組合せ可換代数

組合せ的可換代数は、比較的新しい、急速に発展している数学の分野です。名前が示すように、これは、より確立された 2 つの分野、可換代数と組合せ論の交差点に位置し、一方の方法を使用してもう一方の方法で発生する問題に対処することがよくあります。あまり知られていませんが、多面体幾何学が重要な役割を果たしています。

この分野の発展における画期的な出来事の 1 つは、リチャード・スタンレーが 1975 年に単体球面の上限予想を証明したことであり、これはメルビン・ホクスターとジェラルド・ライスナーの初期の成果に基づいていました。この問題は純粋に幾何学的な用語で定式化できますが、証明の方法には可換代数の手法が利用されました。

組合せ論的可換代数の代表的な定理は、 1970年にピーター・マクマレンによって予想された単体多面体のhベクトルの特徴づけである。g 定理として知られるこの定理は、1979年にスタンリー（条件の必要性、代数的議論）とルイス・ビレラおよびカール・W・リー（充足性、組合せ論的および幾何学的構成）によって証明された。大きな未解決の問題は、この特徴づけを単体多面体から単体球面に拡張すること、すなわちg 予想であったが、これは2018年にカリム・アディプラシトによって解決された。

組合せ可換代数の重要な概念

多項式環の平方自由単項式イデアルと単体複体のスタンレー・ライスナー環。
コーエン・マコーレー環。
単項式環。アフィン半群環やアフィントーリック多様体の座標環と密接に関連している。
直線化法則を持つ代数。これには、 Corrado de Concini、 David Eisenbud、Claudio Procesiのホッジ代数など、いくつかのバージョンがあります。

参照

参考文献

スタンレー・ライスナー複体に関する理論の先駆者の一人による基礎論文:

ホクスター、メルビン(1977)。「コーエン・マコーレー環、組合せ論、単体複体」。環理論 II: 第 2 回オクラホマ会議の議事録。純粋および応用数学の講義ノート。第 26 巻。デッカー。171 ～ 223 ページ。ISBN 0-8247-6575-3。OCLC 610144046。Zbl 0351.13009 。

最初の本は古典です（初版は 1983 年に出版されました）。

スタンレー、リチャード(1996)。組合せ論と可換代数。数学の進歩。第 41 巻 (第 2 版)。ビルクハウザー。ISBN 0-8176-3836-9.ZBL0838.13008 。

非常に影響力があり、よく書かれた教科書モノグラフ:

Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Cohen–Macaulay 環. 第 39 巻. Cambridge Studies in Advanced Mathematics: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41068-1。OCLC 802912314。Zbl 0788.13005 。

追加の参考資料:

Villarreal, Rafael H. (2001). 単項式代数. 純粋および応用数学のモノグラフと教科書. 第 238 巻. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0524-6.ZBL1002.13010 。
日比隆之 (1992).凸多面体上の代数的組合せ論. グリーブ、オーストラリア: Carslaw Publications. ISBN 1875399046. OCLC 29023080.
Sturmfels, Bernd (1996)。グレブナー基底と凸多面体。大学講義シリーズ。第 8 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-0487-1。OCLC 907364245。Zbl 0856.13020 。
Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009) 。多面体、環、K理論。Springer Monographs in Mathematics。Springer。doi : 10.1007/b105283。ISBN 978-0-387-76355-2.ZBL1168.13001 。

この分野で増え続ける文献に最近追加されたものには、現在の研究トピックの説明が含まれています。

ミラー、エズラ。シュトゥルムフェルス、ベルント (2005)。組み合わせ可換代数。数学の大学院テキスト。 Vol. 227. スプリンガー。ISBN 0-387-22356-8.ZBL1066.13001 。
ヘルツォーク、ユルゲン。日比貴之 (2011)単項イデアル。数学の大学院テキスト。 Vol. 260. スプリンガー。ISBN 978-0-85729-106-6.ZBL1206.13001 。
ヘルツォーク、ユルゲン。日比貴之；おしゅぎひでふみ（2018）二項理想。数学の大学院テキスト。 Vol. 279. スプリンガー。ISBN 978-3-319-95349-6.ZBL1403.13004 。