正則関数の特性
ドメイン内のベクトルX に複素数 zを掛けて f でマッピングした場合と、 f でマッピングしてから z を掛けた場合の 図解 。どちらの場合も、すべての X と z について点が同じ場所になる場合、 f は コーシー・リーマン条件を満たします。 数学 の 複素解析 の分野において 、 コーシー・リーマン方程式は、 オーギュスタン・コーシー と ベルンハルト・リーマン にちなんで名付けられ 、 複素変数の 複素関数が 複素微分可能 であるための必要十分条件を形成する 2つの 偏微分方程式の システム で構成されています。
これらの方程式は
そして
ここで u ( x , y ) と v ( x , y ) は実 微分可能な 二変量関数である。
通常、 u と v はそれぞれ、 単一 の複素変数 z = x + iy の 複素数 値関数 f ( x + iy ) = f ( x , y ) = u ( x , y ) + iv ( x , y )の 実部 と 虚 部 です 。ここで、 x と y は実変数であり、 u と v は 実変数の 微分可能な実関数 です。この場合、 u と v の偏導関数がその点でコーシー-リーマン方程式を満たす場合のみ、 f は 複素点で複素微分可能 です 。
正則 関数は、複素平面 ℂ の開集合の任意の点で微分可能な複素関数です。 正則関数は解析的であり 、 解析複素関数は 複素微分可能であることが証明されています 。特に、正則関数は無限に複素微分可能です。
微分可能性と解析可能性のこの同等性は、すべての複素解析 の出発点です 。
歴史 コーシー・リーマン方程式は、ジャン・ル・ロン・ダランベール の著作の中で初めて登場しました 。 [1] その後、 レオンハルト・オイラーがこの系を 解析関数 と結び付けました 。 [2] コーシー [3] はこれらの方程式を使用して関数論を構築しました。リーマンの関数論に関する論文は1851年に発表されました。 [4]
簡単な例 と仮定する 。複素数値関数は 複素平面上の
任意の点 z で微分可能である。
実部 と虚部 はであり
、それらの偏導関数はである。
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
f
(
z
)
=
z
2
{\displaystyle f(z)=z^{2}}
f
(
z
)
=
(
x
+
i
y
)
2
=
x
2
−
y
2
+
2
i
x
y
{\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
u
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
v
(
x
,
y
)
=
2
x
y
{\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}}}
u
x
=
2
x
;
u
y
=
−
2
y
;
v
x
=
2
y
;
v
y
=
2
x
{\displaystyle u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x}
確かにコーシー・リーマン方程式が満たされていることがわかり ます
。
u
x
=
v
y
{\displaystyle u_{x}=v_{y}}
u
y
=
−
v
x
{\displaystyle u_{y}=-v_{x}}
コーシー・リーマン方程式は、複素解析 の意味で関数が微分可能であるための条件を検討する方法の 1 つです 。言い換えると、従来の 微分積分法 によって 複素変数の関数 の概念をカプセル化します。理論では、この概念を検討する他の主要な方法がいくつかあり、条件を他の言語に翻訳することがしばしば必要になります。
まず、コーシー・リーマン方程式は複素形式で表すことができる。
この形式では、方程式は、ヤコビ行列が
および の 形式である
という条件に構造的に対応します 。この形式の行列は、 複素数 の行列表現 です。幾何学的には、このような行列は常に スケーリング による 回転 の 合成 であり、特に 角度 を 保存します。関数 f ( z )のヤコビアンは、 z 内の 2 つの曲線の交点で無限小線分を取り、それを f ( z ) 内の対応する線分まで回転します。その結果、導関数がゼロでない、コーシー・リーマン方程式を満たす関数は、平面内の曲線間の角度を保存します。つまり、コーシー・リーマン方程式は関数が 共形 で あるための条件です 。
(
a
−
b
b
a
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},}
a
=
∂
u
/
∂
x
=
∂
v
/
∂
y
{\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}
b
=
∂
v
/
∂
x
=
−
∂
u
/
∂
y
{\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}
さらに、共形変換と別の共形変換の合成も共形であるため、コーシー・リーマン方程式の解と共形写像の合成は、それ自体がコーシー・リーマン方程式を解くことになります。したがって、コーシー・リーマン方程式は共形不変です。
複素微分可能性 および が 実数値関数
で ある とき
、 は 複素変数 の 複素数値関数 であり、 および が 実 変数であるとします。したがって、関数 は実変数 および の関数とみなすこともできます 。次に、この極限が存在する場合、 ある点における の 複素微分は によって定義されます
(つまり、 に近づくすべての経路に沿って極限が存在し 、選択された経路に依存しません)。
f
(
z
)
=
u
(
z
)
+
i
⋅
v
(
z
)
{\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}
u
{\textstyle u}
v
{\displaystyle v}
z
=
x
+
i
y
{\textstyle z=x+iy}
x
{\textstyle x}
y
{\textstyle y}
f
(
z
)
=
f
(
x
+
i
y
)
=
f
(
x
,
y
)
{\textstyle f(z)=f(x+iy)=f(x,y)}
x
{\textstyle x}
y
{\textstyle y}
f
{\textstyle f}
z
0
=
x
0
+
i
y
0
{\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}
f
′
(
z
0
)
=
lim
h
→
0
h
∈
C
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}
z
0
{\textstyle z_{0}}
複素解析 の基本的な結果は 、 が で 複素微分可能 （つまり、複素微分を持つ）で あることと、 二変量 実関数 とがで 微分可能 であり、この点でコーシー・リーマン方程式を満たすことが等しいことである 。 [ 5 [7]
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
u
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle u(x+iy)}
v
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle v(x+iy)}
(
x
0
,
y
0
)
,
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),}
実際、複素導関数が に存在する場合 、実軸と虚軸に沿って での極限を取ることで計算することができ 、2つの極限は等しくなければなりません。実軸に沿った極限は であり、
虚軸に沿った極限は
z
0
{\textstyle z_{0}}
z
0
{\textstyle z_{0}}
lim
h
→
0
h
∈
R
f
(
z
0
+
h
)
−
f
(
z
0
)
h
=
∂
f
∂
x
|
z
0
{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}
lim
h
→
0
h
∈
R
f
(
z
0
+
i
h
)
−
f
(
z
0
)
i
h
=
1
i
∂
f
∂
y
|
z
0
.
{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\left.{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}.}
したがって、導関数の等式は、
におけるコーシー-リーマン方程式の複素形式が であることを意味します 。
i
∂
f
∂
x
|
z
0
=
∂
f
∂
y
|
z
0
{\displaystyle i\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}
z
0
{\textstyle z_{0}}
( が で複素微分可能である場合 、 は実微分可能でもあり、 における の ヤコビアンは 複素スカラー であり、 として の極限より の 実線型写像とみなされることに注意してください 。)
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
′
(
z
0
)
{\displaystyle f'(z_{0})}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
|
f
(
z
)
−
f
(
z
0
)
−
f
′
(
z
0
)
(
z
−
z
0
)
|
/
|
z
−
z
0
|
→
0
{\displaystyle |f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0})|/|z-z_{0}|\to 0}
z
→
z
0
{\displaystyle z\to z_{0}}
逆に、 f が （本当の意味で） で微分可能であり、そこでコーシー・リーマン方程式を満たす場合、この点で f は複素微分可能です。 2 つの実変数 x と y の 関数としての f が z 0 で 微分可能（実微分可能）であると仮定します。 これは 、、、 z = x + iy 、および Δ z → 0 のときに 次 の線形近似が存在することと同等です 。
z
0
{\textstyle z_{0}}
Δ
f
(
z
0
)
=
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
=
f
x
Δ
x
+
f
y
Δ
y
+
η
(
Δ
z
)
{\displaystyle \Delta f(z_{0})=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)}
f
x
=
∂
f
∂
x
|
z
0
{\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}
f
y
=
∂
f
∂
y
|
z
0
{\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}
η
(
Δ
z
)
/
|
Δ
z
|
→
0
{\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}
と なので 、上記は次のように書き直すことができる。
Δ
z
+
Δ
z
¯
=
2
Δ
x
{\textstyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}
Δ
z
−
Δ
z
¯
=
2
i
Δ
y
{\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}
Δ
f
(
z
0
)
=
f
x
−
i
f
y
2
Δ
z
+
f
x
+
i
f
y
2
Δ
z
¯
+
η
(
Δ
z
)
{\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,}
Δ
f
Δ
z
=
f
x
−
i
f
y
2
+
f
x
+
i
f
y
2
⋅
Δ
z
¯
Δ
z
+
η
(
Δ
z
)
Δ
z
,
(
Δ
z
≠
0
)
.
{\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\cdot {\frac {\Delta {\bar {z}}}{\Delta z}}+{\frac {\eta (\Delta z)}{\Delta z}},\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).}
さて、 が 実数であれば 、虚数であれば です。したがって、2 番目の項は、 が等価的に消滅するとき (そしてそのときにのみ) 極限の経路とは独立です。 これは、複素形式のコーシー-リーマン方程式とまったく同じです。この証明は、その場合、
Δ
z
{\textstyle \Delta z}
Δ
z
¯
/
Δ
z
=
1
{\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}
Δ
z
¯
/
Δ
z
=
−
1
{\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=-1}
Δ
z
→
0
{\textstyle \Delta z\to 0}
f
x
+
i
f
y
=
0
{\textstyle f_{x}+if_{y}=0}
d
f
d
z
|
z
0
=
lim
Δ
z
→
0
Δ
f
Δ
z
=
f
x
−
i
f
y
2
.
{\displaystyle \left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z_{0}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}.}
点における実微分可能性の仮定は 不可欠であり、省略することはできないことに留意してください。たとえば、 [8] 関数 は 、虚数部が常にゼロである複素関数として考えられ、 で両方の偏導関数を持ち 、さらにその点でコーシー–リーマン方程式を満たしますが、実関数（複数の変数）という意味では微分可能ではなく、したがって最初の条件である実微分可能性は満たされません。したがって、この関数は複素微分可能ではありません。
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
(
x
,
y
)
=
|
x
y
|
{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {|xy|}}}
(
x
0
,
y
0
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}
いくつかの情報源 [9] [10] では、ある点での複素微分可能性の十分条件 として、コーシー・リーマン方程式に加えて、 との偏微分 がその点で連続していることを挙げている。これは連続条件によって前述の線形近似の存在が保証されるからである。これは複素微分可能性の必要条件ではないことに注意されたい。たとえば、関数は 0 で複素微分可能であるが、その実部と虚部にはそこで不連続な偏微分がある。複素微分可能性は通常、開集合で考えられ、実際にはすべての偏微分が連続することを意味するため（下記参照）、この区別は文献では省略されることが多い。
z
0
{\displaystyle z_{0}}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
f
(
z
)
=
z
2
e
i
/
|
z
|
{\displaystyle f(z)=z^{2}e^{i/|z|}}
複素共役の独立性 上記の証明は、コーシー・リーマン方程式の別の解釈を示唆しています。 の 複素共役 は と表記され 、
実変数 およびに対して によって定義されます 。2 つの Wirtinger 導関数 を と定義すると
、コーシー・リーマン方程式は 1 つの方程式として記述でき
、 その場合の
の複素導関数は次のようになります。 この形式では、コーシー・リーマン方程式は、 複素変数の複素関数は 変数 とは独立であるというステートメントとして解釈できます。 そのため、解析関数を、 2 つの 実変数の複素関数 ( および) ではなく、 1 つの 複素変数 の真の関数 ( ) として見ることができます 。
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\textstyle {\bar {z}}}
x
+
i
y
¯
:=
x
−
i
y
{\displaystyle {\overline {x+iy}}:=x-iy}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
∂
∂
z
=
1
2
(
∂
∂
x
−
i
∂
∂
y
)
,
∂
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}
∂
f
∂
z
¯
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}
f
{\textstyle f}
d
f
d
z
=
∂
f
∂
z
.
{\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}.}
f
{\textstyle f}
z
{\textstyle z}
z
¯
{\textstyle {\bar {z}}}
z
{\textstyle z}
x
{\textstyle x}
y
{\textstyle y}
物理的解釈 コーシー・リーマン方程式を満たす u と v のペアの 等高線図。流線 ( v = 定数、赤) は等電位線 ( u = 定数、青) に垂直です 。点 (0,0) はポテンシャル フローの 静止点 であり、6 本の流線が交わり、6 本の等電位線も交わって流線によって形成される角度を二等分します。 リーマンの関数論の研究[11] に遡るコーシー・リーマン方程式の標準的な物理的解釈は、 u が 平面内の非圧縮性の 定常流体の流れ の 速度ポテンシャル を表し、 v が その 流れ関数 であるというものである。（2回 連続微分可能な ）関数 u と v のペアが コーシー・リーマン方程式を満たすと仮定する。u を 速度ポテンシャルとすると、平面内の流体の流れを想像し、 平面の各点における流体の 速度ベクトルが u の勾配に等しく、
u の 勾配は次のように定義される。
∇
u
=
∂
u
∂
x
i
+
∂
u
∂
y
j
.
{\displaystyle \nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathbf {j} .}
関数 u と v について、 2 次導関数の対称性を持つコーシー・リーマン方程式を微分すると、 u が ラプラス方程式 を解くこと がわかります 。
つまり、 u は 調和関数 です。これは、勾配の 発散が ゼロであることを意味し 、流体は非圧縮性です。
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}
同様の分析により、関数 v もラプラス方程式を満たします。また、コーシー・リーマン方程式は、 ドット積 ( )、つまり u の最大傾斜の方向と v の最大傾斜の方向 が互いに直交することを意味します。これは、 u の勾配が曲線に沿っている必要があることを意味します 。したがって、これらは流れの 流線 です。曲線は 流れの
等電位曲線 です。
∇
u
⋅
∇
v
=
0
{\textstyle \nabla u\cdot \nabla v=0}
∇
u
⋅
∇
v
=
∂
u
∂
x
⋅
∂
v
∂
x
+
∂
u
∂
y
⋅
∂
v
∂
y
=
∂
u
∂
x
⋅
∂
v
∂
x
−
∂
u
∂
x
⋅
∂
v
∂
x
=
0
{\textstyle \nabla u\cdot \nabla v={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}=0}
v
=
const
{\textstyle v={\text{const}}}
u
=
const
{\textstyle u={\text{const}}}
したがって、正則関数は、2 つの レベル曲線 族とをプロットすることによって 視覚 化できます。u (または、同等の v )の勾配 がゼロでない点の近くでは、これらの族は 直交する 曲線族を形成します。流れの静止点 である点では、 の等ポテンシャル曲線が 交差します。流線も同じ点で交差し、等ポテンシャル曲線によって形成される角度を二等分します。
u
=
const
{\textstyle u={\text{const}}}
v
=
const
{\textstyle v={\text{const}}}
∇
u
=
0
{\textstyle \nabla u=0}
u
=
const
{\textstyle u={\text{const}}}
調和ベクトル場 コーシー・リーマン方程式の別の解釈は、 Pólya & Szegő [12] に見出すことができます 。u と v が R 2 の開集合内でコーシー・リーマン方程式を満たし 、 ベクトル場を
（実）2成分ベクトルとして考えると、2番目のコーシー・リーマン方程式（ 1b ）は、が 非回転 （ 回転角 が0）であると主張します 。
f
¯
=
[
u
−
v
]
{\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}
f
¯
{\displaystyle {\bar {f}}}
∂
(
−
v
)
∂
x
−
∂
u
∂
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}
最初のコーシー・リーマン方程式（ 1a ）はベクトル場が ソレノイド （または 発散 フリー）であることを主張している。
∂
u
∂
x
+
∂
(
−
v
)
∂
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}
グリーンの定理 と 発散定理 により 、このような場は必然的に 保存 場となり、発生源もシンクもなく、穴のない開いた領域を通る正味の磁束はゼロとなる。（これら2つの観察結果は、 コーシーの積分定理 の実部と虚部として組み合わされる。） 流体力学 では、このようなベクトル場は ポテンシャルフロー である。 [13] 静磁気学 では 、このようなベクトル場は電流を含まない平面領域上の静 磁場を モデル化する。 静電気学 では、電荷を含まない平面領域内の静電場をモデル化する。
この解釈は、微分形式 の言語で同等に言い換えることができます。u と v の ペアが コーシー・リーマン方程式を満たすのは、 1 形式 が 閉じてい て 共閉で ある場合( 調和微分形式 ) に限ります。
v
d
x
+
u
d
y
{\displaystyle v\,dx+u\,dy}
複雑な構造の保存 コーシー・リーマン方程式の別の定式化は 、平面上の
複素構造を含み、次のように表される。これは、 J の2乗が2×2単位行列の負である
という意味において複素構造である。上記と同様に、 u ( x , y )と v ( x , y )が平面上の2つの関数である
場合、次のように表される。
J
=
[
0
−
1
1
0
]
.
{\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.}
J
2
=
−
I
{\displaystyle J^{2}=-I}
f
(
x
,
y
)
=
[
u
(
x
,
y
)
v
(
x
,
y
)
]
.
{\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.}
f の ヤコビ行列 は 偏微分行列である
D
f
(
x
,
y
)
=
[
∂
u
∂
x
∂
u
∂
y
∂
v
∂
x
∂
v
∂
y
]
{\displaystyle Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}}
すると関数u 、 v のペアは、2×2行列 Dfが J と可換で あるときに限り、コーシー・リーマン方程式を満たす 。 [14]
この解釈はシンプレクティック幾何学 において有用であり、 擬正則曲線 の研究の出発点となっている 。
その他の表現 コーシー・リーマン方程式の他の表現は、他の 座標系 でも時々現れる。( 1a )と( 1b )が微分可能な関数 u と vの ペアに対して成り立つ場合、
∂
u
∂
n
=
∂
v
∂
s
,
∂
v
∂
n
=
−
∂
u
∂
s
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}}
任意の座標系 （ n （ x 、 y ）、 s （ x 、 y ）） に対して、そのペアは 正規直交 で 正の向きで ある 。その結果、特に極座標表現によって与えられた座標系では 、方程式は次の形になる。
(
∇
n
,
∇
s
)
{\textstyle (\nabla n,\nabla s)}
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z=re^{i\theta }}
∂
u
∂
r
=
1
r
∂
v
∂
θ
,
∂
v
∂
r
=
−
1
r
∂
u
∂
θ
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}
これらをf の1つの式にまとめると 、
∂
f
∂
r
=
1
i
r
∂
f
∂
θ
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}
非同次コーシー・リーマン方程式は、2つの実変数
の未知関数 u ( x , y ) と v ( x , y ) のペアに対する2つの方程式から構成される。
∂
u
∂
x
−
∂
v
∂
y
=
α
(
x
,
y
)
∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
x
=
β
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}&=\alpha (x,y)\\[4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{aligned}}}
R 2 の開集合で定義された いくつかの関数 α( x , y ) と β( x , y ) について、これらの方程式は通常、
f = u + i v および 𝜑 = ( α + i β )/2
となる単一の方程式に結合されます。
∂
f
∂
z
¯
=
φ
(
z
,
z
¯
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}})}
𝜑が C k である 場合、 𝜑 が D の 閉包 上で連続で あれば、 不同次方程式は任意の有界領域 D で明示的に解くことができます。実際、 コーシーの積分公式 により、
すべての ζ ∈ D
に対して成り立ちます 。
f
(
ζ
,
ζ
¯
)
=
1
2
π
i
∬
D
φ
(
z
,
z
¯
)
d
z
∧
d
z
¯
z
−
ζ
{\displaystyle f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}}
一般化
グルサットの定理とその一般化 f = u + i v が 関数 f : ℝ 2 → ℝ 2 として微分可能な 複素数値関数である とする 。すると、 Goursat の定理は、開複素領域 Ω で f が解析的であるためには、その領域でコーシー・リーマン方程式を満たす必要があること を主張する。 特に、 f の連続微分可能性を仮定する必要はない。 [16]
グルサの定理の仮説は大幅に弱められる可能性がある。 f = u + i v が 開集合 Ω 内で連続であり、 f の x および y に関する 偏微分が Ω 内に存在し、 Ω 全体でコーシー・リーマン方程式を満たす場合、 f は 正則（したがって解析的）である。この結果が、 ルーマン・メンホフの定理 である。
f が 領域 Ω 全体にわたってコーシー・リーマン方程式に従う という仮定は重要である。ある点においてコーシー・リーマン方程式を満たす連続関数を構成することは可能であるが、その点においては解析的ではない（例えば、 f ( z ) = z 5 /|z| 4 ） 。同様に、次の例が示すように、コーシー・リーマン方程式（連続性など）に加えていくつかの追加の仮定が必要である
f
(
z
)
=
{
exp
(
−
z
−
4
)
if
z
≠
0
0
if
z
=
0
{\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right)&{\text{if }}z\not =0\\0&{\text{if }}z=0\end{cases}}}
これはどこでもコーシー・リーマン方程式を満たしますが、 z = 0 では連続ではありません。
しかしながら、関数が 弱い意味 で開集合内のコーシー・リーマン方程式を満たす場合、その関数は解析的である。より正確には、
f ( z ) が開領域 Ω ⊂ ℂ で局所積分可能であり、コーシー・リーマン方程式を弱く満たす 場合、 f は Ω 内の解析関数と ほぼすべての点で 一致します。 これは実際、準楕円 偏微分方程式
の解の正則性に関するより一般的な結果の特殊なケースです。
いくつかの変数 複数の複素変数 の理論には、適切に一般化されたコーシー・リーマン方程式があります 。これらは、偏微分方程式の重要な 過剰決定系を形成します。これは、 Wirtinger 微分 を直接一般化することで実現されます 。この場合、問題の関数は、各複素変数に関する (部分) Wirtinger 微分が 0 である必要があります。
よく言われるように、 dバー演算子は
正則関数を消滅させる。これは、次の式を最も直接的に一般化する
。
∂
¯
{\displaystyle {\bar {\partial }}}
∂
f
∂
z
¯
=
0
,
{\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0,}
∂
f
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
f
∂
x
+
i
∂
f
∂
y
)
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}+i{\partial f \over \partial y}\right).}
共役調和関数 として見ると、コーシー・リーマン方程式は バックルンド変換 の簡単な例です 。より複雑で、一般に非線形のバックルンド変換、例えば サイン・ゴードン方程式は、 ソリトン や 可積分系 の理論で大きな関心を集めています 。
クリフォード代数における定義 クリフォード代数 では 、複素数は 、( 、したがって ) として表されます。 この クリフォード代数における ディラック演算子は として定義されます 。関数は の場合にのみ解析的であると見なされ 、 は次の方法で計算できます。
C
ℓ
(
2
)
{\displaystyle C\ell (2)}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
z
≡
x
+
J
y
{\displaystyle z\equiv x+Jy}
J
≡
σ
1
σ
2
{\displaystyle J\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}}
σ
1
2
=
σ
2
2
=
1
,
σ
1
σ
2
+
σ
2
σ
1
=
0
{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1,\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{1}=0}
J
2
=
−
1
{\displaystyle J^{2}=-1}
∇
≡
σ
1
∂
x
+
σ
2
∂
y
{\displaystyle \nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}}
f
=
u
+
J
v
{\displaystyle f=u+Jv}
∇
f
=
0
{\displaystyle \nabla f=0}
0
=
∇
f
=
(
σ
1
∂
x
+
σ
2
∂
y
)
(
u
+
σ
1
σ
2
v
)
=
σ
1
∂
x
u
+
σ
1
σ
1
σ
2
⏟
=
σ
2
∂
x
v
+
σ
2
∂
y
u
+
σ
2
σ
1
σ
2
⏟
=
−
σ
1
∂
y
v
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0\end{aligned}}}
および によるグループ化 :
σ
1
{\displaystyle \sigma _{1}}
σ
2
{\displaystyle \sigma _{2}}
∇
f
=
σ
1
(
∂
x
u
−
∂
y
v
)
+
σ
2
(
∂
x
v
+
∂
y
u
)
=
0
⇔
{
∂
x
u
−
∂
y
v
=
0
∂
x
v
+
∂
y
u
=
0
{\displaystyle \nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u=0\end{cases}}}
したがって、従来の表記では次のようになります。
{
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
{\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\\[12pt]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}}
Ω をユークリッド空間 ℝ n の開集合とする 。方向保存写像が 等角写像 （つまり角度保存写像）
となるための式は、
f
:
Ω
→
R
n
{\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
D
f
T
D
f
=
(
det
(
D
f
)
)
2
/
n
I
{\displaystyle Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I}
ここで、 Df は転置行列 のヤコビ行列 、 I は 単位行列を表します。 [19] n = 2 の場合 、この系は複素変数の標準的なコーシー・リーマン方程式に相当し、解は正則関数です。次元 n > 2 では、これは依然としてコーシー・リーマン系と呼ばれることもあり、 リウヴィルの定理は 、適切な滑らかさの仮定の下で、そのようなマッピングはどれも メビウス変換 であることを意味します。
D
f
T
{\displaystyle Df^{\mathsf {T}}}
リー擬似群 代わりに、より一般的に、PDE システムの解が合成に関して閉じているかどうかを調べることで、コーシー-リーマン方程式を一般化しようとする人もいるかもしれません。リー擬似群の理論は、このような疑問に答えます。
参照
参考文献
^ ジャン・ダランベール (1752)。流体抵抗のエッセイ。パリ：デヴィッド・ライネ。 アシェット・リーブル-BNF による 2018 年の再版 ISBN 978-2012542839 。 ^ オイラー、レオンハルト (1797)。 「想像上の完全な形式上の秘密保持」。 Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 。 10 ：3-19。 ^ コーシー、オーガスティン L. (1814)。 定義の統合に関する記憶 。全作品シリーズが完成しました。 1.Vol. 1. パリ (1882 年出版)。 319–506ページ。 ^ リーマン、ベルンハルト (1851)。 「Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grosse」。 H. ウェーバー編著。 リーマンのゲザムメルテ数学。ヴェルケ （ドイツ語）。ドーバー（1953年出版）。 3–48ページ。 ^ Markushevich, AI (1977). 複素変数関数の理論 1 . Chelsea. 、p. 110-112（ロシア語から翻訳） ^ Titchmarsh, E (1939). 関数の理論 . Oxford University Press. 、2.14 ^ Arfken, George B.; Weber, Hans J.; Harris, Frank E. (2013). 「11.2 コーシー・リーマン条件」. 物理学者のための数学的手法: 包括的ガイド (第 7 版). Academic Press. pp. 471–472. ISBN 978-0-12-384654-9 。 ^ Hassani, Sadri (2013). 「10.2 解析関数」. 数理物理学: その基礎への現代的入門 (第 2 版). Springer. pp. 300–301. ISBN 978-3-319-01195-0 。 ^ 参照： Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrates . Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes. ^ ジョージ、ポーリャ ;セグジュ、ガボール (1978)。 分析における問題と定理 I ．スプリンガー。 ISBN 3-540-63640-4 。 ^ シャンソン、H. (2007)。 「Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange」 [実際の流体の流れにおける速度ポテンシャル: Joseph-Louis Lagrange の寄稿]。 ジャーナル・ラ・ウイユ・ブランシュ 。 93 (5): 127–131。 土井 ： 10.1051/lhb:2007072 。 ISSN 0018-6368。 S2CID 110258050。 ^ 小林昭七 ; 野水勝美 (1969). 微分幾何学の基礎、第2巻 。Wiley。命題IX.2.2。 ^ デュドネ、ジャン・アレクサンドル (1969)。 現代の分析の基礎 。学術出版局。 §9.10、例。 1. ^ Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). 幾何関数理論と非線形解析 . オックスフォード. p. 32.
出典
Gray, JD; Morris, SA (1978年 4 月)。「コーシー-リーマン方程式を満たす関数が解析的になるのはいつですか?」 アメリカ数学月刊誌 。85 ( 4): 246–256。doi :10.2307/2321164。JSTOR 2321164。 ルーマン、H. (1923)。 「コーシー・リーマンシェン・ディファレンシャルグライシュンゲン」。 ゲッティンガー ナハリヒテン (ドイツ語): 97–108。 Marsden, A; Hoffman, M (1973). 基本的な複素解析 . WH Freeman. ルディン、ウォルター (1966)。 実解析と複素解析 (第 3 版)。マグロウヒル (1987 年出版) 。ISBN 0-07-054234-1 。
さらに読む
外部リンク
![{\displaystyle Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e40b1a757f02bd4453ec33ab18b61cef21962f6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}&=\alpha (x,y)\\[4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1212021780db1291b4c55558611a969cfce8485)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d04ada7ea98c59cb56cfe7442d5a3a578d2eb4)
![{\displaystyle \nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2d1f81fe9e107ffb61b3107ee114164dc38354)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\\[12pt]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246af41be5707de400829a857a16c3ea87e07c60)
