不完全な積分

数学的解析学において、不定積分とは、定積分の概念を、その種の積分に対する通常の仮定に反する場合に拡張したものである。^[1]リーマン積分（または、同等のダルブー積分）の文脈では、これは通常、積分が行われる集合または積分対象（積分される関数）のいずれか、またはその両方の非有界性を伴う。また、有界だが閉集合ではないものや、有界だが連続ではない関数を伴うこともある。不定積分は通常、標準の定積分と同じように記号で表わされるが、実際には定積分の極限またはそのような極限の合計を表しているため、不定積分は収束または発散すると言われる。^{[2] [1]}通常の定積分（レトロニミクス的に真積分と呼ばれることもある）を不定であるかのように解くと、同じ答えが得られる。

最も単純なケースでは、リーマン（またはダルブー）の意味で単一区間にわたって積分された単一変数の実数値関数の場合、不定積分は次のいずれかの形式になります。

1. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$
2. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$
3. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$
4. ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$、ここで は未定義または不連続である。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$

最初の 3 つの形式は、積分が無限区間にわたって行われるため不適切です。(以下で説明するように、他の理由でも不適切である可能性があります。) このような積分は、被積分関数が積分の仮定を満たしている場合、「第 1」タイプまたは種類であると説明されることがあります。^[2]区間のどこかに垂直漸近線があるために不適切である 4 番目の形式の積分は、「第 2」タイプまたは種類であると説明されることがあります。 [ ^2]両方のタイプの側面を組み合わせた積分は、「第 3」タイプまたは種類であると説明されることがあります。^[2]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$

上記の各ケースにおいて、積分が不適切となる原因に応じて、1つ以上の極限を使用して不適切積分を書き直す必要があります。たとえば、ケース1では、 が区間全体で連続している場合、 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,\infty )}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

右側の極限は左側の積分表記の定義とみなされます。

が自身で連続ではなく、のみで連続である場合、典型的にはこれは次のように書き直される。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (a,\infty )}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

の任意の選択に対してです。ここで、不定積分が収束すると言われるためには、両方の極限が有限値に収束する必要があります。この要件により、正の無限大と負の無限大を加算するあいまいなケース (つまり、「」不定形式) を回避できます。代わりに、反復極限を使用することも、コーシー主値に基づく単一の極限を使用することもできます。 ${\displaystyle c>a}$${\displaystyle \infty -\infty }$

がおよび上で連続であり、で何らかの不連続がある場合、 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,d)}$${\displaystyle (d,\infty )}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

の任意の選択に対して。不定形式、反復極限、コーシー主値に関する前述の説明はここでも当てはまります。 ${\displaystyle c>d}$

関数にはさらに多くの不連続点がある場合があり、その場合にはさらに多くの制限 (またはより複雑な主値式) が必要になります。 ${\displaystyle f(x)}$

ケース 2 ～ 4 も同様に処理されます。以下の例を参照してください。

不適正積分は、複素数、高次元、およびルベーグ積分やヘンストック・カーツワイル積分などの他の理論的枠組みのコンテキストでも評価できます。ある枠組みで不適正とみなされる積分が、他の枠組みでは不適正とみなされない場合があります。

リーマン積分の本来の定義は、区間[1, ∞)のような関数には適用されない。なぜなら、この場合、積分領域は無限だからである。しかし、リーマン積分は、不定積分を極限として定義することによって、連続性によって拡張されることが多い。${\displaystyle 1/{x^{2}}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$

リーマン積分の狭義の定義は、区間[0, 1]上の関数もカバーしません。ここでの問題は、積分領域で被積分関数が有界ではないことです。言い換えると、リーマン積分の定義では、積分領域と被積分関数の両方が有界である必要があります。ただし、極限として理解すれば、不定積分は存在します。 ${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$

積分には、不適切となる特異点が 2 つある場合があります。たとえば、関数1/(( x + 1) √ x )を 0 から∞まで積分した場合を考えます(右図)。積分領域の下限では、x が0 に向かうにつれて関数は∞に向かい、関数は 0 に向かっていますが、上限自体は∞です。したがって、これは二重に不適切積分です。たとえば、 1 から 3 まで積分すると、通常のリーマン和でπ /6という結果を得ることができます。1 から∞まで積分する場合、リーマン和は不可能です。ただし、有限の上限、たとえばt ( t > 1 ) は、明確に定義された結果、2 arctan( √ t ) − π/2をもたらします。これは、 t が無限大に向かうにつれて有限の極限、つまりπ /2 を持ちます。同様に、1/3 から 1 までの積分でもリーマン和が成り立ち、偶然にも π /6 が再び得られる。1 / 3 を任意の正の値s ( s < 1 ) に置き換えても同様に安全で、π/2 − 2 arctan( √s )が得られる。これもs がゼロに近づくにつれて有限の極限、つまりπ /2 を持つ。2 つのフラグメントの極限を組み合わせると、この不完全な積分の結果は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}$

