリッドが素因数分解の存在への第一歩を踏み出した一方で、カマル・アルディン・アルファーリスィーは最終段階^{[ c ]}を踏み出し、算術の基本定理を初めて述べた^{[ d ] 。}

ガウスの『算術研究』第16条は、定理の一意性部分の最初の証明であると思われる。^{[ 1 ]}

アプリケーション

正の整数の標準表現

$1$ より大きいすべての正の整数 $nは、$ 素数のべき乗の積としてただ1通りの方法で表すことができる。

n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}},

ここで、 $p 1 < p 2 < ... < p k$ は素数であり、 $n i$ は正の整数です。この表現は、空積が1 に等しいという慣例により、1 を含むすべての正の整数に拡張されるのが一般的です(空積は $k = 0$ に対応します)。

この表現は、 $n$ の正準表現^{[ 6 ]}、またはnの標準形式^[⁷^]^[⁸^]と呼ばれます。例えば、

999 = 3 ³ ×37、

1000 = 2 ³ ×5 ³、

1001 = 7×11×13。

因数 $p 0 = 1は$ $n$ の値を変更せずに挿入できます(たとえば、 $1000 = 2 3 \times3 0 \times5 3$ )。実際、任意の正の整数は、すべての正の素数にわたる無限積として一意に表現できます。

n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod _{i=1}^{\infty }p_{i}^{n_{i}},

$ここで、 n i$ のうち有限個は正の整数であり、残りはゼロである。

負の指数を許容することで、正の有理数の標準形が得られます。

算術演算

2つの数aとbの積、最大公約数（GCD）、最小公倍数（LCM）の標準表現は、aとb自体の標準表現を用いて簡単に表すことができる。

{\begin{alignedat}{2}a\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots &&=\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\\\gcd(a,b)&=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},\\\operatorname {lcm} (a,b)&=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})}.\end{alignedat}}

しかし、整数の因数分解、特に大きな数の因数分解は、積、最大公約数、最小公倍数を計算するよりもはるかに難しいため、これらの公式は実際にはあまり役に立ちません。

算術関数

多くの算術関数は、標準表現を用いて定義される。特に、加法関数と乗法関数の値は、素数のべき乗における値によって決定される。

証拠

一意性の証明には、ユークリッドの補題（原論VII、30）が用いられます。素数が2つの整数の積を割り切るならば、その素数は少なくともこれらの整数の1つを割り切るはずです。

存在

$1$ より大きいすべての整数は素数か素数の積のいずれかであることを示さなければならない。nを $1$ $より大きい$ 整数とし、 $1より大きく$ $n$ より小さいすべての整数は素数か素数の積のいずれかであるという帰納的仮定を置く。n $が$ 素数であれば、これ以上証明する必要はない。そうでなければ、 $n$ $=$ $ab$ 、 $1 <$ $a$ $\leq$ $b$ $<$ $n$ となる整数 $a$ と $b$ が存在する。帰納的仮定により、 $a$ $=$ $p$ $1$ $p$ $2$ $\cdot\cdot\cdot$ $p$ $j$ および $b$ $=$ $q$ $1$ $q$ $2$ $\cdot\cdot\cdot$ $q$ $k$ は素数の積である。しかし、 $n$ $=$ $ab$ $=$ $p$ $1$ $p$ $2$ $\cdot\cdot\cdot$ $p$ $j$ $q$ $1$ $q$ $2$ $\cdot\cdot\cdot$ $q$ $k$ は素数の積である。

独自性

逆に、2つの異なる素因数分解を持つ整数があると仮定します。そのような最小の整数を $nとし、$ $n = p 1 p 2 ... p j = q 1 q 2 ... q k$ と書きます。ここで、 $p i$ と $q i は$ それぞれ素数です。p $1 は$ $q$ $1$ $q 2 ... q k$ を割り切ることがわかります。したがって、ユークリッドの補題により、 $p$ $1$ はある $q$ $i$ を割り切ります。一般性を失うことなく、 $p$ $1$ $が q 1 を割り切るとします。p 1$ $と$ $q$ $1$ は両方とも素数なので $、$ p $1$ $=$ q $1$ $と$ $なり$ $ます$ $。n$ の因数分解に戻ると、これらの 2 つの因子を消去して、 $p$ $2$ $...$ $p$ $j$ $=$ $q$ $2$ $...$ $q$ $k$ と結論付けることができます。これで、 $n$ より厳密に小さいある整数の 2 つの異なる素因数分解が得られましたが、これは $n$ の最小性と矛盾します $。$

