正規特異点

数学において、複素平面上の常微分方程式の理論では、点は、方程式の係数が解析関数である通常点と、ある係数が特異点を持つ特異点に分類されます。特異点の中でも、解の増加が（任意の小セクター内で）代数関数によって制限される正規特異点と、完全な解の集合に高い増加率を持つ関数が必要になる不規則特異点との間に重要な区別があります。この区別は、たとえば、 3 つの正規特異点を持つ超幾何方程式と、ある意味では極限の場合であるが解析特性が大幅に異なる ベッセル方程式との間に生じます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

より正確には、 pi ( z )有理_型関数 を持つn次 の通常の線形微分方程式を考えます。 $${\displaystyle f^{(n)}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0}$$

この方程式は、無限遠点を特異点として含めるためにリーマン球面上で研究する必要があります。必要に応じて、メビウス変換を適用して、∞ を複素平面の有限部分に移動することができます。以下のベッセル微分方程式の例を参照してください。

次に、指数方程式に基づくフロベニウス法を適用して、複素平面上の任意のaの近くで、複素累乗( z − a ) ^{r の}累乗級数である可能な解を求めることができます。ここで、 r は整数である必要はありません。したがって、この関数は、aから外側に伸びる分岐カット、またはa の周りの穴の開いた円板のリーマン面上でのみ存在できます。これは、 aが通常の点である場合は困難ではありません( Lazarus Fuchs 1866)。a が正規特異点である場合、つまり定義により aでi以下の位数の極を持つ場合、フロベニウス法も機能するようにし て、aの近くで n 個の独立した解を提供することができます。 $${\displaystyle p_{ni}(z)}$$

それ以外の場合、点aは不規則特異点です。その場合、解析接続による解を関連付けるモノドロミー群は一般にはあまり意味がなく、漸近展開以外では解を研究することが難しくなります。不規則特異点の不規則性はポアンカレ階数によって測定されます (Arscott (1995))。

正則性条件は、 iに対してプロットされたときに、軸に対して 45° の線で囲まれた 領域内に許容される極が存在するという意味で、ニュートン多角形条件の一種です。

無限遠点を含む唯一の特異点が正規特異点である常微分方程式はフックス方程式と呼ばれる。常微分方程式。

この場合、上記の式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.}$$

次のケースを区別します。

• 関数p ₁ ( x )とp ₀ ( x )がx = aで解析的である場合、点aは通常の点です 。
• p ₁ ( x ) がx = aにおいて 1 次までの極を持ち、p _{0 が}x = aにおいて 2 次までの極を持つ場合、点aは正規特異点です。
• それ以外の場合、点aは不規則特異点です。

置換と関係式を使用して、無限遠に不規則な特異点があるかどうかを確認できます。 ${\displaystyle w=1/x}$$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}}$$

したがって、方程式をwの方程式に変換し、 w = 0で何が起こるかを確認できます。と が多項式の商である場合、の分母の多項式の次数が分子の次数より少なくとも 1 大きく、 の分母の次数が分子の次数より少なくとも 2 大きくない 限り、無限xに不規則な特異点があります。${\displaystyle p_{1}(x)}$${\displaystyle p_{2}(x)}$${\displaystyle p_{1}(x)}$${\displaystyle p_{2}(x)}$

以下に、特異点と既知の解を持つ数理物理学の常微分方程式のいくつかの例を示します。

これは 2 次常微分方程式です。これは 、任意の実数または複素数α (ベッセル関数の次数) に対して、 円筒座標におけるラプラス方程式の解として見つかります。最も一般的で重要な特殊なケースは、 αが整数nである場合です。 $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0}$$

この式をx ²で割ると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.}$$

この場合、 p ₁ ( x ) = 1/ xはx = 0で 1 次の極を持ちます。α ≠ 0の場合、p ₀ ( x ) = (1 − α ² / x ² )はx = 0で 2 次の極を持ちます。 したがって、この方程式は 0 で正規の特異点を持ちます。

x → ∞のときに何が起こるかを見るには、たとえばメビウス変換を使用する必要があります。代数を実行すると、次のようになります。 ${\displaystyle x=1/w}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0}$$

ここで、では 1 次の極を持ちますが、 は 4 次の極を持ちます。したがって、この方程式は、 ∞ でのxに対応するで不規則な特異点を持ちます。 ${\displaystyle w=0}$ $${\displaystyle p_{1}(w)={\frac {1}{w}}}$$$${\displaystyle p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}}$$${\displaystyle w=0}$

これは2次の常微分方程式です。球座標におけるラプラス方程式の解として見つかります。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.}$$

角括弧を開くと次のようになります。 $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+\ell (\ell +1)f=0.}$$

そして(1 − x ² )で割ると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{1-x^{2}}}f=0.}$$

この微分方程式には、±1 と ∞ に正規の特異点があります。

この通常の2階微分方程式は、調和振動子 の1次元時間独立シュレーディンガー方程式を 解くときに登場します。この場合、位置エネルギーV ( x ) は次のようになります。 $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi }$$$${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$$

これにより、次の常微分方程式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.}$$

この微分方程式は∞で不規則な特異点を持ちます。その解はエルミート多項式です。

この式は次のように定義される。 $${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.}$$

両辺をz (1 − z )で割ると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.}$$

この微分方程式は 0、1、∞ に正規特異点を持ちます。解は超幾何関数です。

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