デバイモデル

熱力学および固体物理学において、デバイモデルは、固体の比熱（熱容量）に対するフォノンの寄与を推定するために、1912年にピーター・デバイによって開発された方法です。^{[ 2 ]}これは、固体を多数の相互作用しない個々の量子調和振動子として扱うアインシュタイン固体モデルとは対照的に、原子格子（熱）の振動を箱の中のフォノンとして扱います。デバイモデルは、固体の熱容量の低温依存性、すなわち温度の3乗に比例するデバイT3法則を正しく予測します^。アインシュタイン光電子モデルと同様に、高温ではデュロン・プティの法則を再現します。単純化された仮定のため、その精度は中間温度で低下します。

デバイモデルは、原子の振動を固体の体積内に閉じ込められたフォノンとして扱います。これは、電磁放射を真空空間に閉じ込められた光子ガスとして扱うプランクの黒体放射の法則に類似しています。どちらも線形分散関係を持つ質量のないボーズガスの例であるため、計算手順のほとんどは同じです。

辺の長さが の立方体の場合${\displaystyle L}$箱の中の粒子として扱われる音響擾乱の共鳴モード（ここでは一軸に沿ったもののみを考慮する）の波長は次のように与えられる。

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}$

どこ${\displaystyle n}$は整数である。フォノンのエネルギーは次のように与えられる。

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\,,}$

どこ${\displaystyle h}$プランク定数であり、$\nu_n$はフォノンの周波数である。周波数は波長に反比例するという近似を用いると、

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm {s}} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}$

その中で${\displaystyle c_{s}}$は固体内部の音速です。3次元では、エネルギーは次のように一般化できます。

${\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}^{2}c_{\rm {s}}^{2}}=\left({hc_{\rm {s}} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$

その中で${\displaystyle p_{n}}$はフォノンの三次元運動量の大きさであり、${\displaystyle n_{x}}$、${\displaystyle n_{y}}$、 そして${\displaystyle n_{z}}$これらは、3つの軸それぞれに沿った共振モードの構成要素である。

周波数が波長に反比例するという近似（音速が一定であるという仮定）は、低エネルギーフォノンには有効ですが、高エネルギーフォノンには有効ではありません。これはデバイモデルの限界です。この近似は中間温度域では誤った結果をもたらしますが、低温域と高温域では正確な結果が得られます。

箱の中の全エネルギーは、${\displaystyle U}$は、

${\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,,}$

どこ${\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}$は、エネルギーを持つ箱の中のフォノンの数です。${\displaystyle E_{n}}$全エネルギーはすべてのエネルギー準位のエネルギーの合計に等しく、特定の準位のエネルギーはそのエネルギーにそのエネルギーを持つフォノンの数を掛けることで求められます。3次元では、3つの軸それぞれのモードの組み合わせがエネルギー準位に対応し、全エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

デバイモデルとプランクの黒体放射の法則は、この和に関してここで異なっている。箱の中の電磁光子放射とは異なり、フォノンの周波数は任意に高くすることはできないため、フォノンのエネルギー状態は有限個しかない。その周波数は、伝播媒体である固体の原子格子によって制限される。次の図は、様々な周波数における立方体固体中の横方向フォノンを示している。

最も低い例に示すように、フォノンの最小波長は原子間距離の2倍であると考えるのが妥当である。${\displaystyle N}$立方体の原子数、立方体の各軸の長さは$\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}$原子の長さ。原子間の距離は次のように表される。${\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}$最小波長は

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}$

最大モード番号を作成する${\displaystyle n_{max}}$:

${\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}$

これは、最大モード数が無限である光子とは対照的である。この数は、三重エネルギー和の上限を制限する。

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

もし${\displaystyle E_{n}}$は、 に関してゆっくりと変化する関数です。${\displaystyle n}$和は積分で近似できる。${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

この積分を評価するには、関数$\displaystyle {\bar {N}}(E)}$エネルギーを持つフォノンの数${\displaystyle E\,,}$も知っておく必要がある。フォノンはボーズ・アインシュタイン統計に従い、その分布はボーズ・アインシュタイン統計の式で与えられる。

${\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

フォノンには3つの可能な偏光状態（1つの縦偏光と2つの横偏光、これらはほぼエネルギーに影響を与えない）があるため、上記の式に3を掛ける必要があります。

${\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

3つの偏光状態をまとめて考慮すると、実効音速も${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$標準音速の値として決定され、使用される必要がある。${\displaystyle c_{s}.}$デバイ温度${\displaystyle T_{\rm {D}}}$以下に定義されるものは、${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$より正確には、${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:={\frac {1}{3}}c_{\rm {long}}^{-3}+{\frac {2}{3}}c_{\rm {trans}}^{-3}}$ここで、縦波と横波の音速は、偏光状態の数で重み付けして平均化されます。デバイ温度、または実効音速は、結晶の硬さの尺度となります。

