弾性（物理学）

物理学および材料科学において、弾性とは、物体が歪曲効果に抵抗し、その効果または力が取り除かれると元の大きさと形状に戻る能力のことです。固体は適切な荷重がかかると変形します。材料が弾性であれば、物体は取り除くと元の形とサイズに戻ります。これは、物体が元の形とサイズに戻らず、変形した状態のままになる 可塑性とは対照的です。

弾性挙動の物理的理由は、材料によって大きく異なります。金属では、力が加えられると（システムにエネルギーが追加されると）、原子格子のサイズと形状が変わります。力が取り除かれると、格子は元の低エネルギー状態に戻ります。ゴムやその他のポリマーの場合、弾性は力が加えられるとポリマー鎖が伸びることによって生じます。

フックの法則は、弾性物体を変形させるために必要な力は、変形距離がどれだけ大きくなっても、変形距離に正比例するはずであると述べています。これは完全弾性と呼ばれ、物体はどれだけ強く変形しても元の形状に戻ります。これは単なる理想的な概念であり、実際には弾性を持つほとんどの材料は、非常に小さな変形まで純粋に弾性のままであり、その後は塑性（永久）変形が発生します。

工学では、材料の弾性は、ヤング率、体積弾性率、せん断弾性率などの弾性係数によって定量化されます。これらは、 1 単位のひずみを達成するために必要な応力の量を測定します。弾性係数が高いほど、材料が変形しにくいことを示します。この弾性係数のSI 単位はパスカル(Pa) です。材料の弾性限界または降伏強度は、塑性変形が始まる前に発生する可能性のある最大応力です。その SI 単位もパスカル (Pa) です。

弾性材料が外力によって変形すると、変形に対する内部抵抗が発生し、外力がなくなると元の状態に戻ります。弾性係数には、ヤング率、せん断弾性率、体積弾性率などさまざまなものがあります。これらはすべて、荷重がかかった状態での変形に対する抵抗として材料が持つ固有の弾性特性の尺度です。さまざまな係数が、さまざまな種類の変形に適用されます。たとえば、ヤング率は物体の伸長/圧縮に適用されますが、せん断弾性率はそのせん断に適用されます。^[1]ヤング率とせん断弾性率は固体のみに適用されますが、体積弾性率は固体、液体、気体に適用されます。

材料の弾性は応力-ひずみ曲線で表され、応力（単位面積あたりの平均復元力）とひずみ（相対変形）の関係を示します。^[2]この曲線は一般に非線形ですが、十分に小さい変形（高次項が無視できるほど小さい）に対しては（テイラー級数を使用することで）線形に近似できます。材料が等方性の場合、線形化された応力-ひずみ関係はフックの法則と呼ばれ、ほとんどの金属や結晶性材料に対して弾性限界まで適用されると想定されることが多いのに対し、ゴム状材料の大変形をモデル化するには、弾性範囲内であっても非線形弾性が一般に必要です。さらに高い応力に対しては、材料は塑性挙動を示します。つまり、材料は不可逆的に変形し、応力が適用されなくなった後も元の形状に戻りません。^[3]エラストマーなどのゴムのような材料の場合、応力-ひずみ曲線の勾配は応力とともに増加します。つまり、ゴムは次第に伸びにくくなります。一方、ほとんどの金属では、非常に高い応力で勾配が減少し、次第に伸びやすくなります。^[4]弾性は固体だけに示されるのではなく、粘弾性流体などの非ニュートン流体も、デボラ数で定量化される特定の条件下では弾性を示します。小さなひずみを急速に加えて取り除くと、これらの流体は変形してから元の形状に戻ることがあります。より大きなひずみ、またはより長い時間ひずみを加えると、これらの流体は粘性液体のように流れ始めることがあります。