ユークリッドの補題を用いない一意性

算術の基本定理は、ユークリッドの補題を用いなくても証明できる。^{[ 9 ]}以下の証明は、ユークリッドのアルゴリズムのオリジナル版に触発されたものである。

と仮定する $s$ は、素数の積として表せる最小の正の整数であり、2つの異なる方法で表すことができます。ちなみに、これは次のことを意味します。 $s$ 存在する場合、はより大きい合成数でなければならない $1$ では、

{\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}

毎 $p_{i}$ すべてのものとは区別されなければならない $q_{j}.$ そうでなければ、例えば $p_{i}=q_{j},$ すると、ある正の整数が存在するだろう $t=s/p_{i}=s/q_{j}$ これは $s$ より小さく、2つの異なる素因数分解を持つ。また、次のように考えることもできる。 $p_{1}<q_{1},$ 必要に応じて、2つの因数分解を交換することによって。

設定 $P=p_{2}\cdots p_{m}$ そして $Q=q_{2}\cdots q_{n},$ 1つは $s=p_{1}P=q_{1}Q.$ また、 $p_{1}<q_{1},$ 1つは $Q<P.$ したがって、

s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(PQ)<s.

$s$ より小さい正の整数は一意の素因数分解を持つと想定されているため、 $p_{1}$ いずれかの因数分解で発生しなければならない $q_1-p_1$ または $Q$ 。後者のケースは不可能です。Q $は$ $s$ より小さいので、一意の素因数分解を持ち、 $p_{1}$ それぞれ異なる $q_{j}.$ 前者の場合も不可能である。 $p_{1}$ はの約数です $q_{1}-p_{1},$ また、それは $q_{1},$ これは不可能です $p_{1}$ そして $q_1$ これらは異なる素数である。

したがって、異なる素因数分解が1つ以上存在する最小の整数は存在しません。すべての正の整数は、一意に素因数分解される素数であるか、一意に素因数分解される合成数であるか、または整数の場合はでなければなりません。 $1$ 素因数分解できない。

一般化

この定理の最初の一般化は、ガウスの2番目のモノグラフ（1832年）「双二次相互法則」に見られる。この論文では、現在ガウス整数環と呼ばれるもの、すなわちaとbが整数であるすべての複素数a + biの集合が導入された。これは現在、で表されている。 $\mathbb {Z} [i].$ 彼は、この環には4つの単位±1と± iがあり、非ゼロで単位を持たない数は素数と合成数の2つのクラスに分類され、合成数は素数の積として一意に因数分解されること（位数と単位による乗算を除く）を示した。 ^{[ 10 ]}

同様に、1844年に立方相互法則の研究中に、アイゼンシュタインは環を導入した。 $\mathbb {Z} [\omega ]$ 、どこ ${\textstyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$ は 1の立方根です(つまり、 $\displaystyle \omega ^{3}=1$ これはアイゼンシュタイン整数環であり、彼はそれが6つの単位元を持つことを証明した。 $\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}$ そして、一意の因数分解を持つこと。

しかし、一意分解が常に成り立つとは限らないことも判明した。例を以下に示す。 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ^{この環には[}¹¹^]がある。

6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).

このような例が「素数」の概念の修正につながった。 $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ 上記の因数のいずれかが積として表せる場合（例えば 2 = ab）、aまたはbのいずれかが単位元でなければならないことが証明できます。これが「素数」の伝統的な定義です。また、これらの因数のいずれもユークリッドの補題を満たさないことも証明できます。例えば、2 はどちらの因数も割り切れません。 $(1+{\sqrt {-5}})$ または $(1-{\sqrt {-5}})$ たとえそれが積6を割り切るとしても。代数的整数論では、2は既約と呼ばれます。 $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ （自身または1でのみ割り切れる）だが素数ではない $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ （積を割り切る場合は、因数のいずれかを割り切る必要があります。） $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ 2は素数であり既約であるため、 $\mathbb {Z} .$ これらの定義を用いると、任意の整域において素数は既約でなければならないことが証明できる。ユークリッドの古典的な補題は、「整数環において、 $\mathbb {Z}$ すべての既約数は素数である」。これは、 $\mathbb {Z} [i]$ そして $\mathbb {Z} [\omega ],$ しかし、 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].$