代入$\displaystyle {\bar {N}}(E)}$エネルギー積分に代入すると

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

これらの積分は、光子の場合、少なくとも半古典的には周波数が無限であるため、容易に評価できます。フォノンの場合はそうではないため、この三重積分を近似するために、ピーター・デバイは球面座標を使用しました。

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\sin \theta \cos \phi ,n\sin \theta \sin \phi ,n\cos \theta )\,,}$

そして立方体を球の8分の1で近似し、

${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}$

どこ${\displaystyle R}$は球の半径です。エネルギー関数はどちらの角度にも依存しないため、式は次のように簡略化できます。

${\displaystyle \,3\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi \,\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,}$

元の立方体と球体の8分の1に含まれる粒子の数は等しいはずです。立方体の体積は${\displaystyle N}$単位格子体積、

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}$

半径が

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}$

立方体上の積分を球面上の積分に置き換えると、結果として得られるモデルに別の不正確さの原因が生じる。

球面置換を行い、関数を代入した後${\displaystyle E(n)\,}$エネルギー積分は次のようになる

${\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm {s}}n/2LkT}-1}\,dn}$。

積分変数を変更して${\displaystyle x={hc_{\rm {s}}n \over 2LkT}}$、

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{\rm {s}}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{\rm {s}}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx.}$

この式の見栄えを簡略化するために、デバイ温度を定義します。${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

どこ${\displaystyle V}$は、辺の長さが の立方体の体積です。${\displaystyle L}$。

一部の著者^{[ 3 ] [ 4 ]}は、デバイ温度をいくつかの定数と材料依存変数の略記法として説明しています。しかし、${\displaystyle kT_{\rm {D}}}$これは、最小波長モードのフォノンエネルギーとほぼ等しいため、デバイ温度は最高周波数モードが励起される温度と解釈できます。さらに、他のすべてのモードは最高周波数モードよりもエネルギーが低いため、この温度ではすべてのモードが励起されます。

全エネルギーから、比内部エネルギーを計算できます。

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{\rm {D}} \over T}\right)\,,}$

どこ${\displaystyle D_{3}(x)}$は第3デバイ関数です。この関数を で微分すると${\displaystyle T}$無次元熱容量を生成する：

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}$

これらの式は、あらゆる温度におけるデバイモデルを扱っています。さらに下に示すより基本的な式は、低温および高温の極限における漸近挙動を示しています。低エネルギーおよび高エネルギーにおける正確さの本質的な理由は、それぞれ、デバイモデルが正確な分散関係を与えるためです。${\displaystyle E(\nu )}$低周波数では、状態密度に正確に対応します。${\textstyle (\int g(\nu )\,d\nu \equiv 3N)}$高温においては、周波数間隔あたりの振動数に関して。

デバイは、より簡潔な方法で方程式を導出した。連続体力学を用いて、特定の値より低い周波数を持つ振動状態の数は漸近的に次のようになることを発見した。

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

その中で${\displaystyle V}$ボリュームと${\displaystyle F}$これは、弾性係数と密度から計算された係数です。この式を温度での調和振動子の期待エネルギーと組み合わせると、${\displaystyle T}$（アインシュタインがすでにモデルで使用していた）エネルギーは

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

振動周波数が無限大に続く場合。この形式は${\displaystyle T^{3}}$低温では正しい挙動である。しかしデバイは、${\displaystyle 3N}$N個の原子の振動状態について、彼は原子固体では振動状態の周波数スペクトルが最大周波数まで上記の規則に従い続けると仮定した。${\displaystyle \nu _{m}}$州の総数が

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

デバイはこの仮定が実際には正しくない（高周波数は仮定よりも間隔が狭い）ことを知っていたが、高温での適切な挙動（デュロン・プティの法則）を保証するものであった。エネルギーは次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,\\&=VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,.\end{aligned}}}$

代入${\displaystyle T_{\rm {D}}}$のために${\displaystyle h\nu _{m}/k}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=9NkT(T/T_{\rm {D}})^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,\\&=3NkTD_{3}(T_{\rm {D}}/T)\,,\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle D_{3}}$この関数は後に3次デバイ関数という名前が付けられます。

