部分独立性

確率論と統計学において、部分独立性とは独立性の弱い形態である。

2つの確率変数XとYは、それらの和の特性関数がそれぞれの周辺特性関数の積に等しい場合、劣独立であると言われます。記号で表すと次のようになります。

$$\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(t).}$$

これは、確率変数の独立性の概念を弱めるものであり、つまり、2 つの確率変数が独立であれば、それらは部分独立であるが、その逆は成り立たない。2 つの確率変数が部分独立であり、かつ共分散が存在する場合、それらは無相関である。^{[ 1 ]}

部分独立性にはいくつかの特異な性質があります。例えば、部分独立な確率変数XとYが存在しますが、α ≠ 1の場合、 XとαYは部分独立ではなく^{[ 1 ]} 、したがってXとY は独立ではありません。

部分独立の一例として、確率変数X が位置0でスケールs のコーシー分布に従い、別の確率変数Y = Xが独立の反対である場合が挙げられます。この場合、X + Yもスケール2sのコーシー分布に従います。この場合、tにおけるXまたはYの特性関数はexp(-s · | t | )となり、X + Yの特性関数はexp(-2s · | t | ) = exp(-s · | t | ) 2^となります。

• Hamedani, GG; Walter, GG (1984). 「不動点定理とその中心極限定理への応用」. Archiv der Mathematik . 43 (3): 258–264 . doi : 10.1007/BF01247572 .
• Hamedani, GG (2003). 「必要なのは部分独立性だけなのに、なぜ独立性が必要なのか」. Journal of Statistical Theory and Applications . 1 (4): 280–283 .
• ハメダニ、GG;フォルクマー、ハンス。 Behboodian、J. (2012-03-01)。 「部分独立確率変数と二変量混合のクラスに関するメモ」。ハンガリカの数学研究室。49 (1): 19–25。土井: 10.1556/SScMath.2011.1183。