既約元への因数分解が本質的に一意である環を一意因数分解整域と呼ぶ。重要な例としては、整数環や体上の多項式環、ユークリッド整域、主イデアル整域などが挙げられる。

1843年、クンマーはイデアル数の概念を導入し、これはデデキント（1876年）によってさらに発展され、環の特別な部分集合であるイデアルの現代理論となった。イデアルに対して乗法が定義され、イデアルが一意に因数分解できる環はデデキント整域と呼ばれる。

順序数に対する一意因数分解のバージョンも存在するが、一意性を保証するためにはいくつかの追加条件が必要となる。

可換メビウスモノイドは一意分解定理を満たすため、正の整数の乗法半群と同様の算術的性質を持つ。実際、算術の基本定理は、可換メビウスモノイドにおける一意分解定理の特殊な場合である。

注記

↑代数的整数環では、素因数分解は一意ではないかもしれないが、イデアルに分解すれば一意の因数分解を回復できる。
↑ Weil (2007 , p. 5): 「ユークリッドでさえ、整数の素因数分解の一意性に関する一般的な記述を見つけることができない。確かに彼はそれを認識していたかもしれないが、彼が持っているのは、任意の数の素数の最小公倍数に関する記述（Eucl.IX.I4）だけである。」
↑ A. Goksel Agargun および E. Mehmet Özkan。「算術の基本定理の歴史的概観」（PDF）。Historia Mathematica : 209。ユークリッドは素因数分解の存在への第一歩を踏み出し、アル・ファリシは最初の命題で有限素因数分解の存在を実際に証明することで最終段階を踏み出したと言えるでしょう。
↑ラシェド、ロシュディ（2002年9月11日）。アラビア科学史百科事典。ラウトレッジ。385ページ。ISBN 9781134977246著名な物理学者であり数学者でもあるカマル・アルディン・アルファリシは、イブン・クッラの定理を代数的に証明しようと意図的に試みた論文をまとめた。この試みによって彼は最初の算術関数の理解と十分な準備を必要とし、その結果、算術の基本定理を初めて述べるに至った。

引用文献

1 2ガウス（1986年、論文16）
↑ガウス（1986年、論文131）
↑ロング（1972年、44ページ）
↑ペトフレッツォ＆バーキット（1970年、53ページ）
↑ハーディ＆ライト（2008 、理論2）
↑ロング（1972年、45ページ）
↑ペトフレッツォ＆バーキット（1970年、55ページ）
↑ハーディ＆ライト（2008年、§1.2）
↑ドーソン、ジョン W. (2015)、なぜもう一度証明するのか？数学実践における代替証明。、シュプリンガー、p. 45、ISBN 9783319173689
↑ガウス、BQ、§§ 31–34
↑ハーディ＆ライト（2008年、§14.6）

参考文献

『算術研究』はラテン語から英語とドイツ語に翻訳されている。ドイツ語版には、数論に関する彼の論文がすべて収録されている。すなわち、二次相互法則の証明、ガウス和の符号の決定、双二次相互法則の研究、そして未発表のノートなどである。

ガウス、カール・フリードリヒ（1986）、『算術研究』（第2版、改訂版）、アーサー・A・クラーク訳、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-96254-2
Gauss, Carl Friedrich (1965)、Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other places on Number Theory) (第 2 版) (ドイツ語)、Maser, H. 訳、ニューヨーク: Chelsea、ISBN 0-8284-0191-8

ガウスが発表した双二次相互法則に関する2つのモノグラフは、連続した番号の付いた節から構成されています。1つ目は§§ 1～23、2つ目は§§ 24～76です。これらの節を参照する脚注は「Gauss, BQ, § n 」の形式です。 『Disquisitiones Arithmeticae』を参照する脚注は「Gauss, DA, Art. n 」の形式です。

ガウス、カール・フリードリッヒ (1828)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio prima、ゲッティンゲン: コメント。社会科学領域、ゲッティンゲン 6
ガウス、カール・フリードリッヒ (1832)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio secunda、ゲッティンゲン: コメント。社会地理領域、ゲッティンゲン 7