まず、振動周波数分布は、Terrell L. Hill のAn Introduction to Statistical Mechanics の付録 VI から導出されます。^{[ 5 ]}辺の長さが1 の直方体の形状をした N 個の原子を持つ3 次元等方性弾性固体を考えます。${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$弾性波は波動方程式に従い、平面波となる。波数ベクトルを考える。${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$そして定義する${\displaystyle l_{x}={\frac {k_{x}}{|\mathbf {k} |}},l_{y}={\frac {k_{y}}{|\mathbf {k} |}},l_{z}={\frac {k_{z}}{|\mathbf {k} |}}}$、したがって

波動方程式の解は

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

境界条件${\displaystyle u=0}$で${\displaystyle x,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z=L_{z}}$、

どこ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$は正の整数である。( 2 )を( 1 )に代入し、分散関係も用いると、${\displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$、

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

上記の式は、周波数が一定の場合に成り立つ。${\displaystyle \nu }$は「モード空間」における楕円の8分の1を表します（8分の1は${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$は正の値です。周波数が 未満であるモードの数${\displaystyle \nu }$したがって、は楕円内部の整数点の数であり、${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}\to \infty }$（つまり、非常に大きな平行六面体の場合）は楕円の体積に近似できる。したがって、モードの数は${\displaystyle N(\nu )}$周波数範囲は${\displaystyle [0,\nu ]}$は

どこ${\displaystyle V=L_{x}L_{y}L_{z}}$は平行六面体の体積です。縦方向の波速は横方向の波速とは異なり、波は縦方向には一方向に、横方向には二方向に偏光することができ、次のように定義できます。${\displaystyle {\frac {3}{c_{s}^{3}}}={\frac {1}{c_{\text{long}}^{3}}}+{\frac {2}{c_{\text{trans}}^{3}}}}$。

『熱力学入門』^{[ 6 ]}からの導出に従って、振動周波数の上限が定義される。${\displaystyle \nu _{D}}$; なぜなら${\displaystyle N}$固体中の原子は、${\displaystyle 3N}$量子調和振動子（x、y、z方向それぞれに3つずつ）が周波数範囲で振動する${\displaystyle [0,\nu _{D}]}$。${\displaystyle \nu _{D}}$決定するには

定義することによって${\displaystyle \nu _{\rm {D}}={\frac {kT_{\rm {D}}}{h}}}$ここで、kはボルツマン定数、hはプランク定数であり、( 4 )を( 3 )に代入すると、

この定義はより標準的です。周波数で振動するすべての発振器のエネルギー寄与${\displaystyle \nu }$見つけることができます。量子調和振動子はエネルギーを持つことができます。${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$どこ${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$そしてマクスウェル・ボルツマン統計を用いると、エネルギーを持つ粒子の数は${\displaystyle E_{i}}$は

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT)}.}$

周波数を持つ振動子のエネルギー寄与${\displaystyle \nu }$すると

指摘すると、${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }n_{i}=dN(\nu )}$（なぜなら${\displaystyle dN(\nu )}$周波数で振動するモード${\displaystyle \nu }$)

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\infty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu ).}$

上記から、1/A の式が得られます。それを ( 6 ) に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}dU&=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu (i+1/2)/(kT)}\\\\&=dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right).\end{aligned}}}$

νに関して積分すると、

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}}\int _{0}^{\nu _{D}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right)\nu ^{3}d\nu .}$

デバイ固体の温度は、${\displaystyle T\ll T_{\rm {D}}}$結果として

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx.}$

この定積分は厳密に計算できます。

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}.}$

低温極限では、上述のデバイモデルの制約は適用されず、(フォノン)熱容量、温度、弾性係数、原子あたりの体積(後者の量はデバイ温度に含まれる)の間の正しい関係が得られます。

デバイ固体の温度が高いと言われるのは、${\displaystyle T\gg T_{\rm {D}}}$. 使用${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$もし${\displaystyle |x|\ll 1}$につながる

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

積分すると

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}$

これはデュロン・プティの法則であり、非調和性を考慮していないため、熱容量がさらに上昇するわけではないものの、かなり正確である。固体が導体または半導体である場合、その全熱容量には電子からの無視できない寄与も含まれる可能性がある。

デバイモデルとアインシュタインモデルは実験データとよく一致するが、デバイモデルは低温域で正しいのに対し、アインシュタインモデルはそうではない。モデル間の違いを視覚化するには、当然ながら両者を同じ軸上にプロットするのが望ましいが、アインシュタインモデルとデバイモデルはどちらも熱容量の関数形式を与えるため、これはすぐには不可能である。モデルとして、現実世界の対応物と関連付けるにはスケールが必要となる。アインシュタインモデルのスケールは次のように与えられることがわかる。${\displaystyle \epsilon /k}$:

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

デバイモデルのスケールは${\displaystyle T_{\rm {D}}}$、デバイ温度。どちらも通常、モデルを実験データにフィッティングすることによって求められます。（デバイ温度は理論的には音速と結晶の寸法から計算できます。）2つの方法は異なる方向と異なる幾何学から問題にアプローチするため、アインシュタインスケールとデバイスケールは同じではありません。つまり、

${\displaystyle {\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

つまり、同じ軸上にプロットしても意味がないということです。これらは同じものの2つのモデルですが、スケールが異なります。アインシュタイン凝縮温度を次のように定義すると

${\displaystyle T_{\rm {E}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\epsilon \over k}\,,}$

そうすればこう言える

${\displaystyle T_{\rm {E}}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

そして、この2つを関連付けるには、比率${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}\,}$使用されます。

アインシュタイン固体は、単一周波数の量子調和振動子から構成されています。${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$もしその周波数が実際に存在するならば、それは固体中の音速と関係があるだろう。音の伝播を原子が互いに衝突する一連の過程として想像すると、振動周波数は原子格子が維持できる最小波長に対応しなければならない。${\displaystyle \lambda _{min}}$、 どこ

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}} \over \lambda }={c_{\rm {s}}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}$、

これによりアインシュタイン温度が${\displaystyle T_{\rm {E}}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}\,,}$したがって、求められる比率は

${\displaystyle {T_{\rm {E}} \over T_{\rm {D}}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}\ =0.805995977...}$

この比率を用いることで、両方のモデルを同じグラフ上にプロットできます。これは、 3次元球の1つの八分円の体積と、それを含む立方体の体積の比の立方根であり、これはデバイが上記のエネルギー積分を近似する際に使用した補正係数に相当します。あるいは、2つの温度の比は、すべての振動子が振動するアインシュタインの単一周波数とデバイの最大周波数の比と見なすことができます。アインシュタインの単一周波数は、デバイモデルで利用可能な周波数の平均と見なすことができます。デバイモデルの平均周波数は

${\displaystyle {{\bar {\nu }}=3\int _{0}^{\nu _{\rm {D}}}{\frac {\nu ^{3}}{\nu _{\rm {D}}^{3}}}d\nu ={\frac {3}{4}}\nu _{\rm {D}}}}$

したがって、アインシュタインの周波数とデバイの周波数の関係（そして両モデルにおける温度の関係）は次のようになる。

${\displaystyle {{\frac {\nu _{\rm {E}}}{\nu _{\rm {D}}}}={\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}=0.75}}$

デバイモデルは完全に正しいわけではありませんが、他の寄与（高移動性伝導電子など）が無視できる絶縁性結晶固体の低温熱容量の良い近似値を与えます。金属の場合、熱に対する電子の寄与は、${\displaystyle T}$低温ではデバイが支配的になる${\displaystyle T^{3}}$格子振動の結果。この場合、デバイモデルは比熱に対する格子の寄与を近似するものとしか言えません。次の表は、いくつかの純粋な元素^{[ 3 ]}とサファイアのデバイ温度を示しています。

デバイモデルの実験データへの適合性は、デバイ温度が温度に依存するようにすることで現象論的に改善されることが多い。^{[ 7 ]}例えば、氷の場合、温度が絶対零度から約100 Kまで上昇すると、その値は約222 K ^{[ 8 ]}から300 K ^{[ 9 ]に増加する。}

他のボソン準粒子、例えばフォノン（量子化された音波）の代わりに強磁性体中のマグノン（量子化されたスピン波）についても、同様の結果を導き出すことができる。この場合、低周波数では運動量とエネルギーの分散関係が異なり、例えば、${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$マグノンの場合、${\displaystyle E(\nu )\propto k}$フォノンについては（${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$また、状態密度も異なります（例：${\displaystyle \int g(\nu ){\rm {d}}\nu \equiv N\,}$その結果、強磁性体では熱容量にマグノンの寄与が生じ、${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V|\,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$十分に低い温度ではフォノン寄与が支配的になるが、${\displaystyle \,\Delta C_{\,{\rm {V|\,phonon}}}\propto T^{3}}$一方、金属では、熱容量に対する低温での主な寄与は、${\displaystyle \propto T}$は電子から生じる。これはフェルミオンであり、ゾンマーフェルトの自由電子モデルに遡るさまざまな方法で計算される。