このプロセスは成功を保証するものではありません。限界が存在しないか、無限である可能性があります。たとえば、0 から 1 までの制限された区間では1/ xの積分は収束しません。また、1 から∞までの制限のない区間では1/ √ xの積分は収束しません。

積分関数が内部点の近くで無限大になることもあります。その場合、積分はその点で分割されなければなりません。積分全体が収束するには、両辺の極限積分が存在し、かつ有界でなければなりません。例:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}$

しかし、同様の積分

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

積分領域内のゼロより上と下の積分は独立に収束しないため、この方法では値を割り当てることはできません。(ただし、コーシー主値を参照してください。)

不定積分は、それを定義する極限が存在する場合に収束する。したがって、例えば、不定積分は

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}$

十分に大きいtすべてに対して極限値の積分が存在する場合、極限値が存在し、 Lに等しくなり、極限値の値はLに等しくなります。

不定積分が無限大に発散する可能性もあります。その場合、積分に∞（または−∞）の値を割り当てることができます。例えば

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}$

しかし、他の不定積分は、単に特定の方向に発散しない可能性がある。例えば、

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

これは拡張された実数としても存在しません。これを振動による発散と呼びます。

不定積分法の限界は、極限を一度に1つの端点についてしかとれないことである。したがって、例えば、次のような不定積分は

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

2つの別々の限界をとることによって定義することができる。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

ただし、二重極限は有限である。これは、第一種不定積分の異なるペアとして定義することもできる。

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

ここで、c は積分を開始する任意の便利な点です。この定義は、これらの積分のうちの 1 つが無限大の場合、または両方の積分が同じ符号を持つ場合にも適用されます。

両端が無限大となる不定積分の例としては、ガウス積分がある 。無限大と評価される例としては がある。しかし、 のようなこの種の他の積分は、二重極限が無限大であり、2積分法では ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}$

は不定形式となります。ただし、この場合、コーシー主値の意味で不定積分を定義することができます。 ${\displaystyle \infty -\infty }$

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}$

不定積分を決定する際に対処しなければならない質問は次のとおりです。

• 限界はあるのでしょうか？
• 限界を計算できますか?

最初の問題は数学的分析の問題です。2 番目の問題は微積分技術で解決できますが、場合によっては輪郭積分、フーリエ変換、その他のより高度な方法で解決することもできます。

積分理論は複数存在します。微積分の観点からは、通常、リーマン積分理論がデフォルトの理論とみなされます。不定積分を使用する場合、どの積分理論が適用されるかが問題になることがあります。

• リーマン積分（またはそれと同等のダルブー積分）の場合、非有界区間（区間を有限長の有限個の部分区間に分割できないため）と有限積分を持つ非有界関数（上が非有界であると仮定すると、上側の積分は無限大になるが、下側の積分は有限になるため）の両方で不定積分が必要です。
• ルベーグ積分は、非有界領域と非有界関数に対しては異なる扱いをするため、不適正リーマン積分としてのみ存在する積分が、（適正）ルベーグ積分として存在することがよくあります。たとえば、 などです。一方、不適正リーマン積分を持つが（適正）ルベーグ積分を持たない積分もあります。ルベーグ理論では、これは欠陥とは見なされません。測度論の観点からは、であり、満足に定義できません。ただし、状況によっては、たとえばコーシー主値を定義する場合のように、不適正ルベーグ積分を使用する方が便利な場合があります。ルベーグ積分は、実数線全体にわたる積分の広範な使用を伴うフーリエ変換の理論的処理において多かれ少なかれ不可欠です。${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$
• ヘンストック-カーツワイル積分では、不適切積分は必要ではなく、これは理論の強みと見なされています。つまり、すべてのルベーグ積分可能関数と不適切リーマン積分可能関数を網羅しています。

場合によっては、積分

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}$

は、極限を参照せずに積分（例えば ルベーグ積分）として定義することができる。

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

しかし、それ以外では都合よく計算できません。これは、 aからcまで積分される関数f がcで垂直漸近線を持つ場合、またはc  = ∞ の場合によく発生します (図 1 および 2 を参照)。このような場合、不定リーマン積分を使用すると、関数のルベーグ積分を計算できます。具体的には、次の定理が成り立ちます (Apostol 1974、定理 10.33)。

• 関数f が任意のb  ≥  aに対して[ a , b ]上でリーマン積分可能であり、部分積分が

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

がb  → ∞で有界となる場合、不定リーマン積分

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{and }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}$

両方とも存在する。さらに、f は[ a ,∞)上でルベーグ積分可能であり、そのルベーグ積分はその不定リーマン積分に等しい。

例えば、積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

は、不定積分として解釈することもできる。

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

あるいは、集合 (0, ∞) 上のルベーグ積分として解釈されることもあります。これら 2 種類の積分は一致するため、最終的にルベーグ積分と見なしたい場合でも、積分の値を計算する最初の方法を自由に選択できます。したがって、不定積分は積分の実際の値を取得するのに役立つツールであることは明らかです。

