クラフチュク多項式 または クラフチュク多項式 （ウクライナ語の姓 Кравчу́к の他のいくつかの音訳を使用して表記される）は、 ミハイロ・クラフチュク （1929）によって導入された 二項分布 に関連付けられた 離散 直交多項式 です 。最初のいくつかの多項式は次のとおりです（ q = 2の場合）。
け
0
（ x ; ん ） = 1 、
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x;n)=1,}
け
1
（ x ; ん ） = − 2 x + ん 、
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x;n)=-2x+n,}
け
2
（ x ; ん ） = 2
x
2
− 2 ん x +
（
ん 2
）
、
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x;n)=2x^{2}-2nx+{\binom {n}{2}},}
け
3
（ x ; ん ） = −
4 3
x
3
+ 2 ん
x
2
− （
ん
2
− ん +
2 3
） x +
（
ん 3
）
。
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x;n)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2nx^{2}-(n^{2}- n+{\frac {2}{3}})x+{\binom {n}{3}}.}
クラフチュク多項式は、第一種
メイクスナー多項式 の特殊なケースです。
意味 任意の素数べき q と正の整数 n に対して 、クラフチュク多項式を定義する。
け
け
（ x ; ん 、 q ） =
け
け
（ x ） =
∑
じゅう = 0
け
（ − 1
）
じゅう
（ q − 1
）
け − じゅう
（
x じゅう
）
（
ん − x
け − じゅう
）
、 け = 0 、 1 、 … 、 ん 。
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)={\mathcal {K}}_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}( -1)^{j}(q-1)^{kj}{\binom {x}{j}}{\binom {nx}{kj}},\quad k=0,1,\ldots ,n。 }
プロパティ クラフチュク多項式には、次の代替表現があります。
け
け
（ x ; ん 、 q ） =
∑
じゅう = 0
け
（ − q
）
じゅう
（ q − 1
）
け − じゅう
（
ん − じゅう
け − じゅう
）
（
x じゅう
）
。
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-q)^{j}(q-1)^{kj }{\binom {nj}{kj}}{\binom {x}{j}}.}
け
け
（ x ; ん 、 q ） =
∑
じゅう = 0
け
（ − 1
）
じゅう
q
け − じゅう
（
ん − け + じゅう
じゅう
）
（
ん − x
け − じゅう
）
。
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}q^{kj}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {nx}{kj}}.}
対称関係 整数については 、
私 、 け ≥ 0
{\displaystyle i,k\geq 0}
（ q − 1
）
私
（
ん 私
）
け
け
（ 私 ; ん 、 q ） = （ q − 1
）
け
（
ん け
）
け
私
（ け ; ん 、 q ） 。
{\displaystyle {\begin{aligned}(q-1)^{i}{n \choose i}{\mathcal {K}}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{k}{n \choose k}{\mathcal {K}}_{i}(k;n,q).\end{aligned}}}
直交関係 非負整数 r 、 s の場合、
∑
私 = 0
ん
（
ん 私
）
（ q − 1
）
私
け
r
（ 私 ; ん 、 q ）
け
s
（ 私 ; ん 、 q ） =
q
ん
（ q − 1
）
r
（
ん r
）
δ
r 、 s
。
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n,q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r,s}.}
生成関数 Kravchuk 多項式の生成級数は以下のように与えられます。ここに 形式 変数 があります。
ず
{\displaystyle z}
（ 1 + （ q − 1 ） ず
）
ん − x
（ 1 − ず
）
x
=
∑
け = 0
∞
け
け
（ x ; ん 、 q ）
ず
け
。
{\displaystyle {\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{nx}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}}
3期再発 クラフチュク多項式は3項再帰関係を満たす。
x
け
け
（ x ; ん 、 q ） = − q （ ん − け ）
け
け + 1
（ x ; ん 、 q ） + （ q （ ん − け ） + け （ 1 − q ） ）
け
け
（ x ; ん 、 q ） − け （ 1 − q ）
け
け − 1
（ x ; ん 、 q ） 。
{\displaystyle {\begin{aligned}x{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)=-q(n-k){\mathcal {K}}_{k+1}(x;n,q)+(q(n-k)+k(1-q)){\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)-k(1-q){\mathcal {K}}_{k-1}(x;n,q).\end{aligned}}}
参照
参考文献 Kravchuk, M. (1929)、「Sur une généralisation des Polynomes d'Hermite」、 Comptes Rendus Mathématique (フランス語)、 189 : 620–622、 JFM 55.0799.01 コーンワインダー、トム H.ウォン、ロデリック SC。ロエロフ・コエコーク。 Swarttouw、René F. (2010)、「Hahn Class: Definitions」、 Olver、Frank WJ ;ロジエ、ダニエル M.ボワヴェール、ロナルド F. Clark, Charles W. (編)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 Nikiforov, AF; Suslov, SK; Uvarov, VB (1991)、「 離散変数の古典直交多項式」 、Springer Series in Computational Physics、ベルリン：Springer-Verlag、 ISBN 3-540-51123-7 、 MR 1149380 。 Levenshtein, Vladimir I. (1995)、「Krawtchouk 多項式とハミング空間におけるコードと設計の普遍的境界」、 IEEE Transactions on Information Theory 、 41 (5): 1303–1321、 doi :10.1109/18.412678、 MR 1366326 。 MacWilliams, FJ; Sloane, NJA (1977)、 誤り訂正符号の理論 、North-Holland、 ISBN 0-444-85193-3
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、クラフチュク多項式 に関連するメディアがあります 。
Krawtchouk 多項式ホームページ MathWorld の「Krawtchouk 多項式」 