液体は縦方向のフォノンしか持たず、固体では熱容量の 2/3 を占める横方向のフォノンを持たないため、フォノン理論では液体の熱容量を説明できないと長らく考えられてきた。しかし、ヤコフ・フレンケルの直感を裏付ける中性子およびX 線を用いたブリルアン散乱実験[ ^{10 ]により、横方向のフォノンは、}フレンケル周波数と呼ばれる閾値以上の周波数に限定されるものの、液体中に存在することが示された。エネルギーの大部分はこれらの高周波モードに含まれているため、デバイモデルを単純に修正するだけで、単純な液体の実験的な熱容量の良い近似値が得られる^{[ 11 ]} 。さらに最近では、液体のエネルギーランドスケープの鞍点からの緩和に関連する瞬間的な正規モードが、低周波数で液体の周波数スペクトルを支配し、広い範囲で温度の関数として液体の比熱を決定する可能性があることが示されている^{[ 12 ] 。}

デバイ周波数（記号：${\displaystyle \omega _{\rm {Debye}}}$または${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$）は、結晶格子内のイオンの運動を記述するために使用され、より具体的には、そのような結晶の熱容量が高温で一定であることを正しく予測するために使用される、質量の調和鎖の波のカットオフ角周波数を指すデバイモデルのパラメータです（デュロン・プティの法則）。この概念は、1912年にピーター・デバイによって初めて導入されました。^{[ 13 ]}

この節全体を通して、周期境界条件を仮定する。

実際の分散関係を用いた導出

この問題は、分散関係の線形性の仮定を緩和することで、より適用しやすくなる可能性がある。分散関係を使用する代わりに、${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}k}$より正確な分散関係を用いることができる。古典力学では、互いに調和的に相互作用する等距離の質量鎖の場合、分散関係は^{[ 16 ]であることが知られている。}

$${\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|,}$$

と${\displaystyle m}$各原子の質量は、${\displaystyle \kappa }$調和振動子のばね定数、${\displaystyle a}$は依然として基底状態における原子間の間隔である。この関係をプロットした後、線形仮定に基づくデバイのカットオフ波長の推定は正確であり続ける。なぜなら、より大きいすべての波数に対して${\displaystyle \pi /a}$（つまり、${\displaystyle \lambda }$より小さい${\displaystyle 2a}$）より小さい波数${\displaystyle \pi /a}$同じ角周波数で検出できる。これは、波数が大きいモードの結果として生じる物理的現象が、波数が小さいモードのそれと区別できないことを意味する。したがって、分散関係の研究は第一ブリルアンゾーンに限定することができる。${\textstyle k\in \left[-{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right]}$精度や情報を失うことなく。^{[ 18 ]}これは、アニメーション画像で示されているように、システムが離散化された点から構成されているため可能です。分散関係をで割ると${\displaystyle k}$そして挿入する${\displaystyle \pi /a}$のために${\displaystyle k}$波の速度は${\displaystyle k=\pi /a}$である $${\displaystyle v_{\rm {s}}(k=\pi /a)={\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}.}$$

挿入するだけで${\displaystyle k=\pi /a}$元の分散関係では、 $${\displaystyle \omega (k=\pi /a)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}=\omega _{\rm {D}}.}$$

これらの結果を組み合わせると、再び同じ結果が得られる。 $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

しかし、二原子鎖を含むより複雑な鎖の場合、カットオフ波長が2倍になり、分散関係に2つの分岐が加わるため、関連するカットオフ周波数と波長はあまり正確ではありません。また、より正確な分散関係を考慮した場合、高次元系におけるカットオフ周波数がデバイによって正確に予測されたかどうかは、この結果からは明らかではありません。

別の派生語

一次元鎖の場合、デバイ周波数の式は、エイリアシングを記述する定理を用いて再現することもできます。この導出にはナイキスト・シャノン標本化定理が用いられますが、主な違いは、一次元鎖の場合、離散化が時間ではなく空間で行われる点です。

カットオフ周波数はカットオフ波長から決定できます。サンプリング定理から、波長が以下より小さい場合、${\displaystyle 2a}$、またはサンプリング距離の2倍、すべてのモードは、波長がより大きいモードの繰り返しです。${\displaystyle 2a}$カットオフ波長は${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=2a}$これもまた${\displaystyle k_{\rm {D}}={\frac {2\pi }{\lambda _{D}}}=\pi /a}$レンダリング $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

どの分散関係式を使用しても、同じカットオフ周波数が計算されるため、問題はありません。

• ボーズガス
• 箱入りガス
• グリューナイゼンパラメータ
• ブロッホ＝グリューナイゼン 温度
• 電気抵抗率と導電率#温度依存性