カントールの最初の集合論論文

カントールの最初の集合論の論文には、無限集合とその性質を研究する超限集合論の最初の定理が含まれています。これらの定理の 1 つは、すべての実数の集合が可算ではなく非可算無限であるという彼の「革命的な発見」です。 ^{[ 1 ]}この定理は、カントールの最初の非可算性の証明を使用して証明されており、これは彼の対角線論法を使用したより一般的な証明とは異なります。論文のタイトル「すべての実代数的数の集合の性質について」（「すべての実代数的数の集合の性質について」^{[ 2 ]} ）は、その最初の定理、つまり実代数的数の集合は可算であるということに由来しています。カントールの論文は 1874 年に発表されました。1879 年に、彼は区間内で集合が稠密であるという位相概念を使用して、非可算性の証明を修正しました。

カントールの論文には、超越数の存在の証明も含まれている。構成的証明と非構成的証明の両方が「カントールの証明」として提示されてきた。非構成的証明を提示することが普及したことで、カントールの議論が非構成的であるという誤解が生じた。カントールが発表した証明は超越数を構成するか構成しないかのどちらかであるため、彼の論文を分析することで、この証明が構成的であるかどうかを判断できる。^{[ 3 ]}カントールとリヒャルト・デデキントとの書簡は、彼の考えの発展を示しており、実数の非可算性を利用する非構成的証明と、非可算性を利用しない構成的証明という2つの証明のどちらかを選択することができたことを明らかにしている。

数学史家たちは、カントールの論文とその執筆状況を検証してきた。例えば、カントールは提出した論文から非可算定理を削除するよう助言されていたが、校正段階で追加したことが分かっている。彼らは、この事実やその他の論文に関する事実を、カール・ワイエルシュトラスとレオポルド・クロネッカーの影響に遡って辿ってきた。歴史家たちはまた、実代数的数の可算性に関する定理への貢献を含め、デデキントの論文への貢献についても研究してきた。さらに、集合論、測度論、ルベーグ積分の発展において、非可算定理と可算性の概念が果たした役割も認識している。

カントールの論文は短く、4 ページ半にも満たない。^{[ A ]}実代数的数についての議論と、彼の第一定理の記述から始まる。実代数的数の集合は、正の整数の集合と1 対 1 で対応させることができる。^{[ 4 ]}カントールはこの定理を、当時の数学者にとってより馴染みのある言葉で言い換えている。「実代数的数の集合は、各数が一度だけ現れる無限数列として書くことができる。」^{[ 5 ]}

カントールの第2定理は、閉区間[ a , b ]、すなわちa ≥ b かつ b ≤の実数の集合に対して適用されます。この定理は次のように述べています。任意の実数列x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... と任意の区間 [ a , b ] が与えられたとき、[ a , b ]には、与えられた数列に含まれない数があります。したがって、そのような数は無限に存在します。^{[ 6 ]}     

カントールは、自身の2つの定理を組み合わせることで、任意の区間[ a , b ]には無限個の超越数が含まれるというリウヴィルの定理の新しい証明が得られると指摘している。^{[ 6 ]} 

カントールは、自身の第二定理を次のように述べている。

いわゆる連続体を形成する実数の集合（例えば、 0 以上 1 以下のすべての実数）が集合（ν）［すべての正の整数の集合］と一対一に対応できない理由、すなわち、いわゆる連続体と実代数的数の全体のような集合との明確な違いを見出した。^{[ 7 ]}

この記述にはカントールの非可算性定理が含まれていますが、これは区間 [ a , b ] を正の整数の集合と一対一に対応させることはできないと述べているだけです。この区間が正の整数の集合よりも大きな濃度を持つ無限集合であるとは述べていません。濃度はカントールの次の論文で定義されており、それは 1878 年に発表されました。^{[ 8 ]} 

カントールは非可算定理を述べるだけで、それを証明には用いていない。^{[ 4 ]}

カントールの 1874 年の論文につながる展開は、カントールとリヒャルト・デデキントの間の書簡に見られる。1873 年 11 月 29 日、カントールはデデキントに、正の整数の集合と正の実数の集合は「一方の集合の各要素が他方の集合のただ 1 つの要素に対応するように対応させることができるか」と尋ねた。カントールは、そのような対応関係を持つ集合には、正の有理数の集合、および ( a _{n 1 , n 2 , . . . , n ν}       ) の形の集合が含まれると付け加えた。ここでn ₁ , n ₂ , .  .  . , n _ν , およびνは正の整数である。^{[ 20 ]}

