サブリング

数学において、環 $R$ の部分環とは、 $R$ の加算と乗算の二項演算をその部分集合に限定した場合にそれ自体が環となるRの部分集合であり、 $R$ と同じ乗法単位元を持つものである。^[^a^]

意味

環 $(R, +, *, 0, 1)$ の部分環とは、環の構造を保持する $R$ の部分集合 $Sのことです。つまり、$ $S$ $\subseteq$ $R$ となる環 $($ $S$ $, +, *, 0, 1)のことです。言い換えれば、部分環は$ $($ $R$ $, +, 0)$ の部分群であり、かつ $($ $R$ $, *, 1)$ の部分モノイドでもあります。

言い換えれば、 $S$ が部分環であるのは、S が $R$ の乗法単位元を含み、乗法と減法に関して閉じている場合に限る。これは部分環テストとして知られていることもある。^[¹^]

バリエーション

数学者の中には、乗法単位元の存在を要求せずに環を定義する者もいる（「環（数学）§ 歴史」を参照）。この場合、 $Rの部分環は、$ $R$ の演算に関して環となる $R$ の部分集合である（これは、 $R$ の加法単位元を含むことを意味する）。この別の定義は、乗法単位元を持つ環であっても、厳密に弱い条件を与える。なぜなら、すべてのイデアルが部分環となり、 $R$ とは異なる乗法単位元を持つ可能性があるからである。この記事の残りの部分で使用される、乗法単位元を要求する定義では、 $R$ の部分環となる $R$ のイデアルは $R$ 自身だけである。

例

整数環 $\mathbb {Z}$ は実数体と多項式環の両方の部分環である。 $\mathbb {Z} [X]$ [ ¹^]

$\mathbb {Z}$ およびその商 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 完全な環以外に、乗法単位元を持つ部分環を持たない。^{[ 1 ]}

すべての環には、ある環と同型な、固有の最小部分環が存在する。 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ nは非負の整数（特性を参照）。整数 $\mathbb {Z}$ この文ではn = 0に対応します。 $\mathbb {Z}$ は同型である $\mathbb {Z} /0\mathbb {Z}$ [ ²^]

環 $R$ の中心は $R$ の部分環であり、 $Rはその中心上の$ 結合代数である。

セットによって生成された部分環

環 $R$ の特殊な部分環は、部分集合 $X$ によって生成される部分環であり、これは $X$ を含む $R$ のすべての部分環の共通部分として定義されます。^[³^] $X$ によって生成される部分環は、加法単位元 (「空結合」) および乗法単位元 (「空積」) を含む、 $X$ の要素の積の整数係数を持つすべての線形結合の集合でもあります。^[⁴^]

$R$ の部分環の任意の共通部分は、それ自体が $R$ の部分環です。したがって、 $X$ によって生成される部分環(ここでは $S$ と表記) は、確かに $R$ の部分環です。この部分環 $Sは、$ $X$ を含む $R$ の最小の部分環です。つまり、 $T が$ $X$ を含む $R$ の他の任意の部分環である場合、 $S$ $\subseteq$ $T$ となります。

$R自体が$ $R$ の部分環であるため、 $Rが$ $X$ によって生成される場合、環 $Rは$ $X$ によって生成される と言われます。

リングエクステンション

部分環は体拡大のいくつかの側面を一般化したものです。S $が$ 環 $R$ の部分環である場合、同等に $Rは$ $S$ の環拡大^{[ b ]}であると言われます。

隣接する

$A$ が環であり、 $T$ $が$ 部分環 $R$ $\cup$ $S$ によって生成される $A$ の部分環である場合、 $T は環の拡大であり、$ $R$ に $S$ が付加されていると言われ、 $R$ $[$ $S$ $]$ と表記される。個々の要素も部分環に付加することができ、 $R$ $[$ $a$ $1$ $,$ $a$ $2$ $, ...,$ $a$ $n$ $]$ と表記される。^[⁵^]^[³^]

例えば、ガウス整数環 $\mathbb {Z} [i]$ は、 $\mathbb {C}$ によって生成されました $\mathbb {Z} \cup \{i\}$ 、したがって、虚数単位 $i$ の付加は $\mathbb {Z}$ [ ³^]

プライムサブリング

環 $Rのすべての部分環の共通部分は部分環であり、$ 素体との類推から $R$ の素部分環と呼ばれることがある。

環 $Rの素部分環は$ $R$ の中心の部分環であり、それは環 R と同型である。 $\mathbb {Z}$ 整数の環、または $n$ を法とする整数の環。ここで $nは、$ $n$ 個の $1 の和が$ $0$ になる最小の正の整数である。

注記

↑一般に、環 $R$ のすべての部分集合が環であるとは限りません。
↑群拡大の環論的類似物と混同しないように。

参考文献

1 2 3ダミット、デイビッド・スティーブン、フット、リチャード・マーティン (2004)。抽象代数学（第3 版）。ニュージャージー州ホーボーケン：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 228。ISBN 0-471-43334-9。
↑ラング、セルジュ（2002）。代数学（第3版）。ニューヨーク。89-90頁。ISBN 978-0387953854。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
1 2 3ロベット、スティーブン（2015）。「環」。抽象代数学：構造と応用。ボカラトン：CRC Press。pp. 216–217。ISBN 9781482248913。
↑ Robinson, Derek JS (2022). Abstract Algebra: An Introduction with Applications (3rd ed.). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. p. 109. ISBN 9783110691160。
↑ Gouvêa, Fernando Q. (2012). "Rings and Modules". A Guide to Groups, Rings, and Fields . Washington, DC: Mathematical Association of America. p. 145. ISBN 9780883853559。

一般的な参考文献

アダムソン、イアン・T. (1972).初等環と加群. 大学数学テキスト. オリバー・アンド・ボイド. pp. 14–16 . ISBN 0-05-002192-3。
シャープ、デイビッド（1987）。『環と因数分解』ケンブリッジ大学出版局、 15-17頁。ISBN 0-521-33718-6。

[1] 一般に、環 $R$ のすべての部分集合が環であるとは限りません。

[6] 群拡大の環論的類似物と混同しないように。

[Dummit_&_Foote-2] 1 2 3ダミット、デイビッド・スティーブン、フット、リチャード・マーティン (2004)。抽象代数学（第3 版）。ニュージャージー州ホーボーケン：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 228。ISBN 0-471-43334-9。

[3] ラング、セルジュ（2002）。代数学（第3版）。ニューヨーク。89-90頁。ISBN 978-0387953854。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)

[lovett-4] 1 2 3ロベット、スティーブン（2015）。「環」。抽象代数学：構造と応用。ボカラトン：CRC Press。pp. 216–217。ISBN 9781482248913。

[5] Robinson, Derek JS (2022). Abstract Algebra: An Introduction with Applications (3rd ed.). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. p. 109. ISBN 9783110691160。

[7] Gouvêa, Fernando Q. (2012). "Rings and Modules". A Guide to Groups, Rings, and Fields . Washington, DC: Mathematical Association of America. p. 145. ISBN 9780883853559。

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