普遍代数

普遍代数学(一般代数学と呼ばれることもある) は、代数構造の例 (「モデル」) ではなく、代数構造そのものを研究する数学の分野です。たとえば、普遍代数学では、特定のグループを研究対象とするのではなく、グループのクラスを研究対象とします。

普遍代数では、代数(または代数構造) は集合 AとAに対する演算の集合です。

Aのn項演算は、 Aのn個の 要素を受け取り、 Aの単一の要素を返す関数です。したがって、 0項演算 (またはゼロ項演算) は、 Aの要素、または定数として簡単に表すことができ、多くの場合、 aのような文字で表されます。 1 項演算 (または単項演算) は、 AからAへの関数であり、多くの場合、 ~ xのように、引数の前に記号を置いて表されます。 2 項演算 (または二項演算) は、多くの場合、 x  ∗  yのように、引数の間に記号を置いて表されます (インフィックス表記法とも呼ばれます) 。 より高次の演算や引数が指定されていない演算は通常、関数記号で表され、引数はf ( x , y , z ) またはf ( x ₁ ,..., x _n ) のように括弧で囲まれ、カンマで区切られます。代数について語る一つの方法は、それを特定のタイプの代数と呼ぶことです。ここで、 は代数の演算のアリティを表す自然数の順序付けられた列です。しかし、一部の研究者は、 などの無限演算も認めています。ここで、Jは無限のインデックス セットで、これは完全格子の代数理論における演算です。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }}$

演算が指定された後、代数の性質は公理によってさらに定義されます。公理は、普遍代数では恒等式または等式法則の形をとることがよくあります。 一例として、二項演算の結合公理があります。これは、等式x  ∗ ( y  ∗  z ) = ( x  ∗  y ) ∗  zで与えられます。この公理は、集合Aのすべての要素x、y、zに対して成立することを目的としています。

恒等式によって定義される代数構造の集合は、多様体または等式クラスと呼ばれます。

研究を品種に限定すると、次のことが除外されます。

• 量化、 等式の前を除く全称量化（∀）と存在量化（∃）を含む
• 接続詞以外の論理接続詞（∧）
• 等式以外の関係、特に不等式、a ≠ b、順序関係

等式クラスの研究は、モデル理論の特別な分野と見なすことができます。これは、通常、演算のみを持つ構造 (つまり、型は関数のシンボルを持つことができますが、等式以外の関係のシンボルを持つことはできません) を扱い、これらの構造について説明するために使用される言語では等式のみを使用します。

広い意味での代数構造のすべてがこの範囲に該当するわけではありません。たとえば、順序付きグループには順序関係が含まれるため、この範囲には該当しません。

体のクラスは、すべての体の法則を方程式として記述できる型 (または「シグネチャ」) がないため、方程式クラスではありません (体のすべての非ゼロ要素に対して要素の逆が定義されているため、逆を型に追加することはできません)。

この制限の利点の 1 つは、普遍代数で研究される構造が、有限積を持つ任意のカテゴリで定義できることです。たとえば、位相群は、位相空間のカテゴリ内のグループにすぎません。

数学の通常の代数システムのほとんどは多様体の例ですが、通常の定義には量化や不等式が含まれることが多いため、必ずしも明白な例であるとは限りません。

例として、群の定義を考えてみましょう。通常、群は単一の二項演算 ∗ に基づいて定義され、次の公理に従います。

• 結合性（前のセクションと同じ）： x  ∗ ( y  ∗  z ) = ( x  ∗  y ) ∗  z ; 形式的には： ∀ x , y , z。x ∗( y ∗ z )=( x ∗ y )∗ z。
• 単位元:各元xに対して、 e  ∗  x   =  x   =  x  ∗  eが成り立つような元eが存在する。正式には、 ∃ e ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ eである。
• 逆元: 単位元は一意であることが容易にわかり、通常はeで表されます。この場合、各xに対して、 x  ∗  i   =  e   =  i  ∗  xとなる元i が存在します。正式には、 ∀ x  ∃ i .  x ∗ i = e = i ∗ xです。

(著者の中には、xとy がA に属する場合は常にx  ∗  y もAに属するという「閉包」公理を使用する人もいますが、ここでは ∗ を二項演算と呼ぶことでこれがすでに暗示されています。)

この群の定義は、普遍代数の観点にすぐには当てはまりません。なぜなら、単位元と反転の公理は、単に「すべての...」元に対して普遍的に成立する等式法則の観点から述べられているのではなく、「...が存在する」という存在量指定子も含んでいるからです。群の公理は、二項演算 ∗ に加えて、ゼロ演算eと単項演算 ~ を指定することにより、普遍量化方程式として表現できます。この場合、 ~ x は通常、 x ⁻¹と記述されます。公理は次のようになります。

• 結合性: x ∗ ( y ∗ z ) =  ( x ∗ y ) ∗ z。
• 恒等元: e ∗ x  =  x  =  x ∗ e ; 形式的には: ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ e .
• 逆元: x ∗ (~ x ) =  e  =  (~ x ) ∗ x ; 形式的には: ∀ x . x ∗~ x = e =~ x ∗ x .