デデキントはカントールの質問に答えることができないと答え、「特に実用的な関心事ではないので、あまり労力をかける価値はない」と述べた。デデキントはまた、代数的数の集合が可算集合であることの証明をカントールに送った。^{[ 21 ]}

12月2日、カントールは彼の質問には興味深いと答えた。「答えが得られれば素晴らしい。例えば、答えが「いいえ」であれば、超越数が存在するというリウヴィルの定理の新しい証明が得られるだろう。」^{[ 22 ]}

12月7日、カントールはデデキントに実数の集合が非可算集合であることを背理法で証明した。カントールはまず、実数が非可算集合であると仮定することから始める。${\displaystyle [0,1]}$は数列として書くことができる。次に、彼はこの数列に構成を適用して、数を生成する。${\displaystyle [0,1]}$それは数列に含まれていないため、彼の仮定と矛盾する。^{[ 23 ]} 12月2日と7日の手紙を合わせると、超越数の存在に関する非構成的な証明が得られる。^{[ 24 ]}また、カントールの12月7日の手紙の証明は、実数が非可算集合を形成するという彼の発見につながった推論の一部を示している。^{[ 25 ]}

デデキントは12月8日にカントールの証明を受け取った。同日、デデキントは証明を簡略化し、カントールに郵送した。カントールは論文でデデキントの証明を使用した。^{[ 26 ]}カントールの12月7日の証明を同封した手紙は1937年まで公表されなかった。^{[ 27 ]}

12月9日、カントールは超越数を構成することを可能にする定理と、実数の集合が非可算であることを証明した定理を発表した。

シーケンスから始めると、

(1) ω ₁、ω ₂、...、ω _n、...     

任意の区間 [ α , β ] において、 (1) に含まれない数ηを特定することができる。 ^{[ 28 ]} 

これはカントールの論文における2番目の定理です。この定理は、彼の構成法が実数を列挙すると考えられる数列だけでなく、あらゆる数列に適用できることに気づいたことから導き出されます。つまり、カントールは超越数の存在を証明する2つの証明方法から選択する必要がありました。1つは構成的な証明ですが、もう1つはそうではありません。これら2つの証明は、すべての実代数的数からなる数列から始めることで比較できます。

構成的証明では、この数列と区間 [ a , b ] にカントールの構成法を適用して、この区間内の超越数を生成します。^{[ 6 ]} 

非構成的証明では、2つの背理法による証明を用いる。

1. 非可算定理を証明するために用いられる背理法（カントールの非可算定理の証明を参照）。
2. 実代数的数の可算性と実数の非可算性から超越数の存在を証明するために背理法が用いられた。カントールの12月2日付の手紙にはこの存在証明について言及されているが、証明自体は含まれていない。以下に証明を示す。[ a , b ] に超越数が存在しないと仮定する。すると、[ a , b ]のすべての数は代数的数となる。これは、それらがすべての実代数的数の列の部分列を形成することを意味し、カントールの非可算性定理に矛盾する。したがって、[ a , b ]に超越数が存在しないという仮定は誤りである。ゆえに、[ a , b ]には超越数が存在する。^{[ H ]}    

カントールは、超越数を生成するだけでなく、より短く、2 つの背理法による証明を回避する構成的証明を公表することを選んだ。カントールの書簡からの非構成的証明は、区間 [ a , b ] ではなくすべての実数を扱うため、上記の証明よりも単純である。これにより、部分列ステップと、2 番目の背理法による証明における[ a , b ] のすべての出現が排除される。 ^{[ 6 ]}  

集合論を専門とする金森明弘氏は、「カントールの業績に関する記述では、超越数の存在を推論する順序がほとんど逆転しており、まず実数の非可算性を確立してから、代数的数の可算性から存在の結論を導き出している。教科書ではこの逆転は避けられないかもしれないが、カントールの議論は非構成的であるという誤解を助長している」と述べている。^{[ 30 ]}

カントールの公表された証明と逆順の証明はどちらも次の定理を使用しています。実数列が与えられたとき、その列に含まれない実数を見つけることができる。この定理を実代数的数の列に適用することで、カントールは超越数を生み出しました。次に、実数が非可算であることを証明しました。すべての実数を含む列が存在すると仮定します。この列に定理を適用すると、列に含まれない実数が生成され、列がすべての実数を含むという仮定に矛盾します。したがって、実数は非可算です。^{[ 6 ]}逆順の証明は、まず実数が非可算であることを証明することから始まります。次に、超越数が存在することを証明します。超越数が存在しない場合、すべての実数は代数的であり、したがって可算になりますが、これは先ほど証明したことに矛盾します。この矛盾により、超越数を構成することなく超越数が存在することが証明されます。^{[ 30 ]}

