距離測定

距離の尺度は、宇宙における 2 つの物体または事象間の距離の自然な概念を与えるために、物理宇宙論で使用されます。これらは、観測可能な量 (遠方のクエーサーの光度、遠方の銀河の赤方偏移、宇宙マイクロ波背景放射(CMB) パワー スペクトルの音響ピークの角度サイズなど) を、直接観測できないが計算には便利な別の量(クエーサー、銀河などの共動座標など) に結び付けるためによく使用されます。ここで説明する距離の尺度はすべて、低赤方偏移でのユークリッド距離という共通の概念に帰着します。

現在の宇宙論の理解によれば、これらの尺度は一般相対性理論の文脈内で計算され、宇宙を記述するために フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー解が使用されています。

宇宙論における「距離」の定義はいくつかあるが、いずれも小さな赤方偏移に対しては互いに漸近的である。これらの距離の表現は、赤方偏移が常に観測可能な値であるため、赤方偏移の関数として記述するのが最も実用的である。また、スケール係数の関数として記述することもできる。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a=1/(1+z).}$

この記事の残りの部分では、特に指定がない限り、固有速度は無視できるものと仮定します。

まず、いくつかの距離の測定方法の公式を示し、その後でさらに詳しく説明します。「ハッブル距離」を と定義すると、 は光速、は現在のハッブルパラメータ、hは無次元のハッブル定数で、すべての距離はz が小さい場合に漸近します。 $${\displaystyle d_{H}={\frac {c}{H_{0}}}\approx 3000h^{-1}{\text{Mpc}}\approx 9.26\cdot 10^{25}h^{-1}{\text{m}}}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle z\cdot d_{H}}$

フリードマン方程式によれば、無次元ハッブルパラメータも定義される：^[1] $${\displaystyle E(z)={\frac {H(z)}{H_{0}}}={\sqrt {\Omega _{r}(1+z)^{4}+\Omega _{m}(1+z)^{3}+\Omega _{k}(1+z)^{2}+\Omega _{\Lambda }}}}$$

ここで、および はそれぞれ現在の放射エネルギー密度、物質密度、および「暗黒エネルギー密度」（後者は宇宙定数を表す）の正規化された値であり、 は曲率を決定します。与えられた赤方偏移におけるハッブルパラメータは です。 ${\displaystyle \Omega _{r},\Omega _{m},}$${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$${\displaystyle \Omega _{k}=1-\Omega _{r}-\Omega _{m}-\Omega _{\Lambda }}$${\displaystyle H(z)=H_{0}E(z)}$

他のほとんどの公式の基礎となる共動距離の公式には、積分が含まれる。一部の限られたパラメータの選択（下記参照）では共動距離積分は閉じた解析形式をとるが、一般に、特に我々の宇宙のパラメータでは、数値的にしか解を見つけることができない。宇宙論者は、観測者から視線（LOS）に沿った赤方偏移の物体までの距離を測るために、一般的に以下の尺度を使用する：^[2]${\displaystyle z}$

• 共動距離: $${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{E(z')}}}$$
• 横方向の共動距離: $${\displaystyle d_{M}(z)={\begin{cases}{\frac {d_{H}}{\sqrt {\Omega _{k}}}}\sinh \left({\frac {{\sqrt {\Omega _{k}}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}>0\\d_{C}(z)&\Omega _{k}=0\\{\frac {d_{H}}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}}\sin \left({\frac {{\sqrt {|\Omega _{k}|}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}<0\end{cases}}}$$
• 角直径距離: $${\displaystyle d_{A}(z)={\frac {d_{M}(z)}{1+z}}}$$
• 光度距離: $${\displaystyle d_{L}(z)=(1+z)d_{M}(z)}$$
• 光の移動距離: $${\displaystyle d_{T}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{(1+z')E(z')}}}$$

ピーブルズは横方向の共動距離を「角サイズ距離」と呼んでいますが、これは角直径距離と間違えないように注意する必要があります。^[1]または記号は、共動距離と角直径距離の両方を表すために使用されることがあります。光の移動距離は、「ルックバック距離」や「ルックバック時間」と呼ばれることもあります。^[要出典]${\displaystyle \chi }$${\displaystyle r}$

実際の観測では、ハッブルフローに対する地球の動きが観測される赤方偏移に影響を与えます。^[要出典]

実際には、赤方偏移には 2 つの概念があります。1 つは、地球と物体の両方が、宇宙マイクロ波背景によって定義される「共動」周囲 (ハッブル流) に対して動いていない場合に観測される赤方偏移です。もう 1 つは、実際に測定された赤方偏移で、観測される物体の固有速度とそれらの固有速度の両方に依存します。太陽系は、獅子座とクレーターの間の方向に約 370 km/s で移動しているため、この方向にある遠方の物体では約 1.0012 倍減少し、反対方向にある遠方の物体では同じ倍数増加します。(太陽の周りの地球の運動速度はわずか 30 km/s です。) ^{[引用が必要]}${\displaystyle 1+z}$

基本観測者、つまりハッブル流とともに移動する観測者間の共動距離は、共動距離が宇宙の膨張を考慮するため、時間とともに変化しません。共動距離は、視線 ( LOS ) に沿って近くの基本観測者の固有距離を積分することによって得られますが、固有距離は一定の宇宙時間での測定によって得られる距離です。^{[引用が必要]}${\displaystyle d_{C}}$

標準的な宇宙論では、共動距離と固有距離は、宇宙論者が物体間の距離を測定するために使用する 2 つの密接に関連した距離の尺度です。共動距離は現時点での固有距離です。^{[引用が必要]}

共動距離（私たち自身の動きを少し補正したもの）は視差から得られる距離です。視差の度数は、現時点で太陽を通過して遠方の物体を中心とする円の円周に対する天文単位の比率に 360° を掛けたものに等しいからです。ただし、1メガパーセクを超える物体の視差は測定できないほど小さいため（ガイア宇宙望遠鏡は、最も明るい星の視差を 7 マイクロ秒角の精度で測定します）、私たちの局部銀河群の外側の銀河の視差は測定できないほど小さいのです。

共動距離の定義における積分は、 の場合には閉じた形式の表現があり、 の場合には、のスケール係数を代入することによって表される。我々の宇宙は、 によってほぼ表現されると思われる。この場合、 次の式 が得られる。${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1/(1+z)}$${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0}$${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{k}=0.}$$${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\Omega _{m}^{-1/3}\Omega _{\Lambda }^{-1/6}[f((1+z)(\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})-f((\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})]}$$$${\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {x^{3}+1}}}}$$

共動距離は、物体も人間も固有速度を持たない場合に適用される zの値を使用して計算する必要があります。

スケール係数と組み合わせると、現在私たちが見ている光が物体から放射され、私たちに向かって旅立ったときの物体の適切な距離がわかります。 $${\displaystyle d=ad_{C}}$$

固有距離は、宇宙の膨張により時間の経過とともに変化する可能性がある、宇宙時間の特定の瞬間に遠方の物体がどこにあるのかにほぼ対応しています。共動距離は宇宙の膨張を考慮に入れたものであり、空間の膨張により時間の経過とともに変化しない距離を与えます（ただし、これはクラスター内の銀河の動きなど、他の局所的な要因により変化する可能性があります）。共動距離は、現時点での固有距離です。^[要出典]

一定の赤方偏移を持ち、天空上で角度 だけ離れている2 つの共動天体は、距離 を持つと言われます。ここで、横方向の共動距離は適切に定義されます。^{[引用が必要]}${\displaystyle z}$${\displaystyle \delta \theta }$${\displaystyle \delta \theta d_{M}(z)}$${\displaystyle d_{M}}$

赤方偏移の大きさが の物体で、角サイズを持つように見える場合、角直径距離は です。これは、たとえば重粒子音響振動のコンテキストで、いわゆる標準定規を観測するためによく使用されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \delta \theta }$${\displaystyle d_{A}(z)=x/\delta \theta }$

地球の固有速度を考慮する場合、その場合に関係する赤方偏移を使用する必要がありますが、方向に応じて 0.99867 から 1.00133 の係数で太陽系の運動を補正する必要があります。(物体に向かって速度vで動き始めると、距離に関係なく、その物体の角直径は係数で減少します) ${\displaystyle d_{A}}$${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}}.}$

遠方の物体の固有光度 が分かっている場合は、フラックスを測定してを決定することで光度距離を計算することができ、これは について上記の式と等しいことがわかります。この量は、宇宙の膨張の加速を発見するために最初に使用されたIa 型超新星のような標準光源の測定に重要です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle S}$${\textstyle d_{L}(z)={\sqrt {L/4\pi S}}}$${\displaystyle d_{L}(z)}$

地球の固有速度を考慮する場合、その場合に関係する赤方偏移を使用する必要がありますが、係数には測定された赤方偏移を使用する必要があります。また、物体の固有速度に対して、を掛けて別の補正を行う必要があります。ここで、 v は、物体の固有速度の私たちから離れる成分です。このようにして、光度距離は、角直径距離を掛けたものに等しくなります。ここで、 z は測定された赤方偏移であり、これはイーサリントンの相反定理(以下を参照) に従います。 ${\displaystyle d_{M},}$${\displaystyle (1+z)}$${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}},}$${\displaystyle (1+z)^{2},}$

（「ルックバック時間」または「ルックバック距離」とも呼ばれる）^[3]

この距離は、光が物体から観測者に到達するまでにかかった時間に光速を掛けたものです。たとえば、この距離測定における観測可能な宇宙の半径は、宇宙の年齢に光速 (1 光年/年) を掛けたものとなり、約 138 億光年となります。^[要出典]${\displaystyle d_{T}}$

逆双曲関数または（または宇宙定数が他の符号を持つ場合は逆三角関数を含む）を含む場合、光の移動距離の閉じた形の解が存在する。 の場合、 には閉じた形の解が存在するが、 には存在しない。${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$ ${\displaystyle {\text{arcosh}}}$${\displaystyle {\text{arsinh}}}$${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{\Lambda }=0}$${\displaystyle d_{T}(z)}$${\displaystyle z(d_{T}).}$

共動距離は、極限 をとることによって横方向共動距離から回復され、平坦な宇宙では 2 つの距離の尺度が等しくなることに注意してください。 ${\displaystyle \Omega _{k}\to 0}$

赤方偏移から光の移動距離を計算するウェブサイトがある。^{[4] [5] [6] [7]}

すると宇宙の年齢は となり、赤方偏移から現在までに経過した時間は次のようになります。${\displaystyle \lim _{z\to \infty }d_{T}(z)/c}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t(z)=d_{T}(z)/c.}$

エザリントンの距離双対性方程式^[8]は標準キャンドルの光度距離と角度直径距離の関係を表し、次のように表される。${\displaystyle d_{L}=(1+z)^{2}d_{A}}$

• ビッグバン
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• 宇宙の距離ラダー
• フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量
• 原子レベル以下

• スコット・ドデルソン『現代宇宙論』、アカデミック・プレス（2003年）。

• 「宇宙の距離スケール」は、さまざまな宇宙論的距離の尺度を比較します。
• 「宇宙論における距離の測定」では、世界モデルと赤方偏移の関数としてさまざまな距離の測定を計算する方法を詳しく説明します。
• iCosmos: 宇宙論計算機 (グラフ生成機能付き) は、宇宙論モデルと赤方偏移の関数としてさまざまな距離の尺度を計算し、赤方偏移 0 から 20 までのモデルのプロットを生成します。