非調和性

古典力学では、非調和性はシステムが調和振動子であることからの逸脱です。調和運動で振動していない振動子は非調和振動子として知られており、システムは調和振動子に近似でき、非調和性は摂動論を使用して計算できます。非調和性が大きい場合は、他の数値手法を使用する必要があります。実際には、すべての振動システムは非調和ですが、振動の 振幅が小さいほど、ほとんどが調和振動子に近似します。

その結果、周波数 などの振動が発生します。ここで は発振器の基本周波数です。さらに、周波数は高調波振動の周波数からずれます。相互変調と結合音も参照してください。最初の近似として、周波数シフトは振動振幅の 2 乗に比例します。 ${\displaystyle 2\omega }$${\displaystyle 3\omega }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \Delta \omega =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta \omega \propto A^{2}}$

固有振動数 、 、を持つ振動子システムでは、非調和性によって周波数 を持つ追加の振動が発生します。 ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{\beta }}$${\displaystyle \omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }}$

非調和性は共鳴曲線のエネルギー プロファイルも変更し、フォールドオーバー効果や超調和共鳴などの興味深い現象を引き起こします。

振動子は、振り子、音叉、振動する二原子分子などの周期的な運動を特徴とする物理システムです。数学的に言えば、振動子の本質的な特徴は、システムのある座標xに対して、その大きさがxに依存する力がx を極端な値から遠ざけ、ある中心値x ₀に向かって押し戻し、x が極端な値の間で振動することです。たとえば、x は、振り子の静止位置x =0からの変位を表すことができます。 xの絶対値が増加すると、振り子の重量に作用して振り子を静止位置に戻す復元力も増加します。

調和振動子では、復元力は、その大きさがxの自然位置x ₀からの変位に比例し（方向は反対）、結果として得られる微分方程式は、x がシステムに固有の振動周期で時間の経過とともに正弦波状に振動する必要があることを意味します。 x は任意の振幅で振動する可能性がありますが、周期は常に同じです。

しかし、非調和振動子は、復元力が変位 x に非線形に依存するという特徴があります。その結果、非調和振動子の振動周期は、振動の振幅に依存する可能性があります。

非調和振動子の非線形性により、システムの変位に応じて振動周波数が変化する可能性があります。振動周波数のこれらの変化により、パラメトリック結合と呼ばれるプロセスを通じて、基本振動周波数から他の周波数にエネルギーが結合されます。^{[説明が必要]}

非線形復元力を、自然位置からの x の変位の関数F ( x − x ₀ )として扱うと、変位がゼロのときの線形近似F ₁ = F′ (0) ⋅ ( x − x ₀ )でF を置き換えることができます。近似関数F _{1 は}線形なので、単振動を記述します。さらに、この関数F _1は、 x − x ₀が小さいときに正確です。このため、振動が小さい限り、非調和運動は調和運動として近似できます。

非線形質量バネシステムに加えて、非調和振動子としてモデル化できるシステムは、物理世界全体に数多く存在します。たとえば、負に帯電した電子雲に囲まれた正に帯電した原子核で構成される原子は、電場が存在すると、原子核の質量中心と電子雲の間で変位が生じます。この変位量は電気双極子モーメントと呼ばれ、小さな電場の場合は印加電場と線形に関係しますが、電場の強度が大きくなると、機械システムの場合と同様に、電場と双極子モーメントの関係は非線形になります。

非調和振動子のその他の例としては、大角度振り子、キャリアの有効質量に関連するさまざまな種類の非線形動作を示す大きなホットキャリア集団を持つ非平衡半導体、プラズマの非調和性に基づく非線形動作、横振動弦などがある。実際、ほぼすべての振動子は、ポンプ振幅があるしきい値を超えて増加すると非調和になり、その結果、非線形運動方程式を使用してその動作を記述する必要がある。

^{非調和性は、格子振動や分子振動、量子振動[1]}、音響において役割を果たしている。分子や固体中の原子は、平衡位置を中心に振動する。これらの振動の振幅が小さい場合、調和振動子で記述できる。しかし、振動振幅が大きい場合、たとえば高温の場合、非調和性が重要になる。非調和性の影響の一例は固体の熱膨張であり、これは通常、準調和近似の範囲内で研究される。量子力学を使用して振動する非調和系を研究することは、計算量の多い作業である。なぜなら、非調和性は各振動子が経験するポテンシャルをより複雑にするだけでなく、振動子間の結合も導入するからである。密度汎関数理論などの第一原理手法を使用して、分子^[2]と固体の両方で原子が経験する非調和ポテンシャルをマッピングすることが可能^{[3]正確な非調和振動エネルギーは、}平均場理論の範囲内で原子の非調和振動方程式を解くことによって得ることができる。最後に、モラー・プレセ摂動論を使用して平均場形式を超えること が可能である。

ポテンシャル井戸内を運動する質量を考えてみましょう。振動周期は ^[4]で導かれ 、運動の極値はおよびで与えられます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle U(x)}$ $${\displaystyle T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {EU(x)}}}}$$${\displaystyle x_{-}<x<x_{+}}$${\displaystyle U(x_{-})=U(x_{+})=E}$

• 不調和
• 調和振動子
• 音楽音響
• 非線形共鳴
• トランスモン

• ランダウ、LD ;リフシッツ、EM（1976）、力学（第3版）、ペルガモンプレス、ISBN 978-0-08-021022-3
• Filipponi, A.; Cavicchia, DR (2011)、「質量 O スプリング振動子の非調和ダイナミクス」、American Journal of Physics、79 (7): 730–735、Bibcode :2011AmJPh..79..730F、doi :10.1119/1.3579129

• Elmer, Franz-Josef (1998 年 7 月 20 日)、非線形共鳴、バーゼル大学、2011 年 6 月 13 日のオリジナルからアーカイブ、 2010 年10 月 28 日取得