材料の弾性は応力とひずみの関係で説明されるため、応力とひずみという用語が明確に定義されることが重要です。通常、2 種類の関係が考慮されます。最初のタイプは、小さなひずみに対してのみ弾性がある材料を扱います。2 番目は、小さなひずみに限定されない材料を扱います。明らかに、2 番目のタイプの関係は、最初のタイプを特別なケースとして含める必要があるという意味で、より一般的です。

小さなひずみの場合、使用される応力の尺度はコーシー応力であり、使用されるひずみの尺度は微小ひずみテンソルです。結果として生じる（予測される）材料の挙動は線形弾性と呼ばれ、これは（等方性媒体の場合）一般化フックの法則と呼ばれます。コーシー弾性材料と低弾性材料は、フックの法則を拡張して、大きな回転、大きな歪み、および固有または誘導された異方性の可能性を考慮に入れたモデルです。

より一般的な状況では、多数の応力測定法のいずれかを使用できますが、弾性応力-ひずみ関係は、選択された応力測定法と仕事共役な有限ひずみ測定法で表現することが一般的に望まれます (必須ではありません)。つまり、応力測定法とひずみ測定法の速度の内積の時間積分は、弾性限界を下回る 任意の断熱過程の内部エネルギーの変化と等しくなければなりません。

弾性と弾性係数の SI 単位はパスカル(Pa) です。この単位は単位面積あたりの力として定義され、一般的には圧力の測定値で、力学では応力に相当します。パスカル、つまり弾性の次元はL ⁻¹ ⋅M⋅T ⁻²です。

^{最も一般的に使用されるエンジニアリング材料の場合、弾性率はギガパスカル (GPa、10 9} Pa)のスケールです。

上で述べたように、小さな変形に対しては、バネなどの弾性材料のほとんどは線形弾性を示し、応力とひずみの線形関係で説明できます。この関係はフックの法則として知られています。このアイデアの幾何学的依存バージョン^[a]は、1675 年にロバート フックによってラテン語のアナグラム「ceiiinosssttuv」として初めて定式化されました。彼は 1678 年にその答えを発表しました。「Ut tensio, sic vis 」は「伸びに応じて力も変わる」という意味で、^{[5] [6]一般に}フックの法則と呼ばれる線形関係です。この法則は、引張力 Fと対応する伸び変位 の関係として表すことができます。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle F=kx,}$

ここで、kは速度定数またはバネ定数と呼ばれる定数です。これは応力 とひずみの関係として表すこともできます。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon ,}$

ここでEはヤング率として知られている。^[7]

3 次元における応力と歪みの間の一般的な比例定数は剛性と呼ばれる4 次テンソルですが、1 次元の棒など 対称性を示すシステムは、多くの場合フックの法則の適用に還元できます。

有限変形を受ける物体の弾性挙動は、コーシー弾性材料モデル、亜弾性材料モデル、超弾性材料モデルなどのさまざまなモデルを使用して説明されてきました。変形勾配( F ) は、有限ひずみ理論で使用される主要な変形尺度です。

コーシー応力テンソル σ が変形勾配 Fのみの関数である場合、その材料はコーシー弾性であると言われます。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

コーシー応力が単なるひずみテンソルの関数であると述べるのは一般的に誤りです。なぜなら、そのようなモデルには、垂直方向に伸張された異方性媒体と、水平方向に伸張され、その後 90 度回転された異方性媒体とを比較して正しい結果を生成するために必要な、材料の回転に関する重要な情報が欠けているからです。これらの変形は両方とも同じ空間ひずみテンソルを持ちますが、コーシー応力テンソルの値は必ず異なります。

コーシー弾性材料の応力は変形の状態にのみ依存しますが、応力によって行われる作業は変形の経路に依存する可能性があります。したがって、コーシー弾性には、非保存的な「非超弾性」モデル (変形の作業が経路に依存する) と保存的な「超弾性材料」モデル (応力はスカラー「弾性ポテンシャル」関数から導出できる) が含まれます。

低弾性材料は、厳密には、次の2つの基準を満たす構成方程式を使用してモデル化された材料として定義できます。 ^[8]

1. 時点におけるコーシー応力は、物体が過去の構成を占めた順序にのみ依存し、過去の構成を横切った時間速度には依存しません。特殊なケースとして、この基準にはコーシー弾性材料が含まれ、この材料の現在の応力は、過去の構成の履歴ではなく、現在の構成にのみ依存します。${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle t}$
2. テンソル値関数があり、はコーシー応力テンソルの物質速度、 は空間速度勾配テンソルです。${\displaystyle G}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$

これら 2 つの元の基準のみを使用して低弾性を定義すると、超弾性が特別なケースとして含まれるため、一部の構成モデル作成者は、低弾性モデルが超弾性ではないことを明確に要求する 3 番目の基準を追加します (つまり、低弾性とは、応力がエネルギー ポテンシャルから導出できないことを意味します)。この 3 番目の基準が採用されると、低弾性材料は、同じ変形勾配で開始および終了するが、同じ内部エネルギーで開始および終了しない非保存的な断熱荷重パスを許容する可能性があります。

2 番目の基準では、関数が存在することのみが要求されることに注意してください。主要な低弾性材料の記事で詳しく説明されているように、低弾性モデルの特定の定式化では通常、いわゆる客観的な速度が採用されるため、関数は暗黙的にのみ存在し、実際の (客観的ではない) 応力速度の直接積分によって実行される数値応力更新に対してのみ明示的に必要になります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

超弾性材料（グリーン弾性材料とも呼ばれる）は、ひずみエネルギー密度関数（W ）から導かれる保存モデルである。モデルが超弾性であるのは、コーシー応力テンソルを変形勾配の関数として次の式の関係 で表すことができる場合のみである。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

この定式化では、エネルギーポテンシャル（W ）を変形勾配（ ）の関数としてとらえる。また、物質の客観性を満たすことを要求することで、エネルギーポテンシャルは、コーシー・グリーン変形テンソル（ ）の関数とみなすこともできる。この場合、超弾性モデルは次のように記述することもできる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

線形弾性は、梁、板、シェル、サンドイッチ複合材などの構造の設計と解析に広く使用されており、破壊力学の多くの基礎理論でもあります。

超弾性は主に、ガスケットなどのエラストマーベースの物体や、軟組織や細胞膜などの生物学的材料の応答を決定するために使用されます。

ヤング率の観点からバルク材料の理論的弾性が既知である等方性固体では、有効弾性は多孔度によって決まります。一般的に、多孔度が高い材料ほど剛性が低くなります。より具体的には、気孔の割合、さまざまなサイズでの気孔の分布、および気孔に充填されている流体の性質により、固体の弾性挙動が異なります。^[9]

亀裂を含む等方性材料の場合、亀裂の存在は亀裂面に垂直なヤング率と剪断弾性率に影響を及ぼし、これらは亀裂密度が増加するにつれて減少する（ヤング率の方が剪断弾性率よりも速い）ため、^[10]亀裂の存在によって物体が脆くなることを示しています。微視的には、材料の応力と歪みの関係は一般に熱力学量であるヘルムホルツの自由エネルギーによって決まります。分子は、その構造から導かれる制約に従って、自由エネルギーが最小となる配置に落ち着きます。エネルギー項とエントロピー項のどちらが自由エネルギーを支配しているかによって、材料はエネルギー弾性材料とエントロピー弾性材料に大まかに分類できます。そのため、分子間の平衡距離など自由エネルギーに影響を与える微視的要因は、材料の弾性に影響を与える可能性があります。たとえば、無機材料では、 0 Kでの分子間の平衡距離が増加すると、体積弾性率は減少します。^[11]弾性に対する温度の影響は、影響を与える要因が多数あるため、分離することが困難です。たとえば、材料の体積弾性率は、格子の形状、膨張時の挙動、分子の振動に依存しており、これらはすべて温度に依存します。^[12]

• ファインマン物理学講義第2巻第38章: 弾性