カントールの非構成的推論を含む書簡は1937年に出版された。その頃には、他の数学者たちが彼の非構成的逆順証明を再発見していた。1921年にはすでにこの証明は「カントールの証明」と呼ばれ、超越数を生成しないとして批判されていた。^{[ 31 ]}その年、オスカー・ペロンは逆順証明を与え、次のように述べた。「…カントールの超越数の存在証明は、その単純さと優雅さとともに、存在証明に過ぎないという大きな欠点がある。それは、超越数を実際に一つでも特定することを可能にするものではない。」^{[ 32 ] [ I ]}

1930年にはすでに、一部の数学者がカントールの業績に対するこの誤解を正そうと試みていた。同年、集合論学者のアブラハム・フランケルは、カントールの方法は「…偶然にも、広く流布している解釈とは異なり、根本的に構成的であり、単なる存在論的ではない」と述べている。^{[ 33 ]} 1972年、アーヴィング・カプランスキーは次のように書いている。「カントールの証明は『構成的』ではないため、具体的な超越数が得られないとよく言われる。この指摘は正当化されない。すべての代数的数の明確なリストを作成し、…対角線法を適用すれば…完全に明確な超越数が得られる（小数点以下の任意の桁数まで計算できる）。」^{[ 34 ] [ J ]}カントールの証明は構成的であるだけでなく、すべての実数の集合が非可算集合であることを最初に証明するという回り道を必要とするペロンの証明よりも単純である。^{[ 35 ]}

カントールの対角線論法は、彼の証明の解説において、1874年の構成法に取って代わることが多い。対角線論法は構成的であり、1874年の構成法よりも効率的なコンピュータプログラムを生成する。これを用いて、超越数の桁を多項式時間で計算するコンピュータプログラムが作成された。カントールの1874年の構成法を用いるプログラムは、少なくとも準指数時間を要する。^{[ 36 ] [ K ]}

カントールの構成的証明に言及せずに非構成的証明を提示している書籍の中には、新版や再版が長期間にわたって出版され、非常に成功を収めたものがある。例えば、オスカー・ペロンの『Irrationalzahlen』（1921年、1960年第4版）、エリック・テンプル・ベルの『Men of Mathematics』（1937年、現在も再版中）、ゴッドフリー・ハーディとE・M・ライトの『An Introduction to the Theory of Numbers』（1938年、2008年第6版）、ギャレット・バーコフとサンダース・マック・レーンの『A Survey of Modern Algebra』（1941年、1997年第5版）、マイケル・スピヴァクの『Calculus』（1967年、2008年第4版）などである。^{[ 37 ] [ L ]} 2014 年以降、カントールの証明は構成的であると述べる書籍が少なくとも 2 冊出版され、^{[ 38 ]}また、彼の証明は超越性を 1 つも構成しないと述べる書籍が少なくとも 4 冊出版されている。^{[ 39 ]}

カントールが発表した構成的な証明に言及せずに、カントールが非構成的な議論を行ったと主張すると、数学史に関する誤った記述につながる可能性がある。『現代代数学概論』の中で、バーコフとマックレーンは次のように述べている。「この結果[すべての実数が代数的ではない]に対するカントールの議論は、特定の超越数を示していなかったため、当初は多くの数学者によって拒否された。」^{[ 40 ]}カントールが発表した証明は超越数を生み出し、彼の議論が拒否されたという証拠はないようだ。数学において何が許容されるかについて厳格な見解を持ち、カントールの論文の発表を遅らせることができたレオポルド・クロネッカーでさえ、それを遅らせなかった。^{[ 5 ]}実際、カントールの構成を実代数的数列に適用すると、クロネッカーが受け入れた極限プロセス、すなわち、必要な精度で数を決定するプロセスが生じる。^{[ M ]}

数学史家たちは、カントールの論文「すべての実代数的数の集合の性質について」に関して、以下の事実を発見した。

• カントールの非可算性定理は彼が提出した論文には含まれていなかった。彼は校正の際にそれを追加した。^{[ 44 ]}
• 記事のタイトルは実代数的数の集合を指している。カントールの書簡の主なテーマは実数の集合であった。^{[ 45 ]}
• カントールの第2定理の証明はデデキントによるものである。しかし、デデキントによる極限a _∞とb _∞が存在する理由の説明は省略されている。^{[ 46 ]}
• カントールは、第一定理を実代数的数の集合に限定した。彼が用いた証明は、すべての代数的数の集合の可算性を示している。^{[ 21 ]}