要約すると、通常の定義は次のとおりです。

• 単一の二項演算（シグネチャ（2））
• 1 等式法則（結合法則）
• 2 つの定量化された法則 (恒等法則と逆法則)

一方、普遍代数の定義は次のようになります。

• 3 つの演算: 2 項演算 1 つ、単項演算 1 つ、および 0 項演算 1 つ (シグネチャ (2, 1, 0) )
• 3 つの等式法則 (結合法則、恒等法則、逆法則)
• 量化法則はない（多様体で許可される最外部の全称量化子を除く）

重要な点は、追加の演算によって情報が追加されるのではなく、グループの通常の定義から一意に導かれるということです。通常の定義では単位元e が一意に指定されませんでしたが、簡単な演習で、各元の逆元と同様に、単位元 e が一意であることが示されます。

普遍代数の観点は、圏論によく適合しています。たとえば、圏論で群オブジェクトを定義する場合、問題の対象が集合ではない可能性があるので、量化された法則（個々の要素を参照する）ではなく、等式法則（一般的な圏で意味をなす）を使用する必要があります。さらに、逆と恒等写像は、圏の射として指定されます。たとえば、位相群では、逆は要素ごとに存在するだけでなく、連続写像（射）を与える必要があります。著者によっては、恒等写像が閉じた包含（コファイブレーション）であることも要求しています。

ほとんどの代数構造は普遍代数の例です。

• リング、半群、準群、類群、マグマ、ループなど。
• 固定体上のベクトル空間と固定環上の加群は普遍代数です。これらには、体または環の各要素ごとに 1 つずつ、2 項加算と 1 項スカラー乗算演算子の族があります。

リレーショナル代数の例には、半格子、格子、ブール代数などがあります。

型が固定されていると仮定します。すると、普遍代数には準同型像、部分代数、積という 3 つの基本的な構成が存在します。 ${\displaystyle \オメガ}$

2 つの代数AとB の間の準同型とは、集合Aから集合Bへの関数h  : A → Bであって、 Aのすべての演算f _Aとそれに対応するBのf _B (引数の数、たとえばn ) に対して、h ( f _A ( x ₁ , ..., x _n )) = f _B ( h ( x ₁ ), ..., h ( x _n )) が成り立つことです。(関数がどの代数からのものか文脈から明らかな場合は、fの添え字が省略されることもあります。) たとえば、 e が定数 (無項演算) の場合、h ( e _A ) =  e _Bです。 ~ が単項演算の場合、h (~ x ) = ~ h ( x ) です。 ∗ が二項演算の場合、h ( x  ∗  y ) = h ( x ) ∗  h ( y ) です。以下同様です。準同型写像でできることのいくつかと、ある種の特殊な準同型写像の定義は、準同型写像の項にリストされています。特に、代数の準同型像h ( A )を取ることができます。

Aの部分代数は、Aのすべての演算に対して閉じているAの部分集合です。代数構造の何らかの集合の積は、演算が座標的に定義された集合の 直積です。

• 同型定理は、群、環、加群などの同型定理を網羅します。
• バーコフの HSP 定理は、代数のクラスが多様体であるためには、それが準同型像、部分代数、および任意の直積に対して閉じている必要があることを述べています。

普遍代数は、統一的なアプローチに加えて、深い定理と重要な例や反例も提供します。新しいクラスの代数の研究を始めようとしている人にとって、これは便利なフレームワークです。普遍代数の観点から (可能な場合) 方法を再構成し、他のクラスに適用したと解釈することで、特定のクラスの代数用に考案された方法を他のクラスの代数に使用できます。また、概念の明確化も提供しました。JDH Smith が述べているように、「特定のフレームワークでは乱雑で複雑に見えるものも、適切な一般的なフレームワークでは単純で明白になることがあります。」

特に、普遍代数はモノイド、環、格子の研究に適用できます。普遍代数が出現する前は、多くの定理（最も有名なのは同型定理）がこれらすべてのクラスで個別に証明されていましたが、普遍代数を使用すると、あらゆる種類の代数システムに対してそれらを一度で証明できます。

以下に参照されているヒギンズの 1956 年の論文は、さまざまな特定の代数システムの枠組みとしてよく引き継がれており、一方、1963 年の論文は、部分的にしか定義されていない演算を持つ代数 (その典型的な例としてカテゴリと群) について論じていることで注目に値します。これは、高次元代数の主題につながります。高次元代数は、幾何学的条件下で定義されるドメインを持つ部分演算を持つ代数理論の研究として定義できます。これらの注目すべき例としては、さまざまな形式の高次元カテゴリと群があります。

普遍代数は、制約充足問題 (CSP)の自然言語を提供します。CSP は、関係代数Aとこの代数上の存在文が与えられた場合に、 Aで が満たされるかどうかを調べるという重要な計算問題のクラスを指します。代数Aは固定されていることが多いため、CSP _{A は}インスタンスが存在文のみである問題を指します。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$

あらゆる計算問題は、何らかの代数Aに対してCSP _Aとして定式化できることが証明されている。^[1]