これらはガウスの『著作集』第2巻65～92ページおよび93～148ページに収録されている。ドイツ語訳は『研究』 ドイツ語版の511～533ページおよび534～586ページにある。

ユークリッド（1956）、『原論』第2巻（第3巻～第9巻）、トーマス・リトル・ヒース訳（第2版完全版）、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-60089-5{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ハーディ、GH；ライト、EM（2008）[1938] 『数の理論入門』 、 DRヒース＝ブラウンおよびJHシルバーマン改訂。アンドリュー・ワイルズ序文。（第6 版）、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-921986-5MR 2445243、Zbl 1159.11001
ロング、カルビン・T. (1972) 『数論入門』（第2 版）、レキシントン：DCヒース・アンド・カンパニー、LCCN 77-171950 。
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), 『数論の基礎』、Englewood Cliffs: Prentice Hall、LCCN 77-81766 。
リーゼル、ハンス（1994）、『素数と因数分解のためのコンピュータ手法（第2版）』、ボストン：ビルクハウザー、ISBN 0-8176-3743-5
ワイル、アンドレ（2007）[1984]、『数論：ハンムラピからルジャンドルまでの歴史を通じたアプローチ』、モダン・ビルクハウザー・クラシックス、ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー、ISBN 978-0-817-64565-6

外部リンク

算術の基本定理はなぜ自明ではないのか？
最大公約数と算術の基本定理（cut-the-knotにて）。
PlanetMath: 算術の基本定理の証明
フェルマーの最終定理ブログ：一意分解は、アレクサンドリアのディオファントスからアンドリュー・ワイルズによる証明まで、フェルマーの最終定理の歴史を網羅したブログです。
ヘクター・ゼニル著「算術の基本定理」、 Wolfram Demonstrations Project、2007年。
グライム、ジェームズ（2012年2月3日）、「1と素数」、Numberphile、ブレイディ・ハラン、2021年12月11日にオリジナルからアーカイブ済み
算術の基本定理

[6] 代数的整数環では、素因数分解は一意ではないかもしれないが、イデアルに分解すれば一意の因数分解を回復できる。

[7] Weil (2007 , p. 5): 「ユークリッドでさえ、整数の素因数分解の一意性に関する一般的な記述を見つけることができない。確かに彼はそれを認識していたかもしれないが、彼が持っているのは、任意の数の素数の最小公倍数に関する記述（Eucl.IX.I4）だけである。」

[8] A. Goksel Agargun および E. Mehmet Özkan。「算術の基本定理の歴史的概観」（PDF）。Historia Mathematica : 209。ユークリッドは素因数分解の存在への第一歩を踏み出し、アル・ファリシは最初の命題で有限素因数分解の存在を実際に証明することで最終段階を踏み出したと言えるでしょう。

[9] ラシェド、ロシュディ（2002年9月11日）。アラビア科学史百科事典。ラウトレッジ。385ページ。ISBN 9781134977246著名な物理学者であり数学者でもあるカマル・アルディン・アルファリシは、イブン・クッラの定理を代数的に証明しようと意図的に試みた論文をまとめた。この試みによって彼は最初の算術関数の理解と十分な準備を必要とし、その結果、算術の基本定理を初めて述べるに至った。

[Gauss1801.loc=16-1] 1 2ガウス（1986年、論文16）

[2] ガウス（1986年、論文131）

[3] ロング（1972年、44ページ）

[4] ペトフレッツォ＆バーキット（1970年、53ページ）

[5] ハーディ＆ライト（2008 、理論2）

[10] ロング（1972年、45ページ）

[11] ペトフレッツォ＆バーキット（1970年、55ページ）

[12] ハーディ＆ライト（2008年、§1.2）

[13] ドーソン、ジョン W. (2015)、なぜもう一度証明するのか？数学実践における代替証明。、シュプリンガー、p. 45、ISBN 9783319173689

[14] ガウス、BQ、§§ 31–34

[15] ハーディ＆ライト（2008年、§14.6）

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[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

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[ b ]

[ c ]

[ d ] 。

[ 6 ]

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[ 9 ]

[ 10 ]

この環には[

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