グループのクラス

群のクラスは、 Gがその集合に含まれる場合、 Gと同型なすべての群もその集合に含まれるという性質を満たす、集合論的な群の集合です。この概念は、特定の特殊な性質 (たとえば、有限性や可換性) を満たす一連の群を扱う必要性から生まれました。集合論では「すべての群の集合」は認められないため、より一般的なクラスの概念を扱う必要があります。

グループのクラス とは、かつとなるグループのコレクションです。 クラス内のグループは-グループと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G\in {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G\cong H}$${\displaystyle H\in {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

群の集合 に対して、を含む群の最小のクラスを で表します。特に、群 に対して、その同型クラスを表します。 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {I}})}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (G)}$

グループのクラスの最も一般的な例は次のとおりです。

• ${\displaystyle \emptyset }$:グループの空のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}~}$:巡回群のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {A}}~}$:アーベル群のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {U}}~}$: 有限超可解群のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {N}}~}$:冪零群のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}~}$: 有限可解群のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {I}}~}$: 有限単純群のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {F}}~}$:有限群のクラス
• ${\displaystyle {\mathfrak {G}}~}$: すべてのグループのクラス

2つのグループのクラスが与えられ、クラスの積が定義される。${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}=(G\mid G{\text{ has a normal subgroup }}N\in {\mathfrak {X}}{\text{ with }}G/N\in {\mathfrak {Y}}).}$

この構造により、クラスの能力を再帰的に定義することができる。

${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{0}=(1)}$そして${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{n}={\mathfrak {X}}^{n-1}{\mathfrak {X}}.}$

群のクラスのクラスに対するこの二項演算は結合的でも可換的でもないことに注意する必要があります。たとえば、次数 4 (および位数12) の交代群を考えます。この群は、 に属する群を部分群として持ち、さらにに含まれるを持つため、クラスに属します。しかし、 には非自明な正規巡回部分群がないため、 になります。したがって です。 ${\displaystyle ({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$${\displaystyle V_{4}}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}}$${\displaystyle A_{4}/V_{4}\cong C_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle A_{4}\not \in {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})\not =({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$

しかし、定義から明らかなように、任意の3つのグループ、、およびに対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Z}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}({\mathfrak {Y}}{\mathfrak {Z}})\subseteq ({\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}){\mathfrak {Z}}}$

クラスマップ cは、グループのクラスを別のグループのクラスに割り当てるマップです。クラスマップは、次のプロパティを満たす場合、閉包操作であると言われます。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle c{\mathfrak {X}}}$

1. c は拡張的です:${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {X}}}$
2. cはべき等である:${\displaystyle c{\mathfrak {X}}=c(c{\mathfrak {X}})}$
3. cは単調である:${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle c{\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {Y}}}$

クロージャ操作の最も一般的な例は次のとおりです。

• ${\displaystyle S{\mathfrak {X}}=(G\mid G\leq H,\ H\in {\mathfrak {X}})}$
• ${\displaystyle Q{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{exists }}H\in {\mathfrak {X}}{\text{ and an epimorphism from }}H{\text{ to }}G)}$
• ${\displaystyle N_{0}{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{ exists }}K_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ subnormal in }}G{\text{ with }}K_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}G=\langle K_{1},\cdots ,K_{r}\rangle )}$
• ${\displaystyle R_{0}{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{ exists }}N_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ normal in }}G{\text{ with }}G/N_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}\bigcap \limits _{i=1}^{r}Ni=1)}$
• ${\displaystyle S_{n}{\mathfrak {X}}=(G\mid G{\text{ is subnormal in }}H{\text{ for some }}H\in {\mathfrak {X}})}$

• 形成

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006)、有限群のクラス、Mathematics and Its Applications (Springer)、vol. 584、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-1-4020-4718-3、MR  2241927
• ドーク、クラウス。 Hawkes、Trevor (1992)、有限可溶群、de Gruyter Expositions in Mathematics、vol. 4、ベルリン: Walter de Gruyter & Co.、ISBN 978-3-11-012892-5、MR  1169099