これらの事実を説明するために、歴史家たちはカントールの元教授であるカール・ワイエルシュトラスとレオポルド・クロネッカーの影響を指摘している。カントールは1873年12月23日にワイエルシュトラスと研究結果について話し合った。^{[ 47 ]}ワイエルシュトラスは最初は可算性の概念に驚いたが、その後、実代数的数の集合の可算性が有用であることに気づいた。^{[ 48 ]}カントールはまだ発表したくなかったが、ワイエルシュトラスは少なくとも代数的数に関する研究結果を発表しなければならないと感じていた。^{[ 47 ]}

カントールの書簡からは、彼が論文についてワイエルシュトラスとしか話し合わなかったことがうかがえる。しかし、カントールはデデキントに「私の研究の出版版に課した制限は、一部は現地の状況によるものです…」と語っている^{[ 47 ]。}カントールの伝記作家ジョセフ・ドーベンは、「現地の状況」とは、クレレ誌の編集委員としてカントールの同僚の一人であるエドゥアルト・ハイネの1870年の論文の出版を遅らせたクロネッカーのことだと考えている。カントールは後にクレレ誌に論文を投稿することになる^{[ 49 ]}。

ワイエルシュトラスはカントールに、提出した論文から非可算定理を削除するよう助言したが、校正の際に欄外注記として追加することもできるとカントールに伝え、カントールはそうした。^{[ 44 ]}それは論文の序論の末尾の注釈として現れる 。クロネッカーとワイエルシュトラスの意見はどちらもここで役割を果たした。クロネッカーは無限集合を認めず、ワイエルシュトラスは2つの無限集合が、一方は可算で他方はそうでないというように、それほど異なるものであることは認めなかったようだ。^{[ 50 ]}ワイエルシュトラスは後に意見を変えた。^{[ 51 ]}非可算定理がなければ、論文にはこの定理に言及しないタイトルが必要だった。カントールは「Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen」（「すべての実代数的数の集合の性質について」）を選んだ。これは実代数的数の集合の可算性を指しており、ワイエルシュトラスが有用だと考えた結果である。^{[ 52 ]}

クロネッカーの影響はカントールの第2定理の証明に見られる。カントールはデデキントの証明方法を用いたが、極限a _∞  =  lim _{n  →  ∞} a _nおよび b _∞ = lim _{n → ∞} b _nが存在する理由については省略した。デデキントは「連続性の原理」を用いてこれらの極限が存在することを証明した。この原理（実数の最小上界の性質と同等）は、クロネッカーが受け入れなかったデデキントの実数の構成に由来する。^{[ 53 ]}      

カントールは、デデキントがすべての代数的数を扱う証明を送っていたにもかかわらず、第一定理を実代数的数の集合に限定した。^{[ 21 ]}カントールは、説明上の理由と「局所的な状況」のためにそうした。^{[ 54 ]}この制限により、第二定理は実数列を扱うため、論文は簡潔になる。したがって、第二定理の構成は、実代数的数の列挙に直接適用して、「超越数の計算のための効果的な手順」を生み出すことができる。この手順は、ワイエルシュトラスにとって受け入れられるものであった。^{[ 55 ]}

1856年以来、デデキントは無限に多くの無限集合を含む理論を発展させてきた。例えば、代数的整数論で用いたイデアルや、実数を構成するために用いたデデキント切断などである。この研究によって、彼はカントールの研究を理解し、貢献することができた。^{[ 56 ]}

デデキントの最初の貢献は、実代数的数の集合が可算であるという定理に関するものである。この定理は通常カントールの功績とされているが、数学史家のホセ・フェレイロスはこれを「デデキントの定理」と呼んでいる。彼らの書簡からは、それぞれの数学者がこの定理にどのような貢献をしたかが明らかになる。^{[ 57 ]}

可算性の概念を紹介する手紙の中で、カントールは証明なしに、正の有理数の集合は可算であり、_{n 1、n 2、...、n ν}、およびνが正の整数である形式の集合 ( a n ₁、n ₂、...、n _ν )も可算であると述べた。^{[ 58 ]}カントールの 2 番目の結果は、添え字付きの数の族を使用している。形式の集合 ( a _{n 1、n 2、...、n ν} ) は、 ν添え字から実数の集合への関数の値域である。彼の 2 番目の結果は彼の最初の結果を暗示している。ν = 2 とし、 a _{n 1、n 2} = ⁠ n ₁ / n ₂ ⁠とする。この関数は非常に一般的です。たとえば、a _{n 1 , n 2 , n 3 , n 4 , n 5} = ( ⁠ n ₁ / n ₂ ⁠ ) ^{⁠ 1 / n ₃ ⁠} + tan ( ⁠ n ₄ / n ₅ ⁠ ) です。                     

