距離

物理空間における2点間の距離とは、それらを結ぶ直線の長さ、すなわち最短経路の長さのことである。これは、ニュートン力学を含む古典物理学における距離の一般的な意味である。

直線距離は、2 次元および3 次元空間ではユークリッド距離として数学的に定式化されます。ユークリッド幾何学では、2 点AとBの間の距離はしばしば次のように表されます。${\displaystyle |AB|}$座標幾何学では、ユークリッド距離はピタゴラスの定理を用いて計算されます。平面上の点( x ₁ , y ₁ )と( x ₂ , y ₂ )の間の距離は次のように与えられます。^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}。}$$ 同様に、3次元空間内の点( x ₁ , y ₁ , z ₁ )と( x ₂ , y ₂ , z _{2 )が与えられた場合、それらの間の距離は次のようになります。} ^{[ 2 ]}$${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}。$$ この考え方は、より高次元のユークリッド空間にも一般化できる。

地球表面上の2点間の直線距離は、地球のマントルをまっすぐ貫通するトンネルを掘ることはできないため、ほとんどの場合、あまり役に立ちません。そのため、通常は地球表面に沿った最短経路、つまり直線距離を測定します。これは、球面上における大円距離によって数学的に近似されます。

より一般的に言えば、曲面上の2点間の最短経路は測地線と呼ばれます。測地線の弧長は、その曲面に生息するアリなどの飛べない生き物の視点から距離を測定する方法を提供します。

相対性理論では、長さの収縮や同時性の相対性といった現象のため、物体間の距離は慣性系の選択に依存します。銀河規模やそれ以上の規模では、距離の測定は宇宙の膨張によっても影響を受けます。実際には、宇宙論ではこのような距離を定量化するために、さまざまな距離尺度が用いられています。

距離に関する通常とは異なる定義は、特定の物理的状況をモデル化するのに役立つだけでなく、理論数学でも用いられている。

• 実際には、直線距離ではなく、道路に沿った2点間の移動距離に関心を持つことが多い。グリッド状の都市計画では、街角間の移動距離はマンハッタン距離で表される。これは、2点間を移動するために東西方向と南北方向にそれぞれ何ブロック移動する必要があるかを示す数値である。
• チェス盤距離（チェビシェフ距離として定式化される）とは、チェス盤上のキングが2つのマス間を移動するために必要な最小移動回数のことである。

統計学と情報幾何学において、統計的距離は2つの確率分布間の差異の度合いを測定する。統計的距離には多くの種類があり、通常は発散として定式化される。これらによって、確率分布の集合を統計的多様体と呼ばれる幾何学的対象として理解することができる。最も基本的なものは、最小二乗法によって最小化される二乗ユークリッド距離であり、これは最も基本的なブレグマン発散である。情報理論において最も重要なのは相対エントロピー（カルバック・ライブラー発散）であり、これによって最大尤度推定を幾何学的に類推的に研究することができる。これはf発散とブレグマン発散の両方の例であり（実際、両方である唯一の例である）。ブレグマン発散に対応する統計的多様体は、対応する幾何学において平坦な多様体であり、最適化理論による推論における線形逆問題に対して、ピタゴラスの定理（二乗ユークリッド距離に対して成り立つ）の類似物を使用することを可能にする。

その他の重要な統計的距離には、マハラノビス距離とエネルギー距離がある。

コンピュータサイエンスにおいて、 2つの文字列間の編集距離または文字列メトリックは、それらの違いの度合いを測定します。例えば、1文字だけ異なる「dog」と「dot」は、共通する文字がまったくない「dog」と「cat」よりも近いと言えます。この考え方はスペルチェッカーや符号理論で用いられており、レーベンシュタイン距離、ハミング距離、リー距離、ヤロ・ウィンクラー距離など、様々な方法で数学的に定式化されています。

グラフにおいて、 2つの頂点間の距離は、それらの頂点を結ぶ最短の辺の長さによって測定されます。例えば、グラフがソーシャルネットワークを表している場合、「 6次の隔たり」という概念は、任意の2つの頂点間の距離が最大で6であるという意味で数学的に解釈できます。同様に、エルデシュ数とベーコン数（それぞれ、著名な数学者ポール・エルデシュと俳優ケビン・ベーコンからある人物がどれだけの共同研究関係を結んでいるかを示す数）は、辺が数学的または芸術的な共同研究を表すグラフにおける距離です。

心理学、人文地理学、社会科学では、距離は客観的な数値測定ではなく、主観的な経験の質的な記述として理論化されることが多い。^{[ 4 ]} 例えば、心理的距離は、「時間、空間、社会的距離、仮説性」などの次元に沿って「対象が自己から遠ざかるさまざまな方法」である。^{[ 5 ]}社会学 では、社会的距離は、社会階級、人種/民族、性別、性的指向などの次元に沿って、社会における個人または社会集団間の分離を説明する。

物体が移動した距離は、 2点間の特定の経路の長さです^{[ 6 ]。}例えば、迷路を進む際に歩いた距離や、マイルポストやオドメーターで示された距離などです。これは、真上に投げられたボールや、地球が1周する軌道のように、同じ地点から始まり同じ地点で終わる閉じた曲線に沿った閉じた距離にもなり得ます。これは、曲線の弧長として数学的に定式化されます。

移動距離には符号が付く場合もあります。「前進」距離は正の値、「後退」距離は負の値で表されます。

円周距離とは、車輪の円周上の点が移動する距離のことで、車両や機械式ギアの設計時に考慮すると便利です（オドメトリも参照）。車輪の円周は半径の2π倍です。半径が 1 の場合、車輪が 1 回転すると、車両は2πラジアン 移動します。

古典物理学における変位は、一定時間間隔における物体の位置の変化を測定するものです。距離はスカラー量、つまり大きさですが、変位は大きさと方向の両方を持つベクトル量です。一般に、2つの場所の差（相対位置）を測定するベクトルは、方向付き距離と呼ばれることがあります。^{[ 7 ]} 例えば、ニューヨーク市立図書館の旗竿から自由の女神像の旗竿までの方向付き距離は次のようになります。

• 出発点：図書館の旗竿
• 終点：像の旗竿
• 方向: -38°
• 距離：8.72  km