たとえば、n色問題は、代数({0, 1, ..., n −1}, ≠)、つまりn個の要素と 1 つの関係 (不等式) を持つ代数の CSP として表現できます。

二分法予想（2017年4月に証明）は、Aが有限代数である場合、CSP _AはPまたはNP完全であると述べています。^[2]

普遍代数は、圏論の手法を用いて研究されてきた。このアプローチでは、演算のリストとそれらの演算が従う方程式を書く代わりに、ローヴェア理論またはより一般的には代数理論として知られる特殊な種類の圏を使用して代数構造を記述することができる。あるいは、モナドを使用して代数構造を記述することもできる。この2つのアプローチは密接に関連しており、それぞれに利点がある。^[3] 特に、すべてのローヴェア理論は集合の圏にモナドを与えるが、集合の圏の「有限」モナドはすべてローヴェア理論から生じる。しかし、モナドは特定の1つの圏（たとえば集合の圏）内の代数構造を記述するのに対し、代数理論は任意の大きなクラスの圏（つまり有限積を持つもの）内の構造を記述する。

カテゴリー理論の最近の発展はオペラド理論である 。オペラドは普遍代数に似た演算の集合であるが、方程式は変数を含む式の間でのみ許可され、変数の重複や省略は許可されないという制限がある。^[4]したがって、環は、ある種のオペラドのいわゆる「代数」として記述できるが、群としては記述できない。なぜなら、法則gg ⁻¹ = 1は、変数g を左側で重複させ、右側で省略するからである。最初はこれは厄介な制限のように思えるかもしれないが、その代わりにオペラドには特定の利点がある。たとえば、環とベクトル空間の概念を混成して結合代数の概念を得ることができるが、群とベクトル空間の概念を同様に混成することはできない。^[5]

もう一つの発展は、演算子が部分関数になる部分代数である。特定の部分関数は、「本質的に代数的な理論」として知られるローヴェア理論の一般化によっても扱うことができる。^[6]

普遍代数のもう一つの一般化はモデル理論であり、これは「普遍代数+論理」と表現されることもある。^[7]

1898年に出版されたアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドの著書『普遍代数学』では、普遍代数学という用語は本質的に今日と同じ意味を持っていました。ホワイトヘッドは、ウィリアム・ローワン・ハミルトンとオーガスタス・ド・モーガンをこの主題の創始者とし、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターをこの用語の造語者として挙げています。^{[8] : v}

当時、リー代数や双曲四元数などの構造は、結合乗法クラスを超えて代数構造を拡張する必要性に注目を集めました。アレクサンダー・マクファーレンはレビューで次のように書いています。「この研究の主なアイデアは、いくつかの方法の統一でも、それらを包含するように通常の代数を一般化することでもない。むしろ、それらのいくつかの構造の比較研究である。」^[9]当時、ジョージ・ブールの論理代数は通常の数代数と強く対照的であったため、「普遍的」という用語は緊張した感情を落ち着かせるのに役立ちました。

ホワイトヘッドの初期の研究は、四元数（ハミルトンによる）、グラスマンの外部定義、ブールの論理代数 の統一を目指したものでした。ホワイトヘッドは著書の中で次のように書いています。

「このような代数は、個別に詳細に研究する価値を本質的に有している。また、記号推論の一般理論、特に代数記号論に光が当てられるため、比較研究にも価値がある。比較研究は必然的に、事前の個別の研究を前提としており、知識なしに比較は不可能である。」^[8]

しかし、ホワイトヘッドは一般的な性質の結果を持っていなかった。この主題に関する研究は、ギャレット・バーコフとオイステイン・オーレが普遍代数に関する論文を発表し始めた1930年代初頭まではほとんど行われていなかった。 1940年代と1950年代のメタ数学と圏論の発展、特にアブラハム・ロビンソン、アルフレッド・タルスキ、アンジェイ・モストフスキとその学生たちの研究がこの分野を発展させた。 ^[10]

1935年から1950年にかけての期間、ほとんどの論文はバーコフの論文で示唆された方向に沿って書かれ、自由代数、合同格子と部分代数格子、準同型定理を扱っていた。数理論理学の発達によって代数への応用が可能になったが、その実現は遅々として進まなかった。1940年代にアナトリー・マルツェフが発表した成果は戦争のために注目されなかった。1950年にケンブリッジで開催された国際数学者会議でのタルスキの講義は、主にタルスキ自身、C.C.チャン、レオン・ヘンキン、ビャルニ・ヨンソン、ロジャー・リンドンらによってモデル理論的側面が発展する新しい時代の到来を告げた。

1950年代後半、エドワード・マルチェフスキ^[11]は自由代数の重要性を強調し、マルチェフスキ自身、ヤン・ミシェルスキ、ヴワディスワフ・ナルキエヴィチ、ヴィトルド・ニトカ、J.プロンカ、S.シュフィエルチコフスキ、K.アーバニクらとともに自由代数の代数理論に関する50以上の論文を発表した。

1963年のウィリアム・ローヴェアの論文を皮切りに、圏論の手法は普遍代数学において重要になってきた。^[12]

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• 普遍代数幾何学
• 単純代数（普遍代数）

• Algebra Universalis — 普遍代数学に特化したジャーナル。