指輪の交換

仮に${\displaystyle M}$モジュールは${\displaystyle S}$すると、それはモジュールとみなすことができる。${\displaystyle R}$アクション${\displaystyle R}$によって与えられる

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle m\cdot f(r)}$は、${\displaystyle S}$-モジュール構造${\displaystyle M}$[ ^{1 ]​}

スカラーの制限は、次の関数として見ることができる。${\displaystyle S}$-モジュール${\displaystyle R}$-モジュール。${\displaystyle S}$-準同型${\displaystyle u:M\to N}$自動的に${\displaystyle R}$-制限間の準同型${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$実際、もし${\displaystyle m\in M}$そして${\displaystyle r\in R}$、 それから

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$。

ファンクターとして、スカラーの制限は、スカラーの拡張ファンクターの右随伴である。

もし${\displaystyle R}$が整数環である場合、これは単に加群からアーベル群への忘却関手です。

させて${\displaystyle f:R\to S}$を2つの環間の準同型とし、${\displaystyle M}$モジュールになる${\displaystyle R}$テンソル積を考えてみましょう。${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$、 どこ${\displaystyle S}$左派と見なされている${\displaystyle R}$-モジュール経由${\displaystyle f}$。 以来${\displaystyle S}$はそれ自身に対する右モジュールでもあり、2 つのアクションは可換である。${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$のために${\displaystyle r\in R}$、${\displaystyle s,s'\in S}$（より正式な言葉で言えば、${\displaystyle S}$は${\displaystyle (R,S)}$-双加群)${\displaystyle M^{S}}$権利を継承する${\displaystyle S}$。それは次のように与えられます。${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$のために${\displaystyle m\in M}$、${\displaystyle s,s'\in S}$このモジュールは以下から入手したと言われています${\displaystyle M}$スカラーの拡張を通して。

非公式には、スカラーの拡張は「環とモジュールのテンソル積」であり、より正式には、双加群とモジュールのテンソル積の特殊な場合、つまりR加群と${\displaystyle (R,S)}$-bimodule はSモジュールです。

最も単純な例の1つは複素化であり、これはスカラーを実数から複素数に拡張するものです。より一般的には、任意の体拡張K < L が与えられた場合、スカラーをKからLに拡張することができます。体の言語では、体上のモジュールはベクトル空間と呼ばれ、したがってスカラーの拡張はK上のベクトル空間をL上のベクトル空間に変換します。これは、四元数化(実数から四元数への拡張)で行われるように、除算代数に対しても行うことができます。  

より一般的に言えば、体または可換環Rから環Sへの準同型写像が与えられた場合、環S はR上の結合代数とみなすことができ、したがってR加群上のスカラーを拡張すると、結果として得られる加群は、 S加群、またはSの代数表現( R代数として)を持つR加群とみなすことができる。例えば、実ベクトル空間 ( R = R、S = C ) を複素化した結果は、複素ベクトル空間 ( S加群) または線形複素構造を持つ実ベクトル空間( R加群としてのSの代数表現) のいずれかとして解釈できる。

この一般化は、体の研究にも役立ちます。特に、体に関連付けられた多くの代数的対象は、それ自体は体ではなく、表現論における体上の代数などの環です。スカラーをベクトル空間に拡張できるのと同様に、スカラーを群代数や群代数上の加群、つまり群表現にも拡張できます。特に有用なのは、既約表現がスカラーの拡張によってどのように変化するかの関係です。たとえば、平面を90°回転させて与えられる位数4の巡回群の表現は、既約2次元実表現ですが、スカラーを複素数に拡張すると、次元1の2つの複素表現に分割されます。これは、この演算子の特性多項式が、${\displaystyle x^{2}+1,}$実数体上では2次の既約数ですが、複素数体上では1次の2つの因数に分解されます。つまり、実数の固有値は持ちませんが、複素数の固有値は2つ持ちます。

スカラーの拡張は、からへのファンクターとして解釈できます。${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle S}$-モジュール。${\displaystyle M}$に${\displaystyle M^{S}}$上記のとおり、そして${\displaystyle R}$-準同型${\displaystyle u:M\to N}$へ${\displaystyle S}$-準同型$\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$定義される$\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$。