しかし、他の場合には、有限の端点間のルベーグ積分は定義されないかもしれない。なぜなら、fの正の部分と負の部分の積分は両方とも無限だからであるが、不完全なリーマン積分は依然として存在するかもしれないからである。そのような場合は「適切に不完全な」積分であり、つまり、それらの値はそのような極限以外では定義できない。例えば、

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

ルベーグ積分として解釈することはできない。なぜなら

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$

しかし、任意の2つの有限の端点の間では積分可能であり、0と∞の間の積分は通常、積分の極限として理解されます。 ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

不定積分の特異点、つまり、限界が使用される 拡張された実数直線上の点について話すことができます。

2 つの限界値の違いを考えてみましょう。

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}$

前者は、それ以外は定義が曖昧な表現のコーシー主値である。

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

同様に、

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}$

しかし

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

前者は、それ以外では定義が曖昧な表現の主な価値である。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

上記の極限はすべて不定形 の場合です。 ${\displaystyle \infty -\infty }$

これらの病状は、「ルベーグ積分可能」な関数、つまり積分の絶対値が有限である関数には影響しません。

不定積分は、それを定義する極限が存在しないという意味で発散することがあります。この場合、不定積分に対して収束値を生成できる、より洗練された極限の定義があります。これらは総和可能性法と呼ばれます。

フーリエ解析でよく使われる和算法の一つにチェザロ和法がある。積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

Cesàro は要約可能 (C, α) であるか

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}$

存在し、有限である（Titchmarsh 1948、§1.15）。この極限の値は、存在する場合、積分の（C、α）の合計です。

積分が (C, 0) 和可能となるのは、それが不定積分として存在するときである。しかし、α > 0 に対して (C, α) 和可能でありながら、不定積分として収束しない積分も存在する（リーマンやルベーグの意味で）。一例として、積分は次のようになる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}$

これは不定積分としては存在しないが、任意のα >0に対して(C, α )は加算可能である。これはグランディ級数 の積分バージョンである。

不定積分は、複数の変数を持つ関数に対しても定義できます。 のような無限領域での積分が必要なのか、 のような特異点を持つ関数の積分が必要なのかによって、定義は若干異なります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}$

が の形のあらゆるコンパクト立方体上でリーマン積分可能な非負関数である場合、 に対して、上のfの不定積分は、極限として定義される。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [-a,a]^{n}}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}f,}$

存在する限り。

任意の領域A上の関数は、 Aの外側では0 によって拡張されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}}$

有界領域A上の関数のリーマン積分は、 Aを含む立方体上の拡張関数の積分として定義されます。 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle [-a,a]^{n}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$

より一般的には、Aが非有界である場合、任意の領域上の不定リーマン積分は極限として定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{a\to \infty }\int _{A\cap [-a,a]^{n}}f=\lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$

f が領域Aで有界でない非負関数である場合、fの不定積分は、 f をあるカットオフMで切り捨て、その結果得られる関数を積分し、次にM が無限大に近づくときの極限をとることによって定義されます。つまり、 の場合、 と設定します。次に定義します。 ${\displaystyle M>0}$${\displaystyle f_{M}=\min\{f,M\}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{M\to \infty }\int _{A}f_{M}}$

ただし、この制限が存在する場合。

これらの定義は非負関数に適用されます。より一般的な関数fは、その正の部分と負の部分の差として分解できるため、 ${\displaystyle f_{+}=\max\{f,0\}}$${\displaystyle f_{-}=\max\{-f,0\}}$

${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$

と は両方とも非負関数である。関数f が不定リーマン積分を持つのは、とのそれぞれが不定リーマン積分を持つ場合であり、その場合、その不定積分の値は次のように定義される。 ${\displaystyle f_{+}}$${\displaystyle f_{-}}$${\displaystyle f_{+}}$${\displaystyle f_{-}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{A}f_{+}-\int _{A}f_{-}.}$

この意味で存在するためには、不定積分は必ず絶対収束する。

${\displaystyle \int _{A}|f|=\int _{A}f_{+}+\int _{A}f_{-}.}$^{[3] [4]}

• アポストル、T (1974)、数学的解析、アディソン・ウェズレー、ISBN 978-0-201-00288-1。
• アポストル、T (1967)、微積分学、第 1 巻(第 2 版)、ジョン ワイリー & サンズ。
• Autar Kaw、Egwu Kalu (2008)、数値解析法とその応用 (第 1 版)、autarkaw.com
• ティッチマーシュ、E（1948）、フーリエ積分理論入門（第2版）、ニューヨーク、ニューヨーク：チェルシー出版（1986年出版）、ISBN 978-0-8284-0324-5。
• クーパー、ジェフリー（2005）、ワーキング分析、ガルフプロフェッショナル
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010)、多変数解析学コース、Springer

• Holistic Numerical Methods Institute における不定積分を解く数値手法