デデキントは、すべての代数的数の集合が可算であるという定理の証明で返答した。^{[ 21 ]}カントールはデデキントへの返答の中で、デデキントの結果を証明したとは主張しなかった。彼は、添え字付き数の族に関する自身の定理をどのように証明したかを示した。「( n )[正の整数の集合]がすべての代数的数の体と1対1に対応できるというあなたの証明は、私が前回の書簡で主張を証明した方法とほぼ同じです。私はn ₁ ²  + n ₂ ² + ··· + n _ν ² =       ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$そして、それに応じて要素を順序付ける。」^{[ 59 ]}しかし、カントールの順序付けはデデキントの順序付けよりも弱く、拡張することはできない。${\displaystyle n}$-ゼロを含む整数のタプル。^{[ 60 ]}

デデキントの2つ目の貢献は、カントールの第2定理の証明である。デデキントはこの証明を、カントールが無限の数列を用いて証明した非可算定理を含むカントールの手紙への返信として送った。カントールは次に、無限の数列を用いないより簡単な証明を見つけたと書いた。^{[ 61 ]}そこでカントールは証明を選ぶことができ、デデキントの証明を公表することにした。^{[ 62 ]}

カントールはデデキントの助けに個人的に感謝し、「…あなたのコメント（私はそれを高く評価しています）と、いくつかの点を述べたあなたのやり方は、私にとって大変役立ちました。」^{[ 47 ]}しかし、彼は論文の中でデデキントの助けについて言及しなかった。以前の論文では、彼はクロネッカー、ワイエルシュトラス、ハイネ、ヘルマン・シュヴァルツから受けた助けを認めていた。カントールがデデキントの貢献に言及しなかったことは、デデキントとの関係を損なった。デデキントは彼の手紙に返信しなくなり、1876年10月まで文通を再開しなかった。^{[ 63 ] [ N ]}

カントールの論文は、非可算定理と可算性の概念を導入した。どちらも数学の重要な発展につながる。非可算定理は、1対1対応を用いて無限集合を分析できることを示した。1878年、カントールはそれらを用いて濃度を定義し、比較した。また、n次元空間R ⁿ（Rは実数の集合）と無理数の集合がRと同じ濃度を持つことを証明するために、1対1対応を構築した。^{[ 64 ] [ O ]}

1883年、カントールは正の整数を無限順序数で拡張した。この拡張は、カントール＝ベンディクソン定理の研究に必要であった。カントールは順序数の他の用途も発見した。例えば、順序数の集合を用いて、異なる無限濃度を持つ無限の集合を生成した。^{[ 66 ]}カントールの無限集合に関する研究は、デデキントの集合論的研究と相まって集合論を生み出した。^{[ 67 ]}

可算性の概念は、数学のさまざまな分野で使用されている可算演算と対象につながりました。たとえば、1878年にカントールは集合の可算和を導入しました。^{[ 68 ]} 1890年代には、エミール・ボレルが測度理論で可算和を使用し、ルネ・ベールは関数のクラスを定義するために可算順序数を使用しました。^{[ 69 ]}ボレルとベールの研究に基づいて、アンリ・ルベーグは測度と積分の理論を構築し、1899年から1901年にかけて発表しました。^{[ 70 ]}

可算モデルは集合論で用いられます。1922年、トーラルフ・スコレムは、集合論の従来の公理が無矛盾であれば、可算モデルを持つことを証明しました。このモデルは可算であるため、その実数の集合は可算です。この帰結はスコレムのパラドックスと呼ばれ、スコレムはこれがカントールの非可算性定理と矛盾しない理由を説明しました。この集合と正の整数の集合の間には1対1の対応がありますが、そのような1対1の対応はモデルのメンバーではありません。したがって、モデルは実数の集合を非可算とみなします。より正確には、実数の集合は非可算であるという一階述語論理の命題がモデル内では真です。^{[ 71 ]} 1963年、ポール・コーエンは可算モデルを用いて独立性定理を証明しました。^{[ 72 ]}

• カントールの定理

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• イアン・スチュワート(2015)、ガロア理論(第 4 版)、フロリダ州ボカラトン: CRC Press、ISBN 978-1-4822-4582-0。
• スチュワート、イアン、トール、デイビッド(2015)、『数学の基礎』（第2 版）、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-870644-1。
• ワイススタイン、エリック・W.編 (2003)、「連分数」、CRC 数学簡潔百科事典、フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC、ISBN 978-1-58488-347-0。

• ハウレット、ジョセフ（2026年2月25日）『無限を盗んだ男』、クアンタマガジン