距離設定

幾何学 において、点の集合における距離集合とは、異なる2点間の距離の集合のことである。したがって、それは、数の集合における距離（およびその否定）の集合である差集合の一般化と見なすことができる。

幾何学におけるいくつかの問題と結果は距離集合に関するものであり、通常は多数の点の集合は大きな距離集合を持つという原理に基づいている（「大きい」の定義は様々である）。

• ファルコナーの予想は、点の集合に対して、${\displaystyle d}$ハウスドルフ次元がより大きい次元空間${\displaystyle d/2}$対応する距離集合はゼロでないルベーグ測度を持つ。部分的な結果は知られているが、予想は未証明のままである。^{[ 1 ]}
• エルデシュ・ウラム問題は、ユークリッド平面上に、距離集合が有理数のみで構成される稠密集合が存在するかどうかを問うものである。これもまた未解決のままである。^{[ 2 ]}
• フェルマーの2乗和の定理は、 2次元整数格子の距離集合に含まれる数を特徴づけています。それは、素因数分解において3 mod 4に合同な素数が奇数個含まれない整数の平方根です。同様に、ルジャンドルの3乗定理は3次元整数格子の距離集合を特徴づけ、ラグランジュの4乗定理は4次元以上の整数格子の距離集合を、追加の制約のない整数の平方根として特徴づけています。5次元以上の格子では、上側密度がゼロでない格子のすべての部分集合は、無限等差数列の平方を含む距離集合を持ちます。^{[ 3 ]}
• エルデシュ・アニングの定理によれば、ユークリッド平面上の無限個の点の集合で、一直線上にない点の集合には、距離集合に非整数が含まれる。^{[ 4 ]}
• 正方形グリッド上の点の距離集合は、距離集合が2次サイズである一般位置の点とは対照的に、劣線形サイズになります。しかし、ラリー・ガスとネッツ・カッツによる2015年のエルデシュの異なる距離問題の解によれば、ユークリッド平面上の任意の有限個の点の集合の距離集合は、わずかに劣線形であり、与えられた集合とほぼ同じ大きさです。^{[ 5 ]}特に、有限個の点の集合のみが有限の距離集合を持つことができます。
• ゴロム定規とは、直線上の有限個の点の集合であり、どの2つの点のペアも同じ距離を持たない。ソフィー・ピカールは、どの2つのゴロム定規も同じ距離集合を持たないと主張した。この主張は誤りであるが、反例は1つだけあり、それは共通の距離集合を持つ6点ゴロム定規のペアである。^{[ 6 ]}
• 距離空間の正三角形次元は、距離集合が単一の要素のみを持つ点の集合の最大サイズです。クシュナー予想は、距離空間の正三角形次元は、距離集合が単一の要素のみを持つ点の集合の最大サイズであると述べています。${\displaystyle d}$マンハッタン距離を持つ次元空間は正確に${\displaystyle 2d}$しかし、これはまだ証明されていない。^{[ 7 ]}
• 2距離集合とは、互いに異なる距離の集合の濃度がちょうど2である点の集合のことである。2距離集合の例としては、正八面体の頂点の集合が挙げられる。2距離集合については、4次元におけるすべての2距離集合の分類など、さまざまな結果がある。^{[ 8 ]}すべての2距離集合は二等辺三角形集合であり、すべての三角形が二等辺三角形である集合である。部分的な逆として、2つの垂直な部分空間に分解できないすべての二等辺三角形集合は2距離集合である。^{[ 9 ]}
• 普遍弦定理は、任意の実関数に対して、その関数のレベルセットの距離集合は整数による除算に関して閉じていることを述べている。

距離セットはコンピュータビジョンにおける形状記述子としても使用されている。^{[ 10 ]}